Sujets de Mathématiques — Concours d’entrée ESPA Polytechnique (1993–2011)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESPA — ÉCOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

Sujets de Mathématiques

Sessions 1993 à 2011 — 15 sujets, énoncés transcrits

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Énoncé — session 1993 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 20-21 octobre 1993 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés. N.B. : chaque exercice sera noté sur 4.

Exercice n° 1

1. Résoudre dans le corps des nombres complexes ℂ l’équation Z² − (3 + i)Z + 4 = 0. Déterminer le module et l’argument de ses racines.
2. Soit l’équation (E) dans ℂ : Z³ − (5 + i)Z² + 2(5 + i)Z − 8 = 0.
   a) Montrer que cette équation admet une racine réelle que l’on déterminera.
   b) Résoudre dans ℂ l’équation (E).

Exercice n° 2

1. Soit f une application de ℝ dans ℝ (ℝ est l’ensemble des nombres réels). Montrer que si f est dérivable au point x₀, alors f est continue en ce point. (La réciproque en général n’est pas vraie.)
2. Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes au point 0 : a) f(x) = e^−1/x² si x ≠ 0, f(0) = 0, où e^x désigne la fonction exponentielle de base e ; b) g(x) = x·sin(1x) si x ≠ 0, g(0) = 0.

Exercice n° 3

Soit f une application de ℝ dans ℝ définie par : f(x) = ln(−x + √x² + 1) où ln désigne le logarithme népérien.

1. Quel est le domaine de définition de f ?
2. Montrer que f est une fonction impaire.
3. Étudier les variations de f.
4. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j). Préciser les branches infinies.
5. Montrer que f admet une fonction réciproque f⁻¹. Déterminer f⁻¹.

Exercice n° 4

1. Déterminer les primitives des fonctions suivantes : a) f(x) = x²√1 + x³ ; b) g(x) = (3x² + 4)·e^−x.
2. Calculer les intégrales suivantes : a) I₁ = ∫π/20(cos⁴x − 3cos x·sin x) dx ; b) I₂ = ∫α1cos(ln x) dx (α > 0).

Exercice n° 5

Soit ℝ₂[X] = { p(X) = aX² + bX + c ; a, b, c ∈ ℝ } l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ≤ 2 et du polynôme zéro. On sait que ℝ₂[X], muni de l’addition (opération interne) : pour p(X) = aX² + bX + c et q(X) = a’X² + b’X + c’ éléments de ℝ₂[X], p(X) + q(X) = (a + a’)X² + (b + b’)X + (c + c’), et de la multiplication par un scalaire α ∈ ℝ (opération externe) : α·p(X) = α·aX² + α·bX + α·c, est un espace vectoriel sur ℝ.

1. Soit A le sous-espace engendré par {X² − 3X + 2, 2X² + 1} et B le sous-espace engendré par {X² + X − 1, X² − X}. Donner une base de A ∩ B.
2. Pour λ et μ éléments de ℝ et p(X) élément de ℝ₂[X], soit f_λ,μ l’application de ℝ₂[X] dans lui-même définie par : f_λ,μ(p(X)) = (X² − λ)p’’(X) + (μX − 1)p’(X), où p’(X) et p’’(X) sont les dérivées première et seconde de p(X).
   a) Montrer que f_λ,μ est un endomorphisme de ℝ₂[X].
   b) Quel est son noyau ?
   c) Est-ce que f_λ,μ peut-il être un automorphisme ?

Énoncé — session 1994 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1994-1995 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

1. Trouver les racines quatrièmes de −4 sous la forme algébrique dans ℂ.
2. Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes z₁ = √6 − i√22 et z₂ = 1 + i. En déduire le module et l’argument de z₀ = z₁z₂. Utiliser ces résultats pour calculer cos π12 et sin π12.
3. x étant un réel quelconque et n un entier naturel, en considérant l’expression de U + iV, calculer les réels U et V définis par : U = 1 + C¹_n cos x + C²_n cos 2x + … + Cⁿ_n cos nx ; V = C¹_n sin x + C²_n sin 2x + … + Cⁿ_n sin nx. Quel est l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie z·z̄ + 3z + 3z̄ − 7 = 0 ?

Exercice 2

1. Montrer que dans l’espace vectoriel réel ℱ des fonctions de ℝ dans ℝ, les 3 vecteurs f₁ = 1, f₂ = sin x, f₃ = cos x sont linéairement indépendants.
2. On note ξ l’espace vectoriel engendré par f₁, f₂, f₃. Si a ∈ ℝ et si f ∈ ξ, on note l_a(f) la fonction (qui appartient à ξ) définie par : [l_a(f)](x) = f(x + a) ∀x ∈ ℝ. Montrer que l’application l_a : f → l_a(f) est linéaire sur ξ. Écrire dans la base {f₁, f₂, f₃} la matrice M_a de l_a.
3. Soit β ∈ ℝ. Calculer l_a∘l_β. Vérifier matriciellement le résultat.

Exercice 3

I. On considère la suite (U_n) définie par : U₁ = a, U₂ = b, U₃ = 12(U₁ + U₂), …, U_n = 12(U_n−2 + U_n−1), …, a, b ∈ ℝ.

1. Démontrer que la suite de terme général V_n = U_n + U_n−1 est une suite géométrique.
2. En déduire l’expression de U_n en fonction de a, b, n, puis la limite de (U_n) quand n tend vers l’infini.

II. a) Énoncer le théorème des accroissements finis pour une fonction f définie sur un segment [a, b] de ℝ.
b) Peut-on appliquer ce théorème à la fonction népérien sur le segment [p, p + 1] où p ∈ ℕ ?
c) En déduire la limite de la suite (W_n) définie par : W_n = 1 + 12 + … + 1n lorsque n tend vers l’infini.

Exercice 4

1. Calculer : limx → 0 e^x² − 1sin³ x.
2. On considère la fonction f définie sur [0, +∞[ par : f(x) = x Log x pour x > 0, f(0) = 0. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0, +∞[.
3. On considère la fonction g définie par : g(x) = |Log x|x. Étudier g et tracer sa courbe (C) dans un repère orthonormé. Calculer l’aire S du domaine limité par (C), l’axe Ox et les parallèles à Oy d’équation x = 1e et x = e.

Énoncé — session 1995 transcrit depuis le sujet scanné (4 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1995-1996 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

Soit la fonction définie par f(x) = x Log(1 + 1x).

