Sujets de Mathématiques — Concours d’entrée ESPA Polytechnique (1993–2025)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESPA — ÉCOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

Sujets de Mathématiques

Sessions 1993 à 2025 — 29 sujets, énoncés transcrits et corrigés

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Énoncé — session 1993 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 20-21 octobre 1993 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés. N.B. : chaque exercice sera noté sur 4.

Exercice n° 1

1. Résoudre dans le corps des nombres complexes \(\mathbb{C}\) l’équation \(Z^2 – (3 + i)Z + 4 = 0\). Déterminer le module et l’argument de ses racines.
2. Soit l’équation \((E)\) dans \(\mathbb{C}\) : \(Z^3 – (5 + i)Z^2 + 2(5 + i)Z – 8 = 0\).
   a) Montrer que cette équation admet une racine réelle que l’on déterminera.
   b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\).

Exercice n° 2

1. Soit \(f\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}\) est l’ensemble des nombres réels). Montrer que si \(f\) est dérivable au point \(x_0\), alors \(f\) est continue en ce point. (La réciproque en général n’est pas vraie.)
2. Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes au point 0 : a) \(f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}\) si \(x \neq 0\), \(f(0) = 0\), où \(e^{x}\) désigne la fonction exponentielle de base \(e\) ; b) \(g(x) = x \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) si \(x \neq 0\), \(g(0) = 0\).

Exercice n° 3

Soit \(f\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(f(x) = \ln\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right)\) où \(\ln\) désigne le logarithme népérien.

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?
2. Montrer que \(f\) est une fonction impaire.
3. Étudier les variations de \(f\).
4. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \((O,\,i,\,j)\). Préciser les branches infinies.
5. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\). Déterminer \(f^{-1}\).

Exercice n° 4

1. Déterminer les primitives des fonctions suivantes : a) \(f(x) = \dfrac{x^2}{\sqrt{1 + x^3}}\) ; b) \(g(x) = (3x^2 + 4) \cdot e^{-x}\).
2. Calculer les intégrales suivantes : a) \(I_1 = \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (\cos^4 x – 3\cos x \cdot \sin x)\,dx\) ; b) \(I_2 = \displaystyle\int^{\alpha}_{1} \cos(\ln x)\,dx\) (\(\alpha > 0\)).

Exercice n° 5

Soit \(\mathbb{R}_2[X]\) \(= \{ p(X) = aX^2 + bX + c ; a, b, c \in \mathbb{R} \}\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(\leq 2\) et du polynôme zéro. On sait que \(\mathbb{R}_2[X]\), muni de l’addition (opération interne) : pour \(p(X) = aX^2 + bX + c\) et \(q(X) = a’X^2 + b’X + c’\) éléments de \(\mathbb{R}_2[X]\), \(p(X) + q(X)\) \(= (a + a’)X^2 + (b + b’)X + (c + c’)\), et de la multiplication par un scalaire \(\alpha \in \mathbb{R}\) (opération externe) : \(\alpha \cdot p(X) = \alpha \cdot aX^2 + \alpha \cdot bX + \alpha \cdot c\), est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(A\) le sous-espace engendré par \(\{X^2 – 3X + 2,\ 2X^2 + 1\}\) et \(B\) le sous-espace engendré par \(\{X^2 + X – 1,\ X^2 – X\}\). Donner une base de \(A \cap B\).
2. Pour \(\lambda\) et \(\mu\) éléments de \(\mathbb{R}\) et \(p(X)\) élément de \(\mathbb{R}_2[X]\), soit \(f_{\lambda,\mu}\) l’application de \(\mathbb{R}_2[X]\) dans lui-même définie par : \(f_{\lambda,\mu}(p(X))\) \(= (X^2 – \lambda)p »(X) + (\mu X – 1)p'(X)\), où \(p'(X)\) et \(p »(X)\) sont les dérivées première et seconde de \(p(X)\).
   a) Montrer que \(f_{\lambda,\mu}\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\).
   b) Quel est son noyau ?
   c) Est-ce que \(f_{\lambda,\mu}\) peut-il être un automorphisme ?

Énoncé — session 1994 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1994-1995 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

1. Trouver les racines quatrièmes de \(-4\) sous la forme algébrique dans \(\mathbb{C}\).
2. Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes \(z_1 = \dfrac{\sqrt{6} – i\sqrt{2}}{2}\) et \(z_2 = 1 + i\). En déduire le module et l’argument de \(z_0 = \dfrac{z_1}{z_2}\). Utiliser ces résultats pour calculer \(\cos \dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin \dfrac{\pi}{12}\).
3. \(x\) étant un réel quelconque et \(n\) un entier naturel, en considérant l’expression de \(U + iV\), calculer les réels \(U\) et \(V\) définis par : \(U = 1 + C^{1}_{n} \cos x + C^{2}_{n} \cos 2x\) \(+ \ldots + C^{n}_{n} \cos nx\) ; \(V = C^{1}_{n} \sin x + C^{2}_{n} \sin 2x\) \(+ \ldots + C^{n}_{n} \sin nx\). Quel est l’ensemble des points \(M\) du plan complexe dont l’affixe \(z\) vérifie \(z \cdot \bar{z} + 3z + 3\bar{z} – 7 = 0\) ?

Exercice 2

1. Montrer que dans l’espace vectoriel réel \(\mathcal{F}\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), les 3 vecteurs \(f_1 = 1\), \(f_2 = \sin x\), \(f_3 = \cos x\) sont linéairement indépendants.
2. On note \(\xi\) l’espace vectoriel engendré par \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\). Si \(a \in \mathbb{R}\) et si \(f \in \xi\), on note \(l_a(f)\) la fonction (qui appartient à \(\xi\)) définie par : \(\left[l_a(f)\right](x) = f(x + a)\ \forall x \in \mathbb{R}\). Montrer que l’application \(l_a : f \to l_a(f)\) est linéaire sur \(\xi\). Écrire dans la base \(\{f_1, f_2, f_3\}\) la matrice \(M_a\) de \(l_a\).
3. Soit \(\beta \in \mathbb{R}\). Calculer \(l_a \circ l_\beta\). Vérifier matriciellement le résultat.

Exercice 3

I. On considère la suite \((U_n)\) définie par : \(U_1 = a\), \(U_2 = b\), \(U_3 = \dfrac{1}{2}(U_1 + U_2)\), …, \(U_n = \dfrac{1}{2}(U_{n-2} + U_{n-1})\), …, \(a, b \in \mathbb{R}\).

1. Démontrer que la suite de terme général \(V_n = U_n + U_{n-1}\) est une suite géométrique.
2. En déduire l’expression de \(U_n\) en fonction de \(a\), \(b\), \(n\), puis la limite de \((U_n)\) quand \(n\) tend vers l’infini.

II. a) Énoncer le théorème des accroissements finis pour une fonction \(f\) définie sur un segment \([a, b]\) de \(\mathbb{R}\).
b) Peut-on appliquer ce théorème à la fonction népérien sur le segment \([p, p + 1]\) où \(p \in \mathbb{N}\) ?
c) En déduire la limite de la suite \((W_n)\) définie par : \(W_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{n}\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.

Exercice 4

1. Calculer : \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} – 1}{\sin^3 x}\).
2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[0, +\infty\right[\) par : \(f(x) = x \operatorname{Log} x\) pour \(x > 0\), \(f(0) = 0\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) sur \(\left[0, +\infty\right[\).
3. On considère la fonction \(g\) définie par : \(g(x) = \dfrac{|\operatorname{Log} x|}{x}\). Étudier \(g\) et tracer sa courbe \((C)\) dans un repère orthonormé. Calculer l’aire \(S\) du domaine limité par \((C)\), l’axe \(Ox\) et les parallèles à \(Oy\) d’équation \(x = \dfrac{1}{e}\) et \(x = e\).

Énoncé — session 1995 transcrit depuis le sujet scanné (4 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1995-1996 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

Soit la fonction définie par \(f(x) = x\,\text{Log}\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\).

1. Donner son domaine de définition et montrer qu’on peut la prolonger par continuité en \(x = 0\).
2. On restreint alors la fonction sur l’intervalle \(\left[0, +\infty\right[\). Étudier les variations de cette fonction.
3. Montrer que la fonction admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation de la droite asymptote.
4. Résoudre l’équation \(f(x) – x = 0\).
5. Énoncer le théorème des accroissements finis.
6. Déduire de d°) et de e°) qu’il existe une valeur de \(x\) tel que \(f'(x) = 1\).
7. Tracer la courbe de \(f(x)\) sur \(\left[0, +\infty\right[\).
8. Calculer l’aire \(S\) limitée par la fonction \(f(x)\) et la fonction \(y = x\) sur l’intervalle \(\left[0, \dfrac{1}{e – 1}\right]\).

Exercice 2

On se donne une fonction linéaire \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^3\) tel que \(\mathbb{R}^3\) soit un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(f\) est définie sur la base canonique \(\{e_1, e_2, e_3\}\) dans \(\mathbb{R}^3\) par : \(f(e_1) = me_1 + 2e_2 + me_3\) ; \(f(e_2) = e_1 + 2e_2 + me_3\) ; \(f(e_3) = me_1 + me_2 + 3e_3\), avec \(m \in \mathbb{R}\).

1. Écrire la matrice de \(f\).
2. Discuter suivant les valeurs de \(m\) la dimension du noyau de \(f\) et la dimension de l’image de \(f\).
3. Soit le vecteur \(B\) de coordonnées \((m + 2, 2m + 3, 5)\). 1. Pour quelles valeurs de \(m\) la fonction est-elle bijective ? 2. Dans le cas de bijection, trouver l’antécédent \(X\) tel que \(f(X) = B\). On écrira le système linéaire pour calculer les coordonnées de \(X\).

Exercice 3

Soit \(z\) un nombre complexe de module 1 et d’argument \(\theta\) (\(0 \leq \theta \leq \pi\)). On pose : \(z’ = \dfrac{(z + 1)(z – 1)}{z^2}\).