1. Donner son domaine de définition et montrer qu’on peut la prolonger par continuité en x = 0.
2. On restreint alors la fonction sur l’intervalle [0, +∞[. Étudier les variations de cette fonction.
3. Montrer que la fonction admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation de la droite asymptote.
4. Résoudre l’équation f(x) − x = 0.
5. Énoncer le théorème des accroissements finis.
6. Déduire de d°) et de e°) qu’il existe une valeur de x tel que f’(x) = 1.
7. Tracer la courbe de f(x) sur [0, +∞[.
8. Calculer l’aire S limitée par la fonction f(x) et la fonction y = x sur l’intervalle [0, 1e − 1].

Exercice 2

On se donne une fonction linéaire f de ℝ³ dans ℝ³ tel que ℝ³ soit un espace vectoriel sur ℝ. La fonction f est définie sur la base canonique {e₁, e₂, e₃} dans ℝ³ par : f(e₁) = me₁ + 2e₂ + me₃ ; f(e₂) = e₁ + 2e₂ + me₃ ; f(e₃) = me₁ + me₂ + 3e₃, avec m ∈ ℝ.

1. Écrire la matrice de f.
2. Discuter suivant les valeurs de m la dimension du noyau de f et la dimension de l’image de f.
3. Soit le vecteur B de coordonnées (m + 2, 2m + 3, 5). 1. Pour quelles valeurs de m la fonction est-elle bijective ? 2. Dans le cas de bijection, trouver l’antécédent X tel que f(X) = B. On écrira le système linéaire pour calculer les coordonnées de X.

Exercice 3

Soit z un nombre complexe de module 1 et d’argument θ (0 ≤ θ ≤ π). On pose : z’ = (z + 1)(z − 1)z².

1. Vérifier que z̄ = 1z.
2. Écrire z̄’ en fonction de z.
3. Déterminer les complexes z de module 1 pour lesquels z’ est un nombre réel non nul.
4. a. Vérifier que z̄ est une racine carrée de 1 − z’.
   b. Écrire z’ sous forme algébrique.
   c. Déterminer, en fonction de θ, le module et l’argument de z’.
   d. z’ peut-il être un imaginaire pur ?

Exercice 4

On se donne la suite réelle u_n définie par : U_n = ⁿ√n.

1. a. On posera u_n = 1 + v_n où v_n est une suite positive qu’on admettra. En remarquant que n = (1 + v_n)ⁿ, montrer que v_n² < 2n − 1.
   b. Déduire la limite de u_n.
2. Soit la suite réelle u_n définie par : u_n = nn² + 1 + nn² + 2 + … + nn² + n. Encadrer judicieusement u_n et en déduire la nature de la suite.

[Les pages 3 et 4 de ce scan sont un autre sujet : session du mercredi 1ᵉʳ octobre 1997 (année 1997-1998), 3 heures, toutes options. Il est transcrit ci-dessous.]

Sujet du 1ᵉʳ octobre 1997 — Exercice n° 1

On donne les nombres complexes A = 2 − i, B = 17 + 3i, C = 15 − 5i, D = 1 + x + iy1 − x − iy. On désigne par M un point du plan P dont l’affixe est x + iy.

1. Écrire D sous la forme a + ib.
2. Déterminer l’ensemble des points M tels que D soit un nombre réel.
3. Déterminer l’ensemble des points M tels que D soit un imaginaire pur.
4. Calculer K = A·BC et déterminer les racines carrées, dans ℂ, du nombre K.

Exercice n° 2

Trois suites u, v et w sont définies de la manière suivante sur ℕ* : u₁ = 1 ; n > 1 : u_n+1 = 13(u_n + 2v_n) ; v₁ = 12 ; n > 1 : v_n+1 = 14(u_n + 3v_n) ; w : w_n = u_n − v_n, ∀n.

1. Montrer que w est une suite géométrique convergente à termes négatifs.
2. Montrer que u est croissante et que v est décroissante.
3. Montrer que 1 ≤ u_n < v_n ≤ 12, pour tout n. Les suites u et v sont-elles convergentes ?
4. On considère la suite t définie, pour tout n, par : t_n = 3u_n + 8v_n. Montrer que t est constante.
5. Montrer que u et v ont la même limite. Trouver cette limite.

Exercice n° 3

Soit f la fonction telle que f(x) = e^2x − 1e^2x + 1 et g l’application de ]0, +∞[ dans ℝ définies par : g(x) = −x + 1 + 2Log x si x ∈ ]0, 1[ ; g(x) = x − 2 + e^1−x si x ∈ [1, +∞[.

1. Montrer que pour tout réel x : |f(x)| < 1 et que f est impaire.
2. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.
3. Montrer que f est une bijection de ℝ sur ]−1, 1[. Déterminer f⁻¹.
4. Montrer que g est continue sur ]0, +∞[.
5. Montrer que f est dérivable à gauche et dérivable à droite au point x = 1. L’application g est-elle dérivable en ce point ?

Exercice n° 4

Voici trois vecteurs de ℝ⁴ : u = (1, −1, 1, −1) ; v = (1, 1, −1, −1) ; w = (1, −1, −1, 1).

1. Donner la base canonique de ℝ⁴.
2. La famille F = {u, v, w} avec t = (−1, −1, −1, 3). G est-elle une famille libre ? Est-elle une famille génératrice de ℝ⁴ ?

Énoncé — session 1998 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 7-8 octobre 1998 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés y compris les calculatrices.

Exercice I — Première partie

Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F. Pour tout sous-ensemble A de E on désigne par f(A) l’ensemble {y = f(x) ∈ F ; x ∈ A}.

1. Montrer que si A ⊂ E et si B ⊂ E, f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) et qu’en général f(A ∩ B) ≠ f(A) ∩ f(B).
2. Démontrer que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) pour tous sous-ensembles A et B de E si et seulement si f est une application injective.

Deuxième partie

Soit (u_n)_n≥1 une suite numérique définie par la relation de récurrence : u₁ = √2, u_n+1 = √2 + u_n (n ≥ 1).

1. Montrer que (u_n)_n≥1 est une suite croissante.
2. Montrer que u_n = 2 cos π2ⁿ⁺¹, quel que soit n ≥ 1.

Exercice II — Première partie

Soit a ∈ ℂ, considérons l’équation dans le corps des nombres complexes ℂ : E : (z + a)ⁿ = zⁿ (n ∈ ℕ*, z ∈ ℂ).

1. Résoudre l’équation (E).
2. Montrer que si a ∈ ℝ*, i.e. si a est un réel non nul, les racines de l’équation (E) décrivent une droite parallèle à l’axe des nombres imaginaires purs.

Deuxième partie

Soient z ∈ ℂ, |z| = r, arg z = t, 0 ≤ t < 2π, n ∈ ℕ, u_n(t) = 1 + r cos t + r² cos 2t + … + rⁿ cos nt ; v_n(t) = r sin t + r² sin 2t + … + rⁿ sin nt.

1. Calculer u_n(t) et v_n(t) pour r ≠ 1.
2. Soit r = 1, montrer que : a) u_n(t) = sin (n+1)t2 · cos nt2sin t2, v_n(t) = sin (n+1)t2 · sin nt2sin t2, si t ≠ 0 ; b) limt → 0 u_n(t) = u_n(0), limt → 0 v_n(t) = v_n(0).
3. On pose r = 12 et on considère la fonction périodique de période 2π définie pour tout t ∈ [0, 2π[ par f(t) = limn → +∞ u_n(t). Étudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative.

Exercice III

f étant une fonction définie par f(x) = 1√x² + 1 et g la fonction primitive de f qui s’annule pour x = 0, g(x) = ∫x0f(t) dt.

1. Quel est le domaine de définition de f et en quels points f est-elle dérivable ?
2. Quel est le domaine de définition de g ?
3. Montrer que g est une fonction impaire.
4. Montrer que g est bijective.
5. Calculer g(e^y − e^−y2) et en déduire g⁻¹(x) (la fonction réciproque de g).

N.B. : on répond aux questions 2°, 3°, 4°, 5° sans calculer la fonction primitive g(x).

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 22-23 septembre 1999 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

1. Problème

Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par : f(x) = 2 Ln[e4(x + 4x)] où Ln désigne le logarithme népérien de base e.

Partie 1. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) d’unité 1 cm.

1. Étudier les variations de f. Montrer que la courbe (Γ) d’équation y = 2 Ln[ex4] est asymptote à (C) au voisinage de +∞.
2. Tracer (C) et (Γ) sur la même figure.
3. Étudier le signe de g(x) = f(x) − x et démontrer que pour tout x ≥ 2, on a f(x) ≤ x.

Partie 2. On considère la suite numérique (U_n) définie par U₀ > 0 et U_n+1 = f(U_n) = 2 Ln[e4(x + 4x)], ∀n ∈ ℕ.

1. Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, on a U_n ≥ 2 et que (U_n) est une suite décroissante à partir du rang 1.
2. Soit φ₁ la fonction numérique d’une variable réelle x définie par φ₁(x) = Ln(1 + x) − x.
   a) Démontrer que pour tout x ∈ ]−1, +∞[, on a Ln(1 + x) ≤ x.
   b) En déduire que pour tout h ≥ 0, on a 0 ≤ f(2 + h) − 2 ≤ h²2(2 + h) ≤ h²4.
3. On pose V_n = U_n − 2, ∀n ∈ ℕ. Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, on a 0 ≤ V_n+1 ≤ V_n²4.

Partie 3.

1. Soit φ₂ la fonction numérique à variable réelle x définie par : φ₂(x) = Ln(1 + x) − x + x²2. Étudier le signe de φ₂ sur l’intervalle ]−1, +∞[.
2. Pour n ∈ ℕ*, φ_n est la fonction définie sur l’intervalle ]−1, +∞[ par : φ_n(x) = Ln(1 + x) − x + x²2 − x³3 + … + (−1)ⁿ·xⁿn. Étudier le signe de φ_n(x) pour x ∈ ]−1, +∞[.

Partie 4. On considère l’application h de ℝ dans ℝ définie par h(x) = x³ − 4xx² + 4.

1. a) Trouver trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout x ∈ ℝ, on ait h(x) = ax + b + cxx² + 4.
   b) Déterminer une primitive H de h.
2. Soit α un nombre réel supérieur à 2. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer en fonction de α l’intégrale suivante : I(α) = ∫α22x Ln[e4(x + 4x)] dx.

2. Exercice

Soient ABC un triangle isocèle et BCDE un rectangle. On donne AB = 5 cm, BC = 6 cm et CD = 3 cm. Soit O la projection orthogonale du point A sur le segment [BC]. On considère un point M du segment [AO] tel que AM = x. On note N le projeté du point M sur la droite (BC) parallèlement à la droite (AC). On note P le symétrique du point N par rapport à la droite (AO).

1. Construire une figure.
2. Calculer AO, MO, ON et vérifier que MN = 54(4 − x).
3. Calculer A(x) l’aire du quadrilatère AMNC en fonction de x.
4. Soit B(x) l’aire du domaine limité par ABEDC, extérieur au triangle MNP. Exprimer B(x) en fonction de x.

Énoncé — session 2000 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 27-28 septembre 2000 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Partie A — Exercice I

[Le haut de la première page est plié sur le scan : la première question est en partie illisible. On lit : « Démontrer que P(z) = z² + (1 − 2i)z + 7 − i (z ∈ ℂ) est le produit de deux polynômes du 1ᵉʳ degré ». Coefficients à vérifier sur le scan.]

On considère sur ℂ l’équation (E) : t² − 3zt + 2z² + iz + 1 = 0, où t est l’inconnue et z paramètre complexe.

1. Déterminer les deux solutions de (E) dans le cas général.
2. Déterminer l’ensemble z pour que lui-même soit solution de (E).

Partie B — Exercice II

On rappelle que : C^p_n = n!p!(n − p)!.

1. Démontrer que : C^p_n+1 = C^p_n + C^p−1_n.
2. On admet que : (a + b)ⁿ = C⁰_naⁿ + C¹_naⁿ⁻¹b + C²_naⁿ⁻²b² + … + Cⁿ_nbⁿ.
   a) Calculer : C⁰_n + C¹_n + C²_n + … + Cⁿ⁻¹_n + Cⁿ_n.
   b) Montrer que : C⁰_n + C²_n + C⁴_n + … = C¹_n + C³_n + C⁵_n + …
   c) Montrer que : C⁰_n + C²_n + C⁴_n + … = 2ⁿ⁻¹.
3. Démontrer, d’après le principe du raisonnement par récurrence, que : C⁰_n + C¹_n + C²_n + … + Cⁿ⁻¹_n + Cⁿ_n = 2ⁿ.

Partie C — Exercice III

Soit la fonction d’une variable réelle définie par :

[La définition de la fonction et la question 1 de l’exercice III sont sur une page absente du recueil ; le scan reprend à la question 2.]

1. [question absente du recueil]
2. Soit la fonction g définie sur l’intervalle ]0, π2[ par g(x) = Log(sin x + cos x).
   b) On pose I = ∫π/20cos xsin x + cos x dx et J = ∫π/20sin xsin x + cos x dx. Calculer I + J et I − J. En déduire la valeur de I et celle de J.