1. Vérifier que \(\bar{z} = \dfrac{1}{z}\).
2. Écrire \(\bar{z}’\) en fonction de \(z\).
3. Déterminer les complexes \(z\) de module 1 pour lesquels \(z’\) est un nombre réel non nul.
4. a. Vérifier que \(\bar{z}\) est une racine carrée de \(1 – z’\).
   b. Écrire \(z’\) sous forme algébrique.
   c. Déterminer, en fonction de \(\theta\), le module et l’argument de \(z’\).
   d. \(z’\) peut-il être un imaginaire pur ?

Exercice 4

On se donne la suite réelle \(u_n\) définie par : \(U_n = {}^{n}\sqrt{n}\).

1. a. On posera \(u_n = 1 + v_n\) où \(v_n\) est une suite positive qu’on admettra. En remarquant que \(n = (1 + v_n)^n\), montrer que \(v_n^2 < \dfrac{2}{n – 1}\).
   b. Déduire la limite de \(u_n\).
2. Soit la suite réelle \(u_n\) définie par : \(u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1} + \dfrac{n}{n^2 + 2}\) \(+ \ldots + \dfrac{n}{n^2 + n}\). Encadrer judicieusement \(u_n\) et en déduire la nature de la suite.

[Les pages 3 et 4 de ce scan sont un autre sujet : session du mercredi 1ᵉʳ octobre 1997 (année 1997-1998), 3 heures, toutes options. Il est transcrit ci-dessous.]

Sujet du 1ᵉʳ octobre 1997 — Exercice n° 1

On donne les nombres complexes \(A = 2 – i\), \(B = 17 + 3i\), \(C = 15 – 5i\), \(D = \dfrac{1 + x + iy}{1 – x – iy}\). On désigne par \(M\) un point du plan \(P\) dont l’affixe est \(x + iy\).

1. Écrire \(D\) sous la forme \(a + ib\).
2. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(D\) soit un nombre réel.
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(D\) soit un imaginaire pur.
4. Calculer \(K = \dfrac{A \cdot B}{C}\) et déterminer les racines carrées, dans \(\mathbb{C}\), du nombre \(K\).

Exercice n° 2

Trois suites \(u\), \(v\) et \(w\) sont définies de la manière suivante sur \(\mathbb{N}^*\) : \(u_1 = 1\) ; \(n > 1\) : \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}(u_n + 2v_n)\) ; \(v_1 = 12\) ; \(n > 1\) : \(v_{n+1} = \dfrac{1}{4}(u_n + 3v_n)\) ; \(w\) : \(w_n = u_n – v_n\), \(\forall n\).

1. Montrer que \(w\) est une suite géométrique convergente à termes négatifs.
2. Montrer que \(u\) est croissante et que \(v\) est décroissante.
3. Montrer que \(1 \leq u_n < v_n \leq 12\), pour tout \(n\). Les suites \(u\) et \(v\) sont-elles convergentes ?
4. On considère la suite \(t\) définie, pour tout \(n\), par : \(t_n = 3u_n + 8v_n\). Montrer que \(t\) est constante.
5. Montrer que \(u\) et \(v\) ont la même limite. Trouver cette limite.

Exercice n° 3

Soit \(f\) la fonction telle que \(f(x) = \dfrac{e^{2x} – 1}{e^{2x} + 1}\) et \(g\) l’application de \(\left]0, +\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\) définies par : \(g(x) = -x + 1 + 2\,\text{Log}\,x\) si \(x \in \left]0, 1\right[\) ; \(g(x) = x – 2 + e^{1-x}\) si \(x \in \left[1, +\infty\right[\).

1. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(|f(x)| < 1\) et que \(f\) est impaire.
2. Étudier les variations de \(f\) et tracer sa courbe représentative.
3. Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\left]-1, 1\right[\). Déterminer \(f^{-1}\).
4. Montrer que \(g\) est continue sur \(\left]0, +\infty\right[\).
5. Montrer que \(f\) est dérivable à gauche et dérivable à droite au point \(x = 1\). L’application \(g\) est-elle dérivable en ce point ?

Exercice n° 4

Voici trois vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) : \(u = (1, -1, 1, -1)\) ; \(v = (1, 1, -1, -1)\) ; \(w = (1, -1, -1, 1)\).

1. Donner la base canonique de \(\mathbb{R}^4\).
2. La famille \(F = \{u, v, w\}\) avec \(t = (-1, -1, -1, 3)\). \(G\) est-elle une famille libre ? Est-elle une famille génératrice de \(\mathbb{R}^4\) ?

Énoncé — session 1996 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1996-1997 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

\(n\) étant un nombre entier supérieur ou égal à 1, on pose : \(S_1 = 1 + 2 + \ldots + n\) ; \(S_2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\) ; \(S_3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3\).

1. En remarquant que […], retrouver l’expression de \(S_1\) en fonction de \(n\).
   [La relation à remarquer ne figure pas sur le sujet : la phrase imprimée s’interrompt après « En remarquant que ».]
2. Calculer \(S_2\) en développant \((1 + k)^3\) pour \(1 \leq k \leq n\).
3. Calculer \(S_3\) :
   a) En utilisant le développement de \((k + 1)^4\).
   b) En calculant \([S_1(k)]^2 – [S_1(k – 1)]^2\).
4. Vérifier ce résultat par récurrence sur \(n\), \(n \in \mathbb{N}^*\).

Exercice 2

\((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) étant une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(U_0\) :

1. On suppose que \(q = -\dfrac{1}{2}\). Démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}^*\) ; \(U_{n+1} = \dfrac{1}{2}(U_n + U_{n-1})\).
2. On suppose que \((U_n)\) n’est pas constante et satisfait à \(\forall n \in \mathbb{N}^*\) : \(U_{n+1} = \dfrac{1}{2}(U_n + U_{n-1})\). Démontrer que \(q = -\dfrac{1}{2}\).
3. On suppose que \(U_0 = 15\) et \(q = -\dfrac{1}{2}\) et on pose \(S = U_4 + U_5 + \ldots + U_n\).
   Calculer \(S\) en fonction de \(n\) et déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(|S – \dfrac{2}{3}| < 10^{-3}\).
   [Le sujet imprimé porte bien \(U_0 = 15\). Avec cette valeur, \(S\) tend vers \(\dfrac{5}{8}\) et non vers \(\dfrac{2}{3}\) : \(|S – \dfrac{2}{3}|\) reste supérieur à 0,02 et la condition n’est jamais remplie. Coquille probable du sujet : la question devient cohérente avec \(U_0 = 16\), ou avec \(\dfrac{5}{8}\) à la place de \(\dfrac{2}{3}\).]

Soit \((V_n)\) la suite définie par : \(V_n = \displaystyle\int^{\pi/4}_0 (\mathrm{tg}\,x)^n\,dx\).

1. Montrer que \((V_n)\) est décroissante et positive et en déduire qu’elle est convergente.
2. En calculant \(V_n + V_{n+2}\), \(n \in \mathbb{N}^*\), trouver sa limite.

Exercice 3

1. Trouver les racines carrées du nombre complexe \(C = 1 + e^{i2\pi/3}\).
2. Déterminer le réel \(t\) tel que les racines du trinôme \(x^2 – 2x\,e^{it} + 1\) aient une partie réelle nulle.
3. Calculer le module et l’argument du nombre complexe \(z = (1 + i)^n\). En déduire les sommes :
   \(U = 1 – C^2_n + C^4_n – C^6_n + \ldots\) ;
   \(V = C^1_n – C^3_n + C^5_n – \ldots\)
   [Le sujet imprimé porte « \(C^6_n\) » comme troisième terme de \(V\), coquille manifeste : \(V\) ne fait intervenir que les indices impairs 1, 3, 5, …]

Exercice 4

On donne la fonction \(g\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(g(x) = \dfrac{e^x – 1}{e^x + 1}\).

1. Étudier cette fonction, tracer sa courbe représentative dans le repère orthonormé \((O, i, j)\) et montrer que \(g\) est impaire.
2. Montrer que, \(\forall\) les réels \(x\) et \(y\) : \(g(x + y) = \dfrac{g(x) + g(y)}{1 + g(x)g(y)}\).
3. Montrer que \(g\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\left]-1, 1\right[\). Déterminer sa fonction réciproque \(g^{-1}\) et la dérivée de cette fonction.

On considère une fonction \(f\) définie pour tout réel et vérifiant la propriété : \(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2\) : \(f(x + y) = \dfrac{f(x) + f(y)}{1 + f(x)f(y)}\).

1. Montrer que s’il existe un réel \(c\) tel que \(f(c) = 1\) ou \(f(c) = -1\), la fonction \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\).

On suppose dans toute la suite que \(f\) n’est pas constante.

2. En écrivant \(x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}\), montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \(-1 < f(x) < 1\) et établir que \(f(0) = 0\). En déduire que \(f\) est impaire.
3. On suppose que \(f\) est dérivable en 0 et que \(f'(0) = k\). Montrer que \(f\) est dérivable en tout point \(x\) de \(\mathbb{R}\) et que \(f'(x) = k[1 – (f(x))^2]\). Le nombre \(k\) peut-il être nul ? Montrer que \(f\) est monotone sur \(\mathbb{R}\).
4. On appelle \(f^{-1}\) la fonction réciproque de \(f\) définie sur \(f(\mathbb{R})\). Calculer la dérivée de \(f^{-1}\) et en déduire \(f^{-1}\) puis \(f\).

Énoncé — session 1998 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 7-8 octobre 1998 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés y compris les calculatrices.

Exercice I — Première partie

Soit \(f\) une application d’un ensemble \(E\) dans un ensemble \(F\). Pour tout sous-ensemble \(A\) de \(E\) on désigne par \(f(A)\) l’ensemble \(\{y = f(x) \in F\,;\,x \in A\}\).

1. Montrer que si \(A \subset E\) et si \(B \subset E\), \(f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\) et qu’en général \(f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B)\).
2. Démontrer que \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\) pour tous sous-ensembles \(A\) et \(B\) de \(E\) si et seulement si \(f\) est une application injective.