Exercice 4

1. Soit la fonction g : ℝ → ℝ, x → g(x) = (1 − x)e^x − 1. Donner l’expression de la dérivée g’(x) et donner le tableau des variations de la fonction. En déduire le signe de g(x).
2. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par : f(x) = (2 − x)e^x − 2 − x.
   a) À l’aide des résultats obtenus en 1, déduire les variations de la fonction f.
   b) Montrer que la courbe représentative (C) de cette fonction f admet pour asymptote oblique la droite d’équation y = 2 − x. Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).
   c) Déterminer le point K de la courbe (C) en laquelle la tangente est parallèle à (D).
   d) Tracer la courbe (C) dans un repère orthonormé. Préciser les coordonnées des points d’intersection A et B de la courbe (C) avec les axes.

Énoncé — session 2001 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 17-18 octobre 2001 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Tous les exercices sont obligatoires.

Exercice 1

1. z étant un nombre complexe, on pose A = 1 + z1 − z. On désigne par M un point du plan dont l’affixe est z.
   a) Déterminer l’ensemble des points M tel que A soit un nombre réel.
   b) Déterminer l’ensemble des points M tel que A soit imaginaire pur.
2. Le nombre complexe u s’écrit : u = 5 + i√32 − i√3.
   a) Écrire u sous forme trigonométrique.
   b) Calculer u⁴.
3. Résoudre dans ℂ l’équation 6z² − (5 − i)z + 2 − 5i6 = 0.
4. Calculer la somme suivante, où n est un entier naturel : S = ∑nk=0cos kθ.

Exercice 2

1. La suite (u_n) est définie de la manière suivante : u₀ = 1, u₁ = 3 ; n > 1 : u_n = 3u_n−1 − 2u_n−2.
   a) Calculer u₂, u₃, u₄. Démontrer que, pour tout n : u_n = 2ⁿ⁺¹ − 1. La suite (u_n) est-elle convergente ?
   b) La suite (v_n) est définie par : v_n = u_n − 2u_n−1. Démontrer que (v_n) est constante. En déduire une relation entre u_n et u_n−1.
   c) Peut-on trouver des suites géométriques (s_n) vérifiant, pour tout n > 1 : s_n = 3s_n−1 − 2s_n−2 ?
2. La suite (w_n) est définie pour w₀ = a, w₁ = b et pour tout n supérieur à 1, par : w_n+1 = w_n − w_n−1. Démontrer que (w_n) est périodique.
3. Trois réels x, y, z forment dans cet ordre une suite arithmétique dont la somme est 9 ; 1x, 2y et 3z forment dans cet ordre une suite géométrique. Calculer x, y et z.

Exercice 3

1. Soit f l’application de ]0, +∞[ dans ℝ définie par : f(x) = −x + 1 + 2Log x si x ∈ ]0, 1[ ; f(x) = x − 2 + e^1−x si x ∈ [1, +∞[.
   a) Montrer que f est continue au point x = 1. Montrer que f est continue sur ]0, +∞[.
   b) Montrer que f est dérivable à gauche et dérivable à droite au point x = 1. L’application f est-elle dérivable en ce point ?
2. Soit la fonction g définie sur l’intervalle ]0, π2[ par : g(x) = Log(sin x + cos x).
   a) Calculer la dérivée de g.
   b) On pose I = ∫π/20cos xsin x + cos x dx et J = ∫π/20sin xsin x + cos x dx. Calculer I + J et I − J. En déduire la valeur de I et celle de J.

Exercice 4

1. Soit la fonction g : ℝ → ℝ, x → g(x) = (1 − x)e^x − 1. Donner l’expression de la dérivée g’(x) et donner le tableau des variations de la fonction g. En déduire le signe de g(x).
2. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par : f(x) = (2 − x)e^x + 2 − x.
   a) À l’aide des résultats obtenus en 1, déduire les variations de la fonction f.
   b) Montrer que la courbe représentative (C) de cette fonction f admet pour asymptote oblique la droite d’équation y = 2 − x. Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).
   c) Déterminer le point K de la courbe (C) en laquelle la tangente est parallèle à (D).
   d) Tracer la courbe (C) dans un repère orthonormé. Préciser les coordonnées des points d’intersection A et B de la courbe (C) avec les axes.

Énoncé — session 2002 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 3-4 décembre 2002 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice I — les deux parties A et B sont indépendantes et obligatoires

Partie A. On considère la suite réelle (U_n) définie par : U₀ = 0, U_n+1 = √2 + U_n pour ∀n ∈ ℕ.

1. Montrer que, par récurrence sur « n », la suite (U_n) est majorée par un nombre « h » qu’on déterminera.
2. Démontrer que (U_n) est strictement croissante : a) en raisonnant par récurrence ; b) en étudiant le signe de la différence (U_n+1 − U_n). Que peut-on en déduire ?
3. On construit une nouvelle suite (V_n) par : ∀n ∈ ℕ, V_n = 2 − U_n.
   a) Démontrer que : ∀n ∈ ℕ, V_n+1 ≤ 12V_n.
   b) En déduire limn → +∞ V_n et limn → +∞ U_n.
   c) Vérifier que le résultat de limn → +∞ U_n satisfait la déduction de la question 2°.
4. Déterminer directement la limite de la suite (U_n).

Partie B. Pour chacune des suites suivantes, explicitez dans chaque cas le terme général U_n en fonction de n, n ∈ ℕ : a) U₀ = 1, U_n = 13U_n−1 ; b) U₀ = 1, U_n+1 = 10U_n − 8 − 9n ; c) U₀ = 1, U_n+1 = U_n√U_n² + 1.

Exercice II — les deux parties A et B sont indépendantes et obligatoires

Partie A. Soit f la fonction de ℝ vers ℝ définie par f(x) = x − 1 + √x² − x.

1. Étudier la variation de f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (O, i, j).
2. Soit f₁ la restriction de f à l’intervalle ]−∞, 0] ; montrer que f₁ est une bijection de cet intervalle sur un intervalle I que l’on précisera. Soit g = f₁⁻¹ la bijection réciproque de f₁ ; construire la courbe (C₁) représentative de g dans le même repère que (C).
3. Déterminer g(x), ∀x ∈ I, et calculer l’aire géométrique de la partie du plan définie par : {−1 ≤ x ≤ −1e²} et {g(x) ≤ y ≤ x2 + 1}.

Partie B.

1. Calculer l’aire d’un disque de rayon égal à 12.
2. On considère la fonction définie, pour tout x de [0 ; 1], par : f(x) = √x(1 − x). Étudiez les variations de f(x) (on admettra que f(x) n’est pas dérivable en 0 et en 1).
3. Soit (C) la courbe représentative de f(x) dans un repère orthonormal.
   a) Soit M le point d’abscisse x de (C) et I le point de coordonnées (12 ; 0), calculer IM².
   b) Prouvez que (C) est un demi-cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracez ce demi-cercle.
4. a) Donnez une interprétation géométrique de l’intégrale ∫10√x(1 − x) dx.
   b) En déduire la valeur de cette intégrale.

Exercice III — les trois questions suivantes sont indépendantes et obligatoires

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes le système : (1 + i)z − (2 − 3i)z’ = 4 + 3i ; (2 − 3i)z̄ + (4 − 2i)z̄’ = 3 − 4i, où les inconnus sont z et z’ ; z̄ et z̄’ sont les conjugués de z et z’.
2. Résoudre dans ℂ l’équation : z² + (2 + 4i)z + 3 − 4i = 0.
3. Soit la transformation ponctuelle S du plan tel que S(M) = M’ où M et M’ ont respectivement pour affixes z et z’ telles que : z’ = (1 + i)z + 3 − 2i.
   a) Donner les éléments caractéristiques de S.
   b) En déduire les éléments caractéristiques de S⁻¹ et Sⁿ.
   c) Déterminer l’image par S : de la 1ʳᵉ bissectrice ; du cercle trigonométrique.

Énoncé — session 2003 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 1-2 octobre 2003 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice n° 1 (8 points)

Partie A. Soit f une application du corps des nombres complexes ℂ dans lui-même f(z) = z + ii − z.

1. Trouver deux nombres complexes a et b tels que : f(z) = a + bz − i. (1 point)
2. Soient E l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z| = 1, E₁ l’image de E par l’application z₁ = f₁(z) = z − i, E₂ l’image de E₁ par l’application z₂ = f₂(z₁) = 1z₁, E₃ l’image de E₂ par l’application z₃ = f₃(z₂) = b·z₂, E₄ l’image de E₃ par l’application z₄ = f₄(z₃) = a + z₃. Déterminer les ensembles E₁, E₂, E₃, E₄ et tracer leurs courbes représentatives dans le plan complexe. (2 points)

Partie B.

1. Résoudre dans le corps des nombres complexes l’équation z⁴ − 1 = 0 et en déduire les solutions de l’équation [(√3 − i)z + 1]⁴ = 1. (2 points)
2. Soit a = √6 − √22 + i√6 + √22. Calculer a⁴. (1 point)
3. Déterminer la forme trigonométrique puis la forme algébrique des nombres complexes solutions de l’équation z⁴ = 8(1 − i√3). (2 points)

Exercice n° 2 (12 points)

Dans cet exercice on désigne par ℝ le corps des nombres réels, par ℚ le corps des nombres rationnels, par ℤ l’ensemble des nombres entiers, par ℕ l’ensemble des entiers naturels. On suppose qu’il existe une fonction continue unique f définie sur ℝ, vérifiant les conditions a) et b) suivantes : a) ∀x ∈ ℝ et ∀y ∈ ℝ, f(x + y) + (x + y) = (f(x) + x)(f(y) + y) ; b) f(1) = e − 1 (e : base des logarithmes népériens).

1. Montrer que : (1) (∀t ∈ ℝ)(f(t) + t ≥ 0) (1 point) ; (2) (∀t ∈ ℝ)(f(t) + t ≠ 0) et que f(0) = 1. (1 point)
2. Montrer que : (3) (∀x ∈ ℝ) et (∀n ∈ ℕ) f(nx) + nx = (f(x) + x)ⁿ (0,5 point). Posant y = −x dans a), calculer f(−x) − x et établir que (3) reste vérifiée (∀x ∈ ℝ) et (∀n ∈ ℤ). (0,5 point)
3. Calculer, en fonction du nombre e et du nombre entier n, l’expression f(n) + n puis f(1n) + 1n. (1 point) En déduire que : (4) (∀r ∈ ℚ)(f(r) = e^r − r). (1 point)
4. On admet que tout nombre réel x est limite d’une suite de nombres rationnels (r_n)_n≥0, (r_n ∈ ℚ), c’est-à-dire (∀x ∈ ℝ)(∃(r_n)_n≥0 ⊂ ℚ) et limn → +∞ r_n = x.
   a) Montrer que (∀x ∈ ℝ)(f(x) = e^x − x). (1 point) Étudier et représenter graphiquement les variations de f, en soignant particulièrement l’étude des branches infinies. Que peut-on dire de la tangente à la courbe représentative de f au point x = 1 ? (2 points)
   b) Évaluer l’aire A(b) de la portion du plan comprise entre la courbe, son asymptote et les droites d’équations x = 0, x = b (b < 0) et trouver la limite de A(b) lorsque b tend vers −∞. (1 point)
5. a) Montrer que l’on a : (5) (∀x ∈ ℝ)(e^x ≥ 1 + x). (1 point)
   b) On pose : ln(U₀) = 0, ln(U_n) = ln(1 + a) + ln(1 + a²) + … + ln(1 + aⁿ), (n > 0), avec 0 < a < 1 et ln le logarithme népérien. Montrer que (U_n)_n≥0 est une suite convergente. (2 points)

Énoncé — session 2004 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 2-3 novembre 2004 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés. N.B. : on tiendra compte d’une bonne présentation et d’une bonne rédaction de toutes les démonstrations (2 points).

Exercice (sur 6 points)

Soit la famille d’équations (E_θ) : z² − (1 + i sin 2θ)z + i2 sin 2θ = 0, dans laquelle θ désigne un réel appartenant à l’intervalle semi-ouvert ]−π2, π2]. À tout complexe z = x + iy, on associe le point M de coordonnées (x, y) dans le plan.

1. Résoudre l’équation (E_θ) dans l’ensemble des nombres complexes. (2 points)
2. Soient M’(θ) et M’’(θ) les points du plan associés aux solutions z’(θ) et z’’(θ) de l’équation (E_θ) et soit I(θ) le milieu du segment [M’(θ), M’’(θ)].
   a) Déterminer l’ensemble des points I(θ) lorsque θ décrit ]−π2, π2]. (1 point)
   b) Montrer que l’ensemble des points M’(θ) et M’’(θ) est un cercle C que l’on précisera. (1 point)
   c) Démontrer, lorsque M’(θ) et M’’(θ) sont distincts, que la droite contenant ces deux points a une direction indépendante de θ. (1 point)
   d) On pose θ = π6, déduire de ce qui précède une construction simple de I(θ) et des points M’(θ) et M’’(θ). (1 point)

Problème (sur 12 points)

Partie A.