Deuxième partie

Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite numérique définie par la relation de récurrence : \(u_1 = \sqrt{2}\), \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\) \((n \geq 1)\).

1. Montrer que \((u_n)_{n \geq 1}\) est une suite croissante.
2. Montrer que \(u_n = 2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\), quel que soit \(n \geq 1\).

Exercice II — Première partie

Soit \(a \in \mathbb{C}\), considérons l’équation dans le corps des nombres complexes \(\mathbb{C}\) : \(E : (z + a)^n = z^n\) \((n \in \mathbb{N}^*, z \in \mathbb{C})\).

1. Résoudre l’équation \((E)\).
2. Montrer que si \(a \in \mathbb{R}^*\), i.e. si \(a\) est un réel non nul, les racines de l’équation \((E)\) décrivent une droite parallèle à l’axe des nombres imaginaires purs.

Deuxième partie

Soient \(z \in \mathbb{C}\), \(|z| = r\), \(\arg z = t\), \(0 \leq t < 2\pi\), \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n(t) = 1 + r\cos t + r^2\cos 2t\) \(+ \ldots + r^n\cos nt\) ; \(v_n(t) = r\sin t + r^2\sin 2t\) \(+ \ldots + r^n\sin nt\).

1. Calculer \(u_n(t)\) et \(v_n(t)\) pour \(r \neq 1\).
2. Soit \(r = 1\), montrer que : a) \(u_n(t) = \dfrac{\sin\dfrac{(n+1)t}{2} \cdot \cos\dfrac{nt}{2}}{\sin\dfrac{t}{2}}\), \(v_n(t) = \dfrac{\sin\dfrac{(n+1)t}{2} \cdot \sin\dfrac{nt}{2}}{\sin\dfrac{t}{2}}\), si \(t \neq 0\) ; b) \(\lim\limits_{t \to 0} u_n(t) = u_n(0)\), \(\lim\limits_{t \to 0} v_n(t) = v_n(0)\).
3. On pose \(r = \dfrac{1}{2}\) et on considère la fonction périodique de période \(2\pi\) définie pour tout \(t \in \left[0, 2\pi\right[\) par \(f(t) = \lim\limits_{n \to +\infty} u_n(t)\). Étudier les variations de la fonction \(f\) et tracer sa courbe représentative.

Exercice III

\(f\) étant une fonction définie par \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) et \(g\) la fonction primitive de \(f\) qui s’annule pour \(x = 0\), \(g(x) = \displaystyle\int^x_0 f(t)\,dt\).

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) et en quels points \(f\) est-elle dérivable ?
2. Quel est le domaine de définition de \(g\) ?
3. Montrer que \(g\) est une fonction impaire.
4. Montrer que \(g\) est bijective.
5. Calculer \(g\left(\dfrac{e^y – e^{-y}}{2}\right)\) et en déduire \(g^{-1}(x)\) (la fonction réciproque de \(g\)).

N.B. : on répond aux questions 2°, 3°, 4°, 5° sans calculer la fonction primitive \(g(x)\).

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 22-23 septembre 1999 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

1. Problème

Soit \(f\) la fonction numérique à variable réelle \(x\) définie par : \(f(x) = 2\,\mathrm{Ln}\left[\dfrac{e}{4}\left(x + \dfrac{4}{x}\right)\right]\) où Ln désigne le logarithme népérien de base e.

Partie 1. Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, i, j)\) d’unité 1 cm.

1. Étudier les variations de \(f\). Montrer que la courbe \((\Gamma)\) d’équation \(y = 2\,\mathrm{Ln}\left[\dfrac{ex}{4}\right]\) est asymptote à \((C)\) au voisinage de \(+\infty\).
2. Tracer \((C)\) et \((\Gamma)\) sur la même figure.
3. Étudier le signe de \(g(x) = f(x) – x\) et démontrer que pour tout \(x \geq 2\), on a \(f(x) \leq x\).

Partie 2. On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par \(U_0 > 0\) et \(U_{n+1} = f(U_n) = 2\,\mathrm{Ln}\left[\dfrac{e}{4}\left(x + \dfrac{4}{x}\right)\right]\), \(\forall n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a \(U_n \geq 2\) et que \((U_n)\) est une suite décroissante à partir du rang 1.
2. Soit \(\varphi_1\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par \(\varphi_1(x) = \mathrm{Ln}(1 + x) – x\).
   a) Démontrer que pour tout \(x \in \left]-1, +\infty\right[\), on a \(\mathrm{Ln}(1 + x) \leq x\).
   b) En déduire que pour tout \(h \geq 0\), on a \(0 \leq f(2 + h) – 2 \leq \dfrac{h^2}{2(2 + h)} \leq \dfrac{h^2}{4}\).
3. On pose \(V_n = U_n – 2\), \(\forall n \in \mathbb{N}\). Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a \(0 \leq V_{n+1} \leq \dfrac{V_n^2}{4}\).

Partie 3.

1. Soit \(\varphi_2\) la fonction numérique à variable réelle \(x\) définie par : \(\varphi_2(x) = \mathrm{Ln}(1 + x) – x + \dfrac{x^2}{2}\). Étudier le signe de \(\varphi_2\) sur l’intervalle \(\left]-1, +\infty\right[\).
2. Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\varphi_n\) est la fonction définie sur l’intervalle \(\left]-1, +\infty\right[\) par : \(\varphi_n(x) = \mathrm{Ln}(1 + x) – x + \dfrac{x^2}{2} – \dfrac{x^3}{3}\) \(+ \ldots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^n}{n}\). Étudier le signe de \(\varphi_n(x)\) pour \(x \in \left]-1, +\infty\right[\).

Partie 4. On considère l’application \(h\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(h(x) = \dfrac{x^3 – 4x}{x^2 + 4}\).

1. a) Trouver trois constantes réelles \(a\), \(b\), \(c\) telles que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on ait \(h(x) = ax + b + \dfrac{cx}{x^2 + 4}\).
   b) Déterminer une primitive \(H\) de \(h\).
2. Soit \(\alpha\) un nombre réel supérieur à 2. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer en fonction de \(\alpha\) l’intégrale suivante : \(I(\alpha) = \displaystyle\int^{\alpha}_{2} 2x\,\operatorname{Ln}\left[\dfrac{e}{4}\left(x + \dfrac{4}{x}\right)\right]dx\).

2. Exercice

Soient \(ABC\) un triangle isocèle et \(BCDE\) un rectangle. On donne \(AB = 5\) cm, \(BC = 6\) cm et \(CD = 3\) cm. Soit \(O\) la projection orthogonale du point \(A\) sur le segment \([BC]\). On considère un point \(M\) du segment \([AO]\) tel que \(AM = x\). On note \(N\) le projeté du point \(M\) sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AC)\). On note \(P\) le symétrique du point \(N\) par rapport à la droite \((AO)\).

1. Construire une figure.
2. Calculer \(AO\), \(MO\), \(ON\) et vérifier que \(MN = \dfrac{5}{4}(4 – x)\).
3. Calculer \(A(x)\) l’aire du quadrilatère \(AMNC\) en fonction de \(x\).
4. Soit \(B(x)\) l’aire du domaine limité par \(ABEDC\), extérieur au triangle \(MNP\). Exprimer \(B(x)\) en fonction de \(x\).

Énoncé — session 2000 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 27-28 septembre 2000 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Partie A — Exercice I

1. Démontrer que : \(P(z) = z^2 + (1 – 2i)z + 7 – i\) \((z \in \mathbb{C})\) est le produit de deux polynômes du 1ᵉʳ degré.

On considère sur \(\mathbb{C}\) l’équation \((E) : t^2 – 3zt + 2z^2 + iz + 1 = 0\), où \(t\) est l’inconnue et \(z\) paramètre complexe.

a) Déterminer les deux solutions de \((E)\) dans le cas général.
b) Déterminer l’ensemble \(z\) pour que lui-même soit solution de \((E)\).

Partie B — Exercice II

On rappelle que : \(C^{p}_{n} = \dfrac{n!}{p!(n – p)!}\).

1. Démontrer que : \(C^{p}_{n+1} = C^{p}_{n} + C^{p-1}_{n}\).
2. On admet que : \((a + b)^n = C^{0}_{n}a^n\) \(+ C^{1}_{n}a^{n-1}b\) \(+ C^{2}_{n}a^{n-2}b^2\) \(+ \ldots + C^{n}_{n}b^n\).
   a) Calculer : \(C^{0}_{n} + C^{1}_{n} + C^{2}_{n} + \ldots + C^{n-1}_{n} + C^{n}_{n}\).
   b) Montrer que : \(C^{0}_{n} + C^{2}_{n} + C^{4}_{n} + \ldots\) \(= C^{1}_{n} + C^{3}_{n} + C^{5}_{n} + \ldots\)
   c) Montrer que : \(C^{0}_{n} + C^{2}_{n} + C^{4}_{n} + \ldots = 2^{n-1}\).
3. Démontrer, d’après le principe du raisonnement par récurrence, que : \(C^{0}_{n} + C^{1}_{n} + C^{2}_{n} + \ldots + C^{n-1}_{n} + C^{n}_{n} = 2^n\).

Partie C — Exercice III

Soit la fonction d’une variable réelle définie par : \(f(0) = 2\) ; \(f(x) = \dfrac{\ln(1 + x)}{x} + \sqrt{1 + x^2}\).