1. Soient g₁ une application de ]0, +∞[ dans ℝ : g₁(x) = 2x³ + 1 − 3Log x, g₂ une application de ]−∞, 0[ dans ℝ : g₂(x) = x² + 1 − 2Log|x|, où Log x désigne le logarithme népérien de x. Étudier les sens de variation de g₁ et de g₂. (1,5 point)
2. Soient h₁ une application de ]0, +∞[ dans ℝ : h₁(x) = (2 + 1x³)Log x ; h₂ une application de ]−∞, 0[ dans ℝ : h₂(x) = (1 + 1x²)Log|x|. Étudier les sens de variation de h₁ et de h₂. (1,5 point)

Partie B. Soit f une application de ℝ dans ℝ : f(x) = e^h₁(x) si x > 0, f(0) = 0, f(x) = e^h₂(x) si x < 0, où e est la base des logarithmes népériens.

1. La fonction f est-elle continue sur ℝ ? (1 point)
2. La fonction f est-elle dérivable sur ℝ ? (1 point)
3. Calculer lim|x| → +∞ f(x)x. (1 point)
4. Calculer limx → +∞ f(x) − x²Log xx et limx → −∞ f(x) + xLog|x|x. (1 point)
5. En déduire limx → +∞ f(x) − x² et limx → −∞ f(x) + x, puis étudier les branches infinies. (1,5 point)
6. Étudier le signe de f(x) − x² pour x ≥ 0 et de f(x) + x pour x ≤ 0. (1,5 point)
7. Étudier le sens de variation de f. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. On précisera sa position par rapport aux asymptotes et l’on indiquera la tangente au point 0. (2 points)

Énoncé — session 2005 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 8 au 9 novembre 2005 — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice

1. Résoudre dans ℂ l’équation z² − 2√2 z + 4 = 0. On désignera par z₁ la solution dont la partie imaginaire est positive et par z₂ l’autre solution.
2. a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z₁ et z₂.
   b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe (z₁z₂)².
3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v), (unité = 1 cm), on considère le point P₁ d’affixe √2(1 + i), le point P₂ d’affixe √2(1 − i) et le point P d’affixe z_P = √22.
   a) Déterminer l’affixe du point P₃, image de P₂ par l’homothétie H de centre P et de rapport −3.
   b) Déterminer l’affixe du point P₄, image de P₂ par la rotation R de centre O et d’angle (−π2).
   c) Placer dans le même repère les points P, P₁, P₂, P₃ et P₄.
   d) Calculer z₃ − z₁z₄ − z₁.
   e) Soient I le milieu du segment [P₃, P₄] et P₅ le symétrique de P₁ par rapport à I. Montrer que les points P₁, P₃, P₅ et P₄ forment un carré.

Problème — les trois parties A, B et C sont indépendantes

Partie A. On se propose d’étudier dans cette partie les fonctions T_n(x) = cos nθ où x = cos θ et n ∈ ℕ.

1. Montrer que pour tout n, on a la relation T_n+1(x) = 2xT_n(x) − T_n−1(x).
2. Vérifier que la suite des nombres x_k = cos(2k − 12nπ), où k = 1, 2, …, n, sont racines simples des équations T_n(x) = 0.
3. a) Pour n = 3, déterminer les trois valeurs de la suite x_k correspondante.
   b) En utilisant la formule du binôme, montrer que cos nθ = ∑nk=0C^k_n(i√1 − x²)^k x^n−k avec k pair.
4. En déduire ainsi que les fonctions T_n(x) = cos nθ sont des fonctions polynômiales de degré n et à coefficients du plus haut degré égal à ℓ que l’on déterminera.
5. Déterminer en fonction de x les trois fonctions suivantes : T₀(x), T₁(x) et T₂(x).

Partie B. Soient f(x) = √x² + 1 et g(x) = 23(√7 − 2)x² + 1 deux fonctions à variable réelle définies sur ℝ. On se propose, dans cette partie, de résoudre l’équation √x² + 1 − 23(√7 − 2)x² − 1 = 0 (1).

1. Montrer que f est une fonction bijective sur [0, +∞[ et déterminer sa fonction réciproque f⁻¹.
2. Étudier les fonctions f et g et tracer sur un même repère orthonormé (O, i, j) les courbes représentatives C et H respectives de f et de g. On donne √2 ≈ 1,414 ; √5 ≈ 2,236 ; √7 ≈ 2,645.
3. En déduire à l’aide de la lecture graphique les valeurs approximatives des solutions de l’équation (1).
4. Calculer en fonction de x les dérivées successives jusqu’à l’ordre 4 de la fonction f(x) = √x² + 1.

Partie C. Dans cette partie, on considère une fonction h(x) définie sur le segment [−π, π] continue et ayant ses dérivées jusqu’à l’ordre m-ième continues et qui vérifie la relation h^(k)(−π) = h^(k)(π) pour tout 0 ≤ k ≤ m. Considérons la suite de nombres a_n = 1π∫π−πh(x) cos nx dx, n ∈ ℕ.

1. Montrer que l’on a la relation a_n = 1πn∫π−πh’(x) cos(π2 + nx) dx.
2. En déduire que pour tout m, on a aussi a_n = 1πn^m∫π−πh^(m)(x) cos(π2m + nx) dx.

Énoncé — session 2006 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 22-23 novembre 2006 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

1. On considère le nombre complexe a = −1 + i. Calculer le module et l’argument de a, de 1a, de a².
2. Déterminer les racines carrées du nombre complexe b = 5 − 12i.
3. Résoudre dans ℂ l’équation : z² − (5 − 4i)z + 3(1 − 3i) = 0.

Exercice 2

On considère la suite réelle (u_n) définie par : u₀ = 1 ; ∀n ∈ ℕ : 2u_n+1 = u_n + 3.

1. On pose : ∀n ∈ ℕ : v_n = u_n+1 − u_n.
   a) En écrivant 2(u_n+2 − u_n+1) en fonction de u_n+1 − u_n, montrer que v_n+1 et v_n sont du même signe que l’on précisera. En déduire le sens de variation de (u_n).
   b) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme v₀ et la raison q.
   c) Calculer S_n = ∑np=0v_p, puis L = limn → +∞ S_n.
   d) Montrer que S_n = u_n+1 − u₀. En déduire ℓ = limn → +∞ u_n.
2. Montrer qu’il existe une suite géométrique (w_n) telle que (u_n − w_n) soit indépendante de n. Exprimer u_n en fonction de n, puis retrouver ℓ.

Exercice 3

Le plan étant rapporté au repère orthonormé (O, i, j), on donne les fonctions f de [0, 2π] dans ℝ définie par f(x) = (sin x2)² et g de ℝ dans ℝ définie par g(x) = 2e^x + 1e^x + 1. On note (C) la courbe de f.

1. f est-elle périodique ? Si oui, déterminer sa période T.
2. f est-elle paire ?
3. Montrer que (C) admet la droite (D) d’équation x = π pour axe de symétrie.
4. Donner le tableau de variation de g et montrer que g possède une fonction réciproque h. Préciser le domaine de définition de h et exprimer h(x) en fonction de x.

Exercice 4

Le plan étant rapporté au repère orthonormé (O, i, j), on donne la fonction φ de ℝ*₊ dans ℝ définie par : φ(x) = −x + 1 + 2Log x pour 0 < x < 1 ; φ(x) = x − 2 + e^−x+1 pour x ≥ 1.

1. Montrer que φ est continue et dérivable en tout point x strictement positif et différent de 1.
2. En x₀ = 1, φ est-elle continue ? est-elle dérivable ?
3. Étudier les variations de φ et tracer sa courbe représentative en précisant les asymptotes.
4. Soit λ un réel supérieur à 2. Exprimer l’aire A(λ) du domaine des points M vérifiant : 1 ≤ x ≤ λ ; 0 ≤ y ; x − 2 ≤ y ≤ φ(x).
5. Calculer α = limλ → +∞ A(λ).

Énoncé — session 2008 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 26-27 novembre 2008 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice n° 1

1. Linéariser sin³x. (0,5 pt)
2. Utiliser le résultat précédent pour calculer l’intégrale I = ∫π/20sin x(1 + sin x)² dx. (1 pt)

Exercice n° 2

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = x² + x + 1x² e^−1/x pour x > 0 et f(0) = 0. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j) (unité graphique 5 cm).

Partie A.

1. Démontrer que la droite d’équation (Δ) : y = 1 est asymptote à (C). (0,5 pt)
2. a) Pour x > 0, calculer f(x) − f(0)x et étudier la limite de cette expression quand x tend vers 0. (1 pt)
   b) Que peut-on en déduire pour la fonction f ? (0,5 pt)
   c) Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ? (0,5 pt)
3. a) Pour tout x de ]0 ; +∞[, calculer la dérivée de f. (0,5 pt)
   b) Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f. (1 pt)
   c) Tracer la courbe représentative de f. (0,5 pt)

Partie B. On note g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = f(x) − xf’(x).

1. Montrer que dans ]0 ; +∞[, les équations g(x) = 0 et x³ + x² + 2x − 1 = 0 sont équivalentes. (1 pt)
2. Démontrer que l’équation x³ + x² + 2x − 1 = 0 admet une seule racine réelle α. (1 pt)
3. On pose A = f(α)α. Montrer que A = f’(α). (1 pt)

Partie C.

1. Pour n ∈ ℕ*, on pose u_n = ∫11/nf(x) dx.
   a. Sans calculer explicitement u_n, déterminer le signe de u_n+1 − u_n. (0,5 pt)
   b. En déduire le sens de variation de la suite (u_n). (0,5 pt)
2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = (x + 1)e^−1/x est une primitive de f sur ]0 ; +∞[. (0,5 pt)
3. Calculer u_n. Interpréter graphiquement le résultat. (1 pt)
4. La suite (u_n) est-elle convergente ? (0,5 pt)

Exercice n° 3

1. On considère dans ℂ l’équation (E) : 4z³ − 2(1 + 3i)z² − (4 + i)z − 1 + i = 0.
   a) Montrer que l’équation admet une racine imaginaire pure z₁ que l’on déterminera. (1 pt)
   b) Résoudre l’équation (E). On notera z₂ la solution réelle et z₃ l’autre solution. (1,5 pt)
2. Soit f l’application de ℂ − {2} dans ℂ définie par : pour tout z ∈ ℂ − {2}, f(z) = 2z − i2 − z.
   a) On pose z = x + iy et f(z) = x’ + iy’. Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y. (1 pt)
   b) Déterminer l’ensemble (Γ) des points M d’affixe z pour que f(z) soit imaginaire pur. (1 pt)
3. Dans le plan complexe (P), on considère l’application S : M(z) → M’(z’) définie par : z’ = 2iz + 2 + i.
   a) On note M₁ le point d’affixe z₁ et M₃ le point d’affixe z₃. Vérifier que S(M₁) = M₃. (0,5 pt)
   b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S. (1,5 pt)
   c) Déterminer l’ensemble (Γ’) image de (Γ) par S. (0,5 pt)
4. a) Déterminer l’ensemble (ζ) des points M d’affixe z tels que |2z − i| = 1. (1 pt)
   b) Quelle est l’image (ζ’) par l’application S ? (0,5 pt)

Énoncé — session 2009 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 25-26 novembre 2009 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice I (6 points)

Soit P le polynôme à variable complexe z défini par : P(z) = z³ − (2 + 3i)z² + (−1 + 5i)z − 2i(1 + i).

1. a) Déterminer une racine réelle notée z₀ de l’équation P(z) = 0. (0,5 pt)
   b) Mettre P(z) sous la forme P(z) = (z − z₀)(z² + az + b) où a et b sont des nombres complexes que l’on déterminera. (0,5 pt)
   c) Résoudre dans ℂ l’équation P(z) = 0. On notera z₁ et z₂ les deux autres racines telles que |z₁| < |z₂|. (1 pt)
2. On pose q = 1 + i. On désigne par (U_n) la suite de premier terme U₀ = 1 et U_n+1 = qU_n pour tout entier n.
   a) Vérifier que U₀, U₁ et U₂ sont racines de P(z). (0,5 pt)
   b) Exprimer U_n en fonction de n et q. (0,5 pt)
   c) En déduire la forme trigonométrique de U_n. (1 pt)
3. On désigne par M_n le point d’affixe U_n.
   a) Démontrer que, quel que soit n ∈ ℕ, les trois points O, M_n et M_n+4 sont alignés. (0,5 pt)
   b) Démontrer que, quel que soit n ∈ ℕ, le triangle OM_nM_n+2 est rectangle. (0,5 pt)
4. a) Déterminer les valeurs de n pour que U_n soit un réel positif. (0,5 pt)
   b) Déterminer les valeurs de n pour que U_n soit imaginaire pure. (0,5 pt)

Exercice II (4 points)

On considère l’équation différentielle (E) suivante : y’’ − y’ − 2y = e^−x(−6x + 8).