1. Donner son domaine de définition.
2. La fonction est-elle continue en 0 ?
3. Calculer la dérivée de la fonction \(f\).
4. On se propose de définir le signe de \(f^{\prime}\) sur \(]-1\,;\,0]\).
   a) Montrer que la fonction \(g(x) = x – 1 – \ln x\) est positive sur \([1\,;\,+\infty[\).
   b) En choisissant un changement de variable judicieux, déduire alors le signe de \(f^{\prime}\) sur \(]-1\,;\,0]\).
   c) Calculer les limites suivantes : \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f^{\prime}(x)\) ; \(\lim\limits_{x \to +\infty} f^{\prime}(x)\).
   d) Calculer \(f^{\prime}(1)\). Quel est son signe ?
5. On admettra alors que \(f^{\prime}(x) \geq 0\) sur \([0\,;\,+\infty[\).
   a) Dressez le tableau de variation complet de la fonction \(f\) (limites, dérivées particulières, branches infinies).
   b) Montrer que la courbe est au-dessus de l’asymptote oblique.
   c) Tracer le graphe de la fonction \(f\). Soit \((C)\) cette courbe.
   d) Soit la droite \((D)\) d’équation \(y = ax + 1\).
   d1) Pour quelle valeur de \(a\) la droite \((D)\) coupe-t-elle la courbe \((C)\) en un point, en deux points ?
   d2) Quelle valeur de \(a\) \((D) \cap (C) = \emptyset\) ?
   e) Donner l’équation d’une parabole passant par le point \((-1\,;\,0)\) et tangente à la courbe au point \((0\,;\,2)\).

Exercice IV

Soit \(I_n = \displaystyle\int^{1 + \frac{1}{n}}_{1} \sqrt{1 + x^n}\,dx\).

Montrer que \(\displaystyle\int^{1 + \frac{1}{n}}_{1} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^n}}\,dx < \dfrac{1}{n\sqrt{2}}\).

Montrer que \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e\).

En intégrant par parties, déduire que la suite \(I_n\) converge et donner sa limite.

Exercice V

Calcul de primitive.

a) \(\displaystyle\int e^{\cos x} \sin x\,dx\)
b) \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \dfrac{2 + 2\operatorname{tg}^2 x}{\sqrt{1 + \operatorname{tg} x}}\,dx\)
c) \(\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x}\)

Énoncé — session 2001 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 17-18 octobre 2001 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Tous les exercices sont obligatoires.

Exercice 1

1. \(z\) étant un nombre complexe, on pose \(A = \dfrac{1 + z}{1 – z}\). On désigne par \(M\) un point du plan dont l’affixe est \(z\).
   a) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tel que \(A\) soit un nombre réel.
   b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tel que \(A\) soit imaginaire pur.
2. Le nombre complexe \(u\) s’écrit : \(u = \dfrac{5 + i\sqrt{3}}{2 – i\sqrt{3}}\).
   a) Écrire \(u\) sous forme trigonométrique.
   b) Calculer \(u^4\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(6z^2 – (5 – i)z + 2 – \dfrac{5i}{6} = 0\).
4. Calculer la somme suivante, où \(n\) est un entier naturel : \(S = \displaystyle\sum^{n}_{k=0} \cos k\theta\).

Exercice 2

1. La suite \((u_n)\) est définie de la manière suivante : \(u_0 = 1\), \(u_1 = 3\) ; \(n > 1\) : \(u_n = 3u_{n-1} – 2u_{n-2}\).
   a) Calculer \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\). Démontrer que, pour tout \(n\) : \(u_n = 2^{n+1} – 1\). La suite \((u_n)\) est-elle convergente ?
   b) La suite \((v_n)\) est définie par : \(v_n = u_n – 2u_{n-1}\). Démontrer que \((v_n)\) est constante. En déduire une relation entre \(u_n\) et \(u_{n-1}\).
   c) Peut-on trouver des suites géométriques \((s_n)\) vérifiant, pour tout \(n > 1\) : \(s_n = 3s_{n-1} – 2s_{n-2}\) ?
2. La suite \((w_n)\) est définie pour \(w_0 = a\), \(w_1 = b\) et pour tout \(n\) supérieur à 1, par : \(w_{n+1} = w_n – w_{n-1}\). Démontrer que \((w_n)\) est périodique.
3. Trois réels \(x\), \(y\), \(z\) forment dans cet ordre une suite arithmétique dont la somme est 9 ; \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{2}{y}\) et \(\dfrac{3}{z}\) forment dans cet ordre une suite géométrique. Calculer \(x\), \(y\) et \(z\).

Exercice 3

1. Soit \(f\) l’application de \(\left]0,\,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(f(x) = -x + 1 + 2\,\text{Log}\,x\) si \(x \in \left]0,\,1\right[\) ; \(f(x) = x – 2 + e^{1-x}\) si \(x \in \left[1,\,+\infty\right[\).
   a) Montrer que \(f\) est continue au point \(x = 1\). Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]0,\,+\infty\right[\).
   b) Montrer que \(f\) est dérivable à gauche et dérivable à droite au point \(x = 1\). L’application \(f\) est-elle dérivable en ce point ?
2. Soit la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(\left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\) par : \(g(x) = \text{Log}(\sin x + \cos x)\).
   a) Calculer la dérivée de \(g\).
   b) On pose \(I = \displaystyle\int^{\pi/2}_{0} \dfrac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx\) et \(J = \displaystyle\int^{\pi/2}_{0} \dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx\). Calculer \(I + J\) et \(I – J\). En déduire la valeur de \(I\) et celle de \(J\).

Exercice 4

1. Soit la fonction \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \to g(x) = (1 – x)e^x – 1\). Donner l’expression de la dérivée \(g'(x)\) et donner le tableau des variations de la fonction \(g\). En déduire le signe de \(g(x)\).
2. Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par : \(f(x) = (2 – x)e^x + 2 – x\).
   a) À l’aide des résultats obtenus en 1, déduire les variations de la fonction \(f\).
   b) Montrer que la courbe représentative \((C)\) de cette fonction \(f\) admet pour asymptote oblique la droite d’équation \(y = 2 – x\). Préciser la position de la courbe \((C)\) par rapport à la droite \((D)\).
   c) Déterminer le point \(K\) de la courbe \((C)\) en laquelle la tangente est parallèle à \((D)\).
   d) Tracer la courbe \((C)\) dans un repère orthonormé. Préciser les coordonnées des points d’intersection \(A\) et \(B\) de la courbe \((C)\) avec les axes.

Énoncé — session 2002 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 3-4 décembre 2002 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice I — les deux parties A et B sont indépendantes et obligatoires

Partie A. On considère la suite réelle \((U_n)\) définie par : \(U_0 = 0\), \(U_{n+1} = \sqrt{2 + U_n}\) pour \(\forall n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que, par récurrence sur « \(n\) », la suite \((U_n)\) est majorée par un nombre « \(h\) » qu’on déterminera.
2. Démontrer que \((U_n)\) est strictement croissante : a) en raisonnant par récurrence ; b) en étudiant le signe de la différence \((U_{n+1} – U_n)\). Que peut-on en déduire ?
3. On construit une nouvelle suite \((V_n)\) par : \(\forall n \in \mathbb{N}, V_n = 2 – U_n\).
   a) Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, V_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}V_n\).
   b) En déduire \(\lim\limits_{n \to +\infty} V_n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} U_n\).
   c) Vérifier que le résultat de \(\lim\limits_{n \to +\infty} U_n\) satisfait la déduction de la question 2°.
4. Déterminer directement la limite de la suite \((U_n)\).

Partie B. Pour chacune des suites suivantes, explicitez dans chaque cas le terme général \(U_n\) en fonction de \(n\), \(n \in \mathbb{N}\) : a) \(U_0 = 1\), \(U_n = \dfrac{1}{3}U_{n-1}\) ; b) \(U_0 = 1\), \(U_{n+1} = 10U_n – 8 – 9n\) ; c) \(U_0 = 1\), \(U_{n+1} = \dfrac{U_n}{\sqrt{U_n^2 + 1}}\).

Exercice II — les deux parties A et B sont indépendantes et obligatoires

Partie A. Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x – 1 + \sqrt{x^2 – x}\).

1. Étudier la variation de \(f\) et tracer sa courbe représentative \((C)\) dans un repère orthonormé \((O, i, j)\).
2. Soit \(f_1\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(\left]-\infty, 0\right]\) ; montrer que \(f_1\) est une bijection de cet intervalle sur un intervalle \(I\) que l’on précisera. Soit \(g = f_1^{-1}\) la bijection réciproque de \(f_1\) ; construire la courbe \((C_1)\) représentative de \(g\) dans le même repère que \((C)\).
3. Déterminer \(g(x)\), \(\forall x \in I\), et calculer l’aire géométrique de la partie du plan définie par : \(\{-1 \leq x \leq -\dfrac{1}{e^2}\}\) et \(\{g(x) \leq y \leq \dfrac{x}{2} + 1\}\).

Partie B.

1. Calculer l’aire d’un disque de rayon égal à \(\dfrac{1}{2}\).
2. On considère la fonction définie, pour tout \(x\) de \(\left[0\,;\,1\right]\), par : \(f(x) = \sqrt{x(1 – x)}\). Étudiez les variations de \(f(x)\) (on admettra que \(f(x)\) n’est pas dérivable en 0 et en 1).
3. Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f(x)\) dans un repère orthonormal.
   a) Soit \(M\) le point d’abscisse \(x\) de \((C)\) et \(I\) le point de coordonnées \(\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)\), calculer \(IM^2\).
   b) Prouvez que \((C)\) est un demi-cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracez ce demi-cercle.
4. a) Donnez une interprétation géométrique de l’intégrale \(\displaystyle\int^{1}_{0} \sqrt{x(1 – x)}\,dx\).
   b) En déduire la valeur de cette intégrale.

Exercice III — les trois questions suivantes sont indépendantes et obligatoires

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes le système : \((1 + i)z – (2 – 3i)z’ = 4 + 3i\) ; \((2 – 3i)\overline{z} + (4 – 2i)\overline{z’} = 3 – 4i\), où les inconnus sont \(z\) et \(z’\) ; \(\overline{z}\) et \(\overline{z’}\) sont les conjugués de \(z\) et \(z’\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 + (2 + 4i)z + 3 – 4i = 0\).
3. Soit la transformation ponctuelle \(S\) du plan tel que \(S(M) = M’\) où \(M\) et \(M’\) ont respectivement pour affixes \(z\) et \(z’\) telles que : \(z’ = (1 + i)z + 3 – 2i\).
   a) Donner les éléments caractéristiques de \(S\).
   b) En déduire les éléments caractéristiques de \(S^{-1}\) et \(S^n\).
   c) Déterminer l’image par \(S\) : de la 1ʳᵉ bissectrice ; du cercle trigonométrique.

Énoncé — session 2003 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 1-2 octobre 2003 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice n° 1 (8 points)

Partie A. Soit \(f\) une application du corps des nombres complexes \(\mathbb{C}\) dans lui-même \(f(z) = \dfrac{z + i}{i – z}\).

1. Trouver deux nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que : \(f(z) = a + \dfrac{b}{z – i}\). (1 point)
2. Soient \(E\) l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z| = 1\), \(E_1\) l’image de \(E\) par l’application \(z_1 = f_1(z) = z – i\), \(E_2\) l’image de \(E_1\) par l’application \(z_2 = f_2(z_1) = \dfrac{1}{z_1}\), \(E_3\) l’image de \(E_2\) par l’application \(z_3 = f_3(z_2) = b \cdot z_2\), \(E_4\) l’image de \(E_3\) par l’application \(z_4 = f_4(z_3) = a + z_3\). Déterminer les ensembles \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\), \(E_4\) et tracer leurs courbes représentatives dans le plan complexe. (2 points)

Partie B.

1. Résoudre dans le corps des nombres complexes l’équation \(z^4 – 1 = 0\) et en déduire les solutions de l’équation \(\left[(\sqrt{3} – i)z + 1\right]^4 = 1\). (2 points)
2. Soit \(a = \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{2} + i\,\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\). Calculer \(a^4\). (1 point)
3. Déterminer la forme trigonométrique puis la forme algébrique des nombres complexes solutions de l’équation \(z^4 = 8(1 – i\sqrt{3})\). (2 points)

Exercice n° 2 (12 points)

Dans cet exercice on désigne par \(\mathbb{R}\) le corps des nombres réels, par \(\mathbb{Q}\) le corps des nombres rationnels, par \(\mathbb{Z}\) l’ensemble des nombres entiers, par \(\mathbb{N}\) l’ensemble des entiers naturels. On suppose qu’il existe une fonction continue unique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\), vérifiant les conditions a) et b) suivantes : a) \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \(\forall y \in \mathbb{R}\), \(f(x + y) + (x + y) = (f(x) + x)(f(y) + y)\) ; b) \(f(1) = e – 1\) (\(e\) : base des logarithmes népériens).

1. Montrer que : (1) \((\forall t \in \mathbb{R})(f(t) + t \geq 0)\) (1 point) ; (2) \((\forall t \in \mathbb{R})(f(t) + t \neq 0)\) et que \(f(0) = 1\). (1 point)
2. Montrer que : (3) \((\forall x \in \mathbb{R})\) et \((\forall n \in \mathbb{N})\) \(f(nx) + nx = (f(x) + x)^n\) (0,5 point). Posant \(y = -x\) dans a), calculer \(f(-x) – x\) et établir que (3) reste vérifiée \((\forall x \in \mathbb{R})\) et \((\forall n \in \mathbb{Z})\). (0,5 point)
3. Calculer, en fonction du nombre \(e\) et du nombre entier \(n\), l’expression \(f(n) + n\) puis \(f\left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n}\). (1 point) En déduire que : (4) \((\forall r \in \mathbb{Q})(f(r) = e^r – r)\). (1 point)
4. On admet que tout nombre réel \(x\) est limite d’une suite de nombres rationnels \((r_n)_{n \geq 0}\), \((r_n \in \mathbb{Q})\), c’est-à-dire \((\forall x \in \mathbb{R})(\exists (r_n)_{n \geq 0} \subset \mathbb{Q})\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} r_n = x\).
   a) Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R})(f(x) = e^x – x)\). (1 point) Étudier et représenter graphiquement les variations de \(f\), en soignant particulièrement l’étude des branches infinies. Que peut-on dire de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \(x = 1\) ? (2 points)
   b) Évaluer l’aire \(A(b)\) de la portion du plan comprise entre la courbe, son asymptote et les droites d’équations \(x = 0\), \(x = b\) (\(b < 0\)) et trouver la limite de \(A(b)\) lorsque \(b\) tend vers \(-\infty\). (1 point)
5. a) Montrer que l’on a : (5) \((\forall x \in \mathbb{R})(e^x \geq 1 + x)\). (1 point)
   b) On pose : \(\ln(U_0) = 0\), \(\ln(U_n) = \ln(1 + a) + \ln(1 + a^2)\) \(+ \ldots + \ln(1 + a^n)\), \((n > 0)\), avec \(0 < a < 1\) et \(\ln\) le logarithme népérien. Montrer que \((U_n)_{n \geq 0}\) est une suite convergente. (2 points)

Énoncé — session 2004 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 2-3 novembre 2004 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés. N.B. : on tiendra compte d’une bonne présentation et d’une bonne rédaction de toutes les démonstrations (2 points).

Exercice (sur 6 points)

Soit la famille d’équations \((E_\theta) : z^2 – (1 + i\sin 2\theta)z + \dfrac{i}{2}\sin 2\theta = 0\), dans laquelle \(\theta\) désigne un réel appartenant à l’intervalle semi-ouvert \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). À tout complexe \(z = x + iy\), on associe le point \(M\) de coordonnées \((x, y)\) dans le plan.

1. Résoudre l’équation \((E_\theta)\) dans l’ensemble des nombres complexes. (2 points)
2. Soient \(M'(\theta)\) et \(M »(\theta)\) les points du plan associés aux solutions \(z'(\theta)\) et \(z »(\theta)\) de l’équation \((E_\theta)\) et soit \(I(\theta)\) le milieu du segment \([M'(\theta), M »(\theta)]\).
   a) Déterminer l’ensemble des points \(I(\theta)\) lorsque \(\theta\) décrit \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). (1 point)
   b) Montrer que l’ensemble des points \(M'(\theta)\) et \(M »(\theta)\) est un cercle \(C\) que l’on précisera. (1 point)
   c) Démontrer, lorsque \(M'(\theta)\) et \(M »(\theta)\) sont distincts, que la droite contenant ces deux points a une direction indépendante de \(\theta\). (1 point)
   d) On pose \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\), déduire de ce qui précède une construction simple de \(I(\theta)\) et des points \(M'(\theta)\) et \(M »(\theta)\). (1 point)

Problème (sur 12 points)

Partie A.

1. Soient \(g_1\) une application de \(\left]0,\,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\) : \(g_1(x) = 2x^3 + 1 – 3\mathrm{Log}\,x\), \(g_2\) une application de \(\left]-\infty,\,0\right[\) dans \(\mathbb{R}\) : \(g_2(x) = x^2 + 1 – 2\mathrm{Log}|x|\), où \(\mathrm{Log}\,x\) désigne le logarithme népérien de \(x\). Étudier les sens de variation de \(g_1\) et de \(g_2\). (1,5 point)
2. Soient \(h_1\) une application de \(\left]0,\,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\) : \(h_1(x) = \left(2 + \dfrac{1}{x^3}\right)\mathrm{Log}\,x\) ; \(h_2\) une application de \(\left]-\infty,\,0\right[\) dans \(\mathbb{R}\) : \(h_2(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\mathrm{Log}|x|\). Étudier les sens de variation de \(h_1\) et de \(h_2\). (1,5 point)

Partie B. Soit \(f\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) : \(f(x) = e^{h_1(x)}\) si \(x > 0\), \(f(0) = 0\), \(f(x) = e^{h_2(x)}\) si \(x < 0\), où \(e\) est la base des logarithmes népériens.

1. La fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ? (1 point)
2. La fonction \(f\) est-elle dérivable sur \(\mathbb{R}\) ? (1 point)
3. Calculer \(\lim\limits_{|x| \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}\). (1 point)
4. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) – x^2}{\dfrac{\mathrm{Log}\,x}{x}}\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x) + x}{\dfrac{\mathrm{Log}|x|}{x}}\). (1 point)
5. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) – x^2\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) + x\), puis étudier les branches infinies. (1,5 point)
6. Étudier le signe de \(f(x) – x^2\) pour \(x \geq 0\) et de \(f(x) + x\) pour \(x \leq 0\). (1,5 point)
7. Étudier le sens de variation de \(f\). Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé. On précisera sa position par rapport aux asymptotes et l’on indiquera la tangente au point 0. (2 points)

Énoncé — session 2005 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 8 au 9 novembre 2005 — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2 – 2\sqrt{2}\,z + 4 = 0\). On désignera par \(z_1\) la solution dont la partie imaginaire est positive et par \(z_2\) l’autre solution.
2. a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres \(z_1\) et \(z_2\).
   b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe \(\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^2\).
3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \((O, u, v)\), (unité = 1 cm), on considère le point \(P_1\) d’affixe \(\sqrt{2}(1 + i)\), le point \(P_2\) d’affixe \(\sqrt{2}(1 – i)\) et le point \(P\) d’affixe \(z_P = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
   a) Déterminer l’affixe du point \(P_3\), image de \(P_2\) par l’homothétie \(H\) de centre \(P\) et de rapport \(-3\).
   b) Déterminer l’affixe du point \(P_4\), image de \(P_2\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle (\(-\dfrac{\pi}{2}\)).
   c) Placer dans le même repère les points \(P\), \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) et \(P_4\).
   d) Calculer \(\dfrac{z_3 – z_1}{z_4 – z_1}\).
   e) Soient \(I\) le milieu du segment \([P_3, P_4]\) et \(P_5\) le symétrique de \(P_1\) par rapport à \(I\). Montrer que les points \(P_1\), \(P_3\), \(P_5\) et \(P_4\) forment un carré.

Problème — les trois parties A, B et C sont indépendantes

Partie A. On se propose d’étudier dans cette partie les fonctions \(T_n(x) = \cos n\theta\) où \(x = \cos\theta\) et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que pour tout \(n\), on a la relation \(T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n-1}(x)\).
2. Vérifier que la suite des nombres \(x_k = \cos\left(\dfrac{2k – 1}{2n}\pi\right)\), où \(k = 1, 2, \ldots, n\), sont racines simples des équations \(T_n(x) = 0\).
3. a) Pour \(n = 3\), déterminer les trois valeurs de la suite \(x_k\) correspondante.
   b) En utilisant la formule du binôme, montrer que \(\cos n\theta = \displaystyle\sum^{n}_{k=0} C^{k}_{n} \left(i\sqrt{1 – x^2}\right)^{k} x^{n-k}\) avec \(k\) pair.
4. En déduire ainsi que les fonctions \(T_n(x) = \cos n\theta\) sont des fonctions polynômiales de degré \(n\) et à coefficients du plus haut degré égal à \(\ell\) que l’on déterminera.
5. Déterminer en fonction de \(x\) les trois fonctions suivantes : \(T_0(x)\), \(T_1(x)\) et \(T_2(x)\).

Partie B. Soient \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) et \(g(x) = \dfrac{2}{3}(\sqrt{7} – 2)x^2 + 1\) deux fonctions à variable réelle définies sur \(\mathbb{R}\). On se propose, dans cette partie, de résoudre l’équation \(\sqrt{x^2 + 1} – \dfrac{2}{3}(\sqrt{7} – 2)x^2 – 1 = 0\) (1).

1. Montrer que \(f\) est une fonction bijective sur \(\left[0, +\infty\right[\) et déterminer sa fonction réciproque \(f^{-1}\).
2. Étudier les fonctions \(f\) et \(g\) et tracer sur un même repère orthonormé \((O, i, j)\) les courbes représentatives \(C\) et \(H\) respectives de \(f\) et de \(g\). On donne \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ; \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) ; \(\sqrt{7} \approx 2{,}645\).
3. En déduire à l’aide de la lecture graphique les valeurs approximatives des solutions de l’équation (1).
4. Calculer en fonction de \(x\) les dérivées successives jusqu’à l’ordre 4 de la fonction \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\).

Partie C. Dans cette partie, on considère une fonction \(h(x)\) définie sur le segment \([-\pi, \pi]\) continue et ayant ses dérivées jusqu’à l’ordre \(m\)-ième continues et qui vérifie la relation \(h^{(k)}(-\pi) = h^{(k)}(\pi)\) pour tout \(0 \leq k \leq m\). Considérons la suite de nombres \(a_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int^{\pi}_{-\pi} h(x)\cos nx\,dx\), \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que l’on a la relation \(a_n = \dfrac{1}{\pi n}\displaystyle\int^{\pi}_{-\pi} h'(x)\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + nx\right)dx\).
2. En déduire que pour tout \(m\), on a aussi \(a_n = \dfrac{1}{\pi n^m}\displaystyle\int^{\pi}_{-\pi} h^{(m)}(x)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}m + nx\right)dx\).

Énoncé — session 2006 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 22-23 novembre 2006 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

1. On considère le nombre complexe \(a = -1 + i\). Calculer le module et l’argument de \(a\), de \(\dfrac{1}{a}\), de \(a^2\).
2. Déterminer les racines carrées du nombre complexe \(b = 5 – 12i\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 – (5 – 4i)z + 3(1 – 3i) = 0\).

Exercice 2

On considère la suite réelle \((u_n)\) définie par : \(u_0 = 1\) ; \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \(2u_{n+1} = u_n + 3\).

1. On pose : \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \(v_n = u_{n+1} – u_n\).
   a) En écrivant \(2(u_{n+2} – u_{n+1})\) en fonction de \(u_{n+1} – u_n\), montrer que \(v_{n+1}\) et \(v_n\) sont du même signe que l’on précisera. En déduire le sens de variation de \((u_n)\).
   b) Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme \(v_0\) et la raison \(q\).
   c) Calculer \(S_n = \displaystyle\sum^{n}_{p=0} v_p\), puis \(L = \lim\limits_{n \to +\infty} S_n\).
   d) Montrer que \(S_n = u_{n+1} – u_0\). En déduire \(\ell = \lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).
2. Montrer qu’il existe une suite géométrique \((w_n)\) telle que \((u_n – w_n)\) soit indépendante de \(n\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis retrouver \(\ell\).

Exercice 3

Le plan étant rapporté au repère orthonormé \((O, i, j)\), on donne les fonctions \(f\) de \([0, 2\pi]\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \left(\sin\dfrac{x}{2}\right)^2\) et \(g\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(g(x) = \dfrac{2e^x + 1}{e^x + 1}\). On note \((C)\) la courbe de \(f\).

1. \(f\) est-elle périodique ? Si oui, déterminer sa période \(T\).
2. \(f\) est-elle paire ?
3. Montrer que \((C)\) admet la droite \((D)\) d’équation \(x = \pi\) pour axe de symétrie.
4. Donner le tableau de variation de \(g\) et montrer que \(g\) possède une fonction réciproque \(h\). Préciser le domaine de définition de \(h\) et exprimer \(h(x)\) en fonction de \(x\).

Exercice 4

Le plan étant rapporté au repère orthonormé \((O, i, j)\), on donne la fonction \(\varphi\) de \(\mathbb{R}^*_+\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(\varphi(x) = -x + 1 + 2\,\mathrm{Log}\,x\) pour \(0 < x < 1\) ; \(\varphi(x) = x – 2 + e^{-x+1}\) pour \(x \geq 1\).

1. Montrer que \(\varphi\) est continue et dérivable en tout point \(x\) strictement positif et différent de 1.
2. En \(x_0 = 1\), \(\varphi\) est-elle continue ? est-elle dérivable ?
3. Étudier les variations de \(\varphi\) et tracer sa courbe représentative en précisant les asymptotes.
4. Soit \(\lambda\) un réel supérieur à 2. Exprimer l’aire \(A(\lambda)\) du domaine des points \(M\) vérifiant : \(1 \leq x \leq \lambda\) ; \(0 \leq y\) ; \(x – 2 \leq y \leq \varphi(x)\).
5. Calculer \(\alpha = \lim\limits_{\lambda \to +\infty} A(\lambda)\).

Énoncé — session 2008 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 26-27 novembre 2008 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice n° 1

1. Linéariser \(\sin^3 x\). (0,5 pt)
2. Utiliser le résultat précédent pour calculer l’intégrale \(I = \displaystyle\int^{\pi/2}_{0} \sin x(1 + \sin x)^2\,dx\). (1 pt)

Exercice n° 2

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2}\,e^{-1/x}\) pour \(x > 0\) et \(f(0) = 0\). On note \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) (unité graphique 5 cm).

Partie A.

1. Démontrer que la droite d’équation \((\Delta) : y = 1\) est asymptote à \((C)\). (0,5 pt)
2. a) Pour \(x > 0\), calculer \(\dfrac{f(x) – f(0)}{x}\) et étudier la limite de cette expression quand \(x\) tend vers 0. (1 pt)
   b) Que peut-on en déduire pour la fonction \(f\) ? (0,5 pt)
   c) Que peut-on en déduire pour la courbe \((C)\) ? (0,5 pt)
3. a) Pour tout \(x\) de \(\left]0\,;\,+\infty\right[\), calculer la dérivée de \(f\). (0,5 pt)
   b) Étudier les variations de la fonction \(f\) et dresser le tableau des variations de \(f\). (1 pt)
   c) Tracer la courbe représentative de \(f\). (0,5 pt)

Partie B. On note \(g\) la fonction définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(g(x) = f(x) – xf'(x)\).

1. Montrer que dans \(\left]0\,;\,+\infty\right[\), les équations \(g(x) = 0\) et \(x^3 + x^2 + 2x – 1 = 0\) sont équivalentes. (1 pt)
2. Démontrer que l’équation \(x^3 + x^2 + 2x – 1 = 0\) admet une seule racine réelle \(\alpha\). (1 pt)
3. On pose \(A = \dfrac{f(\alpha)}{\alpha}\). Montrer que \(A = f'(\alpha)\). (1 pt)

Partie C.

1. Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(u_n = \displaystyle\int^{1}_{1/n} f(x)\,dx\).
   a. Sans calculer explicitement \(u_n\), déterminer le signe de \(u_{n+1} – u_n\). (0,5 pt)
   b. En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\). (0,5 pt)
2. Démontrer que la fonction \(h\), définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(h(x) = (x + 1)e^{-1/x}\) est une primitive de \(f\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). (0,5 pt)
3. Calculer \(u_n\). Interpréter graphiquement le résultat. (1 pt)
4. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ? (0,5 pt)

Exercice n° 3

1. On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E) : 4z^3 – 2(1 + 3i)z^2\) \(- (4 + i)z – 1 + i = 0\).
   a) Montrer que l’équation admet une racine imaginaire pure \(z_1\) que l’on déterminera. (1 pt)
   b) Résoudre l’équation \((E)\). On notera \(z_2\) la solution réelle et \(z_3\) l’autre solution. (1,5 pt)
2. Soit \(f\) l’application de \(\mathbb{C} – \{2\}\) dans \(\mathbb{C}\) définie par : pour tout \(z \in \mathbb{C} – \{2\}\), \(f(z) = \dfrac{2z – i}{2 – z}\).
   a) On pose \(z = x + iy\) et \(f(z) = x’ + iy’\). Exprimer \(x’\) et \(y’\) en fonction de \(x\) et \(y\). (1 pt)
   b) Déterminer l’ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) d’affixe \(z\) pour que \(f(z)\) soit imaginaire pur. (1 pt)
3. Dans le plan complexe \((P)\), on considère l’application \(S : M(z) \to M'(z’)\) définie par : \(z’ = 2iz + 2 + i\).
   a) On note \(M_1\) le point d’affixe \(z_1\) et \(M_3\) le point d’affixe \(z_3\). Vérifier que \(S(M_1) = M_3\). (0,5 pt)
   b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(S\). (1,5 pt)
   c) Déterminer l’ensemble \((\Gamma’)\) image de \((\Gamma)\) par \(S\). (0,5 pt)
4. a) Déterminer l’ensemble \((\zeta)\) des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|2z – i| = 1\). (1 pt)
   b) Quelle est l’image \((\zeta’)\) par l’application \(S\) ? (0,5 pt)

Énoncé — session 2009 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 25-26 novembre 2009 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice I (6 points)

Soit \(P\) le polynôme à variable complexe \(z\) défini par : \(P(z) = z^3 – (2 + 3i)z^2\) \(+ (-1 + 5i)z – 2i(1 + i)\).

1. a) Déterminer une racine réelle notée \(z_0\) de l’équation \(P(z) = 0\). (0,5 pt)
   b) Mettre \(P(z)\) sous la forme \(P(z) = (z – z_0)(z^2 + az + b)\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres complexes que l’on déterminera. (0,5 pt)
   c) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\). On notera \(z_1\) et \(z_2\) les deux autres racines telles que \(|z_1| < |z_2|\). (1 pt)
2. On pose \(q = 1 + i\). On désigne par \((U_n)\) la suite de premier terme \(U_0 = 1\) et \(U_{n+1} = qU_n\) pour tout entier \(n\).
   a) Vérifier que \(U_0\), \(U_1\) et \(U_2\) sont racines de \(P(z)\). (0,5 pt)
   b) Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\) et \(q\). (0,5 pt)
   c) En déduire la forme trigonométrique de \(U_n\). (1 pt)
3. On désigne par \(M_n\) le point d’affixe \(U_n\).
   a) Démontrer que, quel que soit \(n \in \mathbb{N}\), les trois points \(O\), \(M_n\) et \(M_{n+4}\) sont alignés. (0,5 pt)
   b) Démontrer que, quel que soit \(n \in \mathbb{N}\), le triangle \(OM_nM_{n+2}\) est rectangle. (0,5 pt)
4. a) Déterminer les valeurs de \(n\) pour que \(U_n\) soit un réel positif. (0,5 pt)
   b) Déterminer les valeurs de \(n\) pour que \(U_n\) soit imaginaire pure. (0,5 pt)

Exercice II (4 points)

On considère l’équation différentielle \((E)\) suivante : \(y » – y’ – 2y = e^{-x}(-6x + 8)\).

1. a) Vérifier que la fonction \(u\) définie dans \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = e^{-x}(x^2 – 2x)\) est solution de \((E)\). (0,5 pt)
   b) Montrer qu’une fonction numérique \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f – u\) est solution de l’équation différentielle \((E’) : y » – y’ – 2y = 0\). (0,5 pt)
   c) Résoudre \((E’)\) et en déduire toutes les solutions de \((E)\). (1 pt)
   d) Déterminer l’unique solution de \(E\) telle que \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = -3\). (0,5 pt)
2. On pose \(I_\lambda = \displaystyle\int^{\lambda}_{0} (x – 1)^2 e^{-x}\,dx\) où \(\lambda > 0\).
   a) Par deux intégrations par parties successives, exprimer \(I_\lambda\) en fonction de \(\lambda\). Calculer \(\lim\limits_{\lambda \to +\infty} I_\lambda\). (1 pt)
   b) En déduire, en cm², l’aire du domaine plan \((D)\) ensemble des points \(M(x, y)\) tels que \(x \geq 0\) et \(0 \leq y \leq f(x)\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité 2 cm. (0,5 pt)

Problème (10 points)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\left[0, +\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(f(0) = 0\), \(f(x) = |x \ln x|\) si \(x > 0\). La notation \(\ln\) désigne le logarithme népérien de base \(e\). On note par \(C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité 5 cm.

Partie I.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\). (1 pt)
2. Étudier les variations de \(f\) et la branche infinie de \(C\). Dresser le tableau de variation de \(f\). (1 pt)
3. a) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left]1, e\right[\) vers un intervalle \(J\) que l’on déterminera. (0,5 pt)
   b) Démontrer qu’il existe un réel unique \(\alpha\) de \(\left]1, e\right[\) tel que \(f(\alpha) = \dfrac{1}{e}\) et un réel unique \(\beta\) de \(\left]1, e\right[\) tel que \(f(\beta) = 1\). (0,5 pt) Donner pour \(\alpha\) et \(\beta\) une valeur approchée par défaut à \(10^{-2}\) près. (0,5 pt)
4. Déterminer dans \(\mathbb{R}^+\) le signe de \(f(x) – x\). (0,5 pt)
5. Tracer le plus précisément possible la courbe \(C\). (1 pt)

Partie II. Soit \(u_0\) un réel positif ou nul. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0\) et par \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). On pourra utiliser les résultats dans la partie I sur l’étude de la fonction \(f\).

1. Pour quelles valeurs de \(u_0\), la suite \((u_n)\) est-elle constante ? (0,5 pt)
2. Soit \(u_0 \in \left]0, \dfrac{1}{e}\right[\), démontrer que : a) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(0 < u_n < \dfrac{1}{e}\) (0,5 pt) ; b) la suite \((u_n)\) est croissante. (0,5 pt)
3. Soit \(u_0 \in \left]\dfrac{1}{e},\,1\right[\), montrer que \(u_1 \in \left]0,\,\dfrac{1}{e}\right[\). (0,5 pt) En déduire que si la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(l \in \left\{0,\,\dfrac{1}{e},\,e\right\}\) alors cette limite est égale à \(\dfrac{1}{e}\). (0,5 pt)
4. Soit \(u_0 > e\).
   a) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante. (0,5 pt)
   b) Montrer que pour tout \(x \geq e\) on a \(f'(x) \geq 2\). (0,5 pt)
   c) En déduire pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) que \(u_{n+1} – u_n \geq 2(u_n – u_{n-1})\). (0,5 pt)
   d) Montrer ensuite la relation \(u_{n+1} \geq u_0 + (u_1 – u_0)(2^{n+1} – 1)\). Déterminer la nature de la suite \((u_n)\). (1 pt)

Énoncé — session 2011 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 23-24 février 2011 (Ingénieurs) · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice 1

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormé \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\), on considère, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation \((E)\) d’inconnue \(z\) suivante : \(z^3 + (-8 + i)z^2 + (17 – 8i)z + 17i = 0\).

1. a) Montrer que \(-i\) est solution de \((E)\).
   b) Résoudre \((E)\) dans l’ensemble des nombres complexes.
2. On appelle \(A\), \(B\), \(C\) et \(\Omega\) les points d’affixes respectives \(4 + i\), \(4 – i\), \(-i\) et 2. Comparer \(|z_A – z_\Omega|\), \(|z_B – z_\Omega|\), \(|z_C – z_\Omega|\) et en déduire que les points \(A\), \(B\), \(C\) appartiennent à un même cercle \((\Gamma_1)\) dont on précisera le centre et le rayon \(R_1\).
3. À tout point \(M\) d’affixe \(z \neq 2\), on associe le point \(M’\) d’affixe : \(z’ = \dfrac{iz + 10 – 2i}{z – 2}\).
   a) Soit \(M\) un point d’affixe \(z\) appartenant au cercle \((\Gamma_1)\), montrer que : \(|z’ – i| = 2\sqrt{5}\).
   b) Déterminer les affixes des points \(A’\), \(B’\) et \(C’\) associés respectivement aux points \(A\), \(B\), \(C\) et vérifier que \(A’\), \(B’\) et \(C’\) appartiennent à un cercle \((\Gamma_2)\) dont on déterminera le centre \(I\) et le rayon \(R_2\).

Exercice 2

Le plan étant rapporté au repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), on considère les courbes \(H_1\) et \(H_2\) d’équations respectives : \(H_1 : y = \dfrac{1}{x}\) (avec \(x > 0\)) et \(H_2 : y = \dfrac{2}{x}\) (avec \(x > 0\)).

1. Tracer \(H_1\) et \(H_2\).
2. On note \(D_2\) le domaine délimité par les courbes \(H_1\) et \(H_2\) et les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = 3\), et \(D’_2\) le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe \(H_1\) et les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = 3\). Montrer que \(D_2\) et \(D’_2\) ont la même aire.
3. Soit \(n\) un entier naturel strictement positif. On note \(u_n\) l’aire du domaine \(D_n\) délimité par les courbes \(H_1\) et \(H_2\) et les droites d’équation \(x = n\) et \(x = n + 1\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ?

Exercice 3

Le plan étant rapporté au repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), on donne la fonction \(\varphi\) définie par \(\varphi(x) = 2\sqrt{2x – x^2}\).

1. Montrer que la courbe \((\Lambda)\) de \(\varphi\) admet la droite \((D)\) d’équation \(x = 1\) pour axe de symétrie.
2. Dresser le tableau de variations de \(\varphi\).
3. Soit \(\psi\) la restriction de \(\varphi\) au segment \([0,\,1]\), montrer que \(\psi\) admet une fonction réciproque \(\psi^{-1}\) dont on précisera l’ensemble de définition.
4. Sur quel intervalle \(\psi^{-1}\) est-elle dérivable ?
5. Calculer \(\psi^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) puis \((\psi^{-1})’\left(\dfrac{1}{2}\right)\).

Problème

Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = e^{x}(x + 3) – 1\).
   a) Déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
   b) Calculer la dérivée \(g’\) de \(g\) et en déduire le tableau de variations de \(g\).
   c) Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) qui appartient à l’intervalle \(\left]-4,\,0\right[\).
   d) Déduire des questions précédentes le signe de \(g(x)\) en fonction des valeurs de \(x\).
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = -x + (x + 2)e^{x}\) et soit \((C)\) la courbe de \(f\).
   a) Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
   b) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = -x\) est asymptote à la courbe \((C)\) en \(-\infty\).
   c) Étudier, en fonction des valeurs de \(x\), les positions relatives de \((\Delta)\) et \((C)\).
   d) En remarquant que \(f(x)\) peut s’écrire : \(f(x) = e^{x}\left(\dfrac{-x}{e^{x}} + x + 2\right)\), déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
   e) Vérifier que, pour tout réel, on a : \(f'(x) = g(x)\).
   f) Dresser le tableau de variations de \(f\).
   g) Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) en son point \(A\) d’abscisse 0.
   h) Tracer la courbe \((C)\), la tangente \((T)\) et l’asymptote \((\Delta)\) dans un même repère.
3. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(h(x) = (x + 1)e^{x}\).
   a) Calculer \(h'(x)\) puis en déduire une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
   b) Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine compris entre la courbe \((C)\), l’axe des abscisses, la droite d’équation \(y = -2\) et l’axe des ordonnées. On en donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

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Les autres épreuves du concours :

• Sujets de Chimie
• Sujets de Culture générale
• Sujets d’Électricité
• Sujets de Français
• Sujets de Physique
• Sujets de Résistance des matériaux
• Sujets de Test psychotechnique

Énoncé — session de décembre 2011 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2011-2012 · Session du 30 novembre au 1^er décembre · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice (6 points)

1. On considère l’équation \((E) : 2z^2 – (5 – i\sqrt{3})z + 2(1 – i\sqrt{3}) = 0\) où \(z\) représente un nombre complexe. Résoudre cette équation dans \(\mathbb{C}\). On désignera par \(z_1\) la solution réelle et par \(z_2\) l’autre solution.
2. Dans le plan \(P\) rapporté au repère orthonormal direct \((O, u, v)\), d’unité graphique 2 cm, on note \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives 2 et \(\dfrac{1 – i\sqrt{3}}{2}\). Soit \(S\) l’application de \(P\) dans \(P\) qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point \(M’ = S(M)\) d’affixe \(z’\) définie par : \(z’ = \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 – i\sqrt{3}}{2}\).
   a) Déterminer l’affixe du point \(A’ = S(A)\), l’affixe du point \(O’ = S(O)\), ainsi que l’affixe du point \(P\) tel que \(S(P) = O\).
   b) Placer dans le même repère les points \(A\), \(A’\), \(B\) et \(P\).
3. On pose z = x + iy et z’ = x’ + iy’ où x, y, x’, y’ sont réels.
   a) Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y.
   b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de S.
   c) Soit C le cercle de diamètre [AP]. Déterminer l’image C’ de C par S. Construire C et C’ dans le même repère.

Problème

Partie A (6 points). Soit \((u_n)\) une suite de nombres réels à termes positifs définie par : \(u_0 = 2\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 2 – e^{-u_n}\).

1. Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(\dfrac{3}{2} \leq u_n \leq 2\).
2. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la suite \((u_n)\) est une suite décroissante.
3. En déduire que la suite \((u_n)\) est une suite convergente vers une limite \(\alpha\) telle que \(\alpha = 2 – e^{-\alpha}\).
4. Calculer les cinq premiers termes de la suite \((u_n)\).
   Démontrer que la limite \(\alpha = \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n)\) est solution de l’équation \(h(x) = (-x + 2)e^x – 1 = 0\).

Partie B (8 points). On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \dfrac{x}{x + \ln(-2x)}\) si \(x \in \left]-\infty, 0\right[\) ; \(f(x) = \dfrac{e^x – 1}{e^x – x}\) si \(x \in \left[0, +\infty\right[\).

On note par \(C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, i, j)\) d’unité 2 cm. On admet dans toute la suite que \(x + \ln(-2x) < 0\) sur \(\left]-\infty, 0\right[\) et que \(e^x – x > 0\) sur \(\left[0, +\infty\right[\).
[Le sujet imprimé porte « \(x + \ln(-2x) > 0\) », coquille manifeste : sur \(\left]-\infty, 0\right[\), cette expression atteint son maximum en \(x = -1\), où elle vaut \(\ln 2 – 1 < 0\) ; elle est donc strictement négative sur tout l’intervalle.]

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) au point 0.
2. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\left]-\infty, 0\right[\), on a \(f'(x) \geq 0\) si et seulement si \(x \leq -\dfrac{e}{2}\), où \(f'(x)\) désigne le nombre dérivé de \(f\) en \(x\).
3. a) Montrer que, pour tout \(x\) de \(\left]0, +\infty\right[\), \(f'(x) = \dfrac{h(x)}{(e^x – x)^2}\) où \(h(x) = (-x + 2)e^x – 1\).
   b) Montrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) comprise entre \(\dfrac{3}{2}\) et 2.
   c) En déduire le signe de \(h(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\).
4. Étudier, suivant les valeurs de \(x\) de \(\mathbb{R}\), la position relative de \(C\) par rapport à la droite \(D\) d’équation \(y = 1\).
5. Tracer \(C\) et \(D\). On prendra \(\alpha = 1{,}84\) et \(f(\alpha) = 1{,}20\).
6. a) Montrer que, pour tout \(x\) de \(\left[-\dfrac{e}{2}\,;\,-1\right]\), on a \(\dfrac{e}{e – 2} \geq f(x) \geq \dfrac{1}{1 – \ln 2}\).
   b) En déduire un encadrement de l’aire du domaine limité par \(C\), l’axe \((x’Ox)\) et les deux droites \(x = -\dfrac{e}{2}\) et \(x = -1\), en cm².

Énoncé — session 2013 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2012-2013 — Ingéniorat · Session des 30-31 janvier 2013 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice 1

Soit la suite d’intégrales : \(I_0 = \displaystyle\int^{1}_{0} e^{-x}\,dx\) et, pour \(n\) entier \(n \geq 1\), \(I_n = \displaystyle\int^{1}_{0} x^n e^{-x}\,dx\).

1. Calculer \(I_0\).
2. Exprimer \(I_{n+1}\) en fonction de \(I_n\). Calculer \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) et \(I_4\).
3. Soit \(J_n = \displaystyle\int^{1 – 1/\sqrt{n}}_{0} x^n e^{-x}\,dx\) (\(n \geq 1\)).
   Montrer que \(0 \leq J_n \leq \left(1 – \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\).
4. Sachant que \(\left(1 – \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)^n = e^{n \ln(1 – 1/\sqrt{n})}\) :
   a) Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 – \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\).
   b) En déduire \(\lim\limits_{n \to +\infty} J_n\).
5. Soit \(n \in \mathbb{N}\), on admettra qu’il existe un couple d’entiers naturels \((a_n, b_n)\) tel que \(I_n = a_n – b_n e^{-1}\).
   a) Montrer que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) vérifient les relations de récurrence : \(a_{n+1} = (n + 1)a_n\) et \(b_{n+1} = (n + 1)b_n + 1\).
   b) Montrer que \(a_n = n!\) et \(b_n = n!\left(1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \ldots + \dfrac{1}{n!}\right)\).

Exercice 2

1. Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z) = z^3 – 3z^2 + 3z + 7\).
   a) Calculer \(P(-1)\).
   b) Factoriser \(P(z)\) puis résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\).
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \((O, u, v)\) (unité graphique = 2 cm). On désigne par \(A\), \(B\), \(C\) et \(G\) les points du plan d’affixes respectives \(z_A = -1\), \(z_B = 2 + i\sqrt{3}\), \(z_C = 2 – i\sqrt{3}\), \(z_G = 3\).
   a) Placer les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(G\).
   b) Calculer les distances \(AB\), \(BC\) et \(AC\), en déduire la nature du triangle \(ABC\).
   c) Calculer un argument du nombre complexe \(\dfrac{z_A – z_C}{z_G – z_C}\). En déduire la nature du triangle \(GAC\).
3. Soit \((D)\) l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \((-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})\cdot\overrightarrow{CG}=12\) (1).
   a) Montrer que \(G\) est le barycentre du système de points pondérés \(\{(A\,;\,-1), (B\,;\,2), (C\,;\,2)\}\).
   b) Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation \(\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\) (2).
   c) Vérifier que le point \(A\) appartient à l’ensemble \((D)\).
   d) Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0\).
   e) En déduire l’ensemble \((D)\) et le tracer.

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \((O, i, j)\) (unité graphique 4 cm).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \ln(1 + e^{-x})\). On note \(\Gamma\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère \((O, i, j)\).

Partie A.

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\), puis la limite de \(f\) en \(+\infty\).
2. Étudier le sens de variation de \(f\).
3. Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\), \(f(x) = -x + \ln(1 + e^x)\). En déduire que la courbe \(\Gamma\) admet, en \(-\infty\), une asymptote, notée \(\Delta\).
4. Tracer \(\Delta\) et \(\Gamma\).

Partie B.

1. Calculer \(f^{\prime}(x)\).
2. On note \(A\), \(B\) et \(C\) les points de \(\Gamma\) d’abscisses respectives 0, 1 et −1. On appelle \(T_0\), \(T_1\) et \(T_{-1}\) les tangentes respectives à la courbe \(\Gamma\) aux points \(A\), \(B\) et \(C\).
   a) Démontrer que la droite \((BC)\) est parallèle à la droite \(T_0\).
   b) Déterminer l’abscisse du point d’intersection de \(T_1\) et \(T_{-1}\).

Partie C.

1. Soient \(u\) et \(v\) les fonctions définies sur \(\left[0,\,+\infty\right[\) par \(u(t) = \ln(1 + t) – t\) et \(v(t) = \ln(1 + t) – t + \dfrac{1}{2}t^2\).
   Étudier les variations de \(u\) et \(v\). En déduire que, pour tout nombre réel \(t\) positif, on a : \(t – \dfrac{1}{2}t^2 \leq \ln(1 + t) \leq t\).
2. Soit \(n\) entier naturel (\(n \geq 1\)). On considère le nombre \(S_n = f(1) + f(2) + \ldots + f(n)\).
   Démontrer que \(\dfrac{1 – e^{-n}}{e – 1}\) \(- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 – e^{-2n}}{e^2 – 1} \leq S_n\) \(\leq \dfrac{1 – e^{-n}}{e – 1}\).

Énoncé — session 2014 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2013-2014 · Session des 29-30 janvier · Parcours Ingénieur · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1 (4 points)

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) (unité graphique 2 cm), on considère, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation \((E)\) d’inconnue \(z\) suivante : \