1. a) Vérifier que la fonction u définie dans ℝ par u(x) = e^−x(x² − 2x) est solution de (E). (0,5 pt)
   b) Montrer qu’une fonction numérique f est solution de (E) si et seulement si f − u est solution de l’équation différentielle (E’) : y’’ − y’ − 2y = 0. (0,5 pt)
   c) Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E). (1 pt)
   d) Déterminer l’unique solution de E telle que f(0) = 1 et f’(0) = −3. (0,5 pt)
2. On pose I_λ = ∫λ0(x − 1)² e^−x dx où λ > 0.
   a) Par deux intégrations par parties successives, exprimer I_λ en fonction de λ. Calculer limλ → +∞ I_λ. (1 pt)
   b) En déduire, en cm², l’aire du domaine plan (D) ensemble des points M(x, y) tels que x ≥ 0 et 0 ≤ y ≤ f(x) dans un repère orthonormé (O, i, j) d’unité 2 cm. (0,5 pt)

Problème (10 points)

On considère la fonction numérique f définie sur [0, +∞[ dans ℝ par : f(0) = 0, f(x) = |x ln x| si x > 0. La notation ln désigne le logarithme népérien de base e. On note par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) d’unité 5 cm.

Partie I.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f. (1 pt)
2. Étudier les variations de f et la branche infinie de C. Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)
3. a) Montrer que f réalise une bijection de ]1, e[ vers un intervalle J que l’on déterminera. (0,5 pt)
   b) Démontrer qu’il existe un réel unique α de ]1, e[ tel que f(α) = 1e et un réel unique β de ]1, e[ tel que f(β) = 1. (0,5 pt) Donner pour α et β une valeur approchée par défaut à 10⁻² près. (0,5 pt)
4. Déterminer dans ℝ⁺ le signe de f(x) − x. (0,5 pt)
5. Tracer le plus précisément possible la courbe C. (1 pt)

Partie II. Soit u₀ un réel positif ou nul. On considère la suite (u_n) définie par u₀ et par u_n+1 = f(u_n) pour tout n ∈ ℕ. On pourra utiliser les résultats dans la partie I sur l’étude de la fonction f.

1. Pour quelles valeurs de u₀, la suite (u_n) est-elle constante ? (0,5 pt)
2. Soit u₀ ∈ ]0, 1e[, démontrer que : a) pour tout n ∈ ℕ, on a 0 < u_n < 1e (0,5 pt) ; b) la suite (u_n) est croissante. (0,5 pt)
3. Soit u₀ ∈ ]1e, 1[, montrer que u₁ ∈ ]0, 1e[. (0,5 pt) En déduire que si la suite (u_n) converge vers une limite l ∈ {0, 1e, e} alors cette limite est égale à 1e. (0,5 pt)
4. Soit u₀ > e.
   a) Montrer que la suite (u_n) est croissante. (0,5 pt)
   b) Montrer que pour tout x ≥ e on a f’(x) ≥ 2. (0,5 pt)
   c) En déduire pour tout n ∈ ℕ* que u_n+1 − u_n ≥ 2(u_n − u_n−1). (0,5 pt)
   d) Montrer ensuite la relation u_n+1 ≥ u₀ + (u₁ − u₀)(2ⁿ⁺¹ − 1). Déterminer la nature de la suite (u_n). (1 pt)

Énoncé — session 2011 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 23-24 février 2011 (Ingénieurs) · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice 1

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormé (O, u, v), on considère, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante : z³ + (−8 + i)z² + (17 − 8i)z + 17i = 0.

1. a) Montrer que −i est solution de (E).
   b) Résoudre (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
2. On appelle A, B, C et Ω les points d’affixes respectives 4 + i, 4 − i, −i et 2. Comparer |z_A − z_Ω|, |z_B − z_Ω|, |z_C − z_Ω| et en déduire que les points A, B, C appartiennent à un même cercle (Γ₁) dont on précisera le centre et le rayon R₁.
3. À tout point M d’affixe z ≠ 2, on associe le point M’ d’affixe : z’ = iz + 10 − 2iz − 2.
   a) Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (Γ₁), montrer que : |z’ − i| = 2√5.
   b) Déterminer les affixes des points A’, B’ et C’ associés respectivement aux points A, B, C et vérifier que A’, B’ et C’ appartiennent à un cercle (Γ₂) dont on déterminera le centre I et le rayon R₂.

Exercice 2

Le plan étant rapporté au repère orthonormé (O, i, j), on considère les courbes H₁ et H₂ d’équations respectives : H₁ : y = 1x (avec x > 0) et H₂ : y = 2x (avec x > 0).

1. Tracer H₁ et H₂.
2. On note D₂ le domaine délimité par les courbes H₁ et H₂ et les droites d’équations x = 2 et x = 3, et D’₂ le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe H₁ et les droites d’équations x = 2 et x = 3. Montrer que D₂ et D’₂ ont la même aire.
3. Soit n un entier naturel strictement positif. On note u_n l’aire du domaine D_n délimité par les courbes H₁ et H₂ et les droites d’équation x = n et x = n + 1. Exprimer u_n en fonction de n et montrer que la suite (u_n) est décroissante. La suite (u_n) est-elle convergente ?

Exercice 3

Le plan étant rapporté au repère orthonormé (O, i, j), on donne la fonction φ définie par φ(x) = 2√2x − x².

1. Montrer que la courbe (Λ) de φ admet la droite (D) d’équation x = 1 pour axe de symétrie.
2. Dresser le tableau de variations de φ.
3. Soit ψ la restriction de φ au segment [0, 1], montrer que ψ admet une fonction réciproque ψ⁻¹ dont on précisera l’ensemble de définition.
4. Sur quel intervalle ψ⁻¹ est-elle dérivable ?
5. Calculer ψ⁻¹(12) puis (ψ⁻¹)’(12).

Problème

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, i, j).

1. Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) = e^x(x + 3) − 1.
   a) Déterminer la limite de g en +∞ et en −∞.
   b) Calculer la dérivée g’ de g et en déduire le tableau de variations de g.
   c) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α qui appartient à l’intervalle ]−4, 0[.
   d) Déduire des questions précédentes le signe de g(x) en fonction des valeurs de x.
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = −x + (x + 2)e^x et soit (C) la courbe de f.
   a) Déterminer la limite de f en −∞.
   b) Montrer que la droite (Δ) d’équation y = −x est asymptote à la courbe (C) en −∞.
   c) Étudier, en fonction des valeurs de x, les positions relatives de (Δ) et (C).
   d) En remarquant que f(x) peut s’écrire : f(x) = e^x(−xe^x + x + 2), déterminer la limite de f en +∞.
   e) Vérifier que, pour tout réel, on a : f’(x) = g(x).
   f) Dresser le tableau de variations de f.
   g) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en son point A d’abscisse 0.
   h) Tracer la courbe (C), la tangente (T) et l’asymptote (Δ) dans un même repère.
3. Soit h la fonction définie sur ℝ par : h(x) = (x + 1)e^x.
   a) Calculer h’(x) puis en déduire une primitive de f sur ℝ.
   b) Calculer l’aire 𝒜 du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses, la droite d’équation y = −2 et l’axe des ordonnées. On en donnera une valeur approchée à 10⁻² près.

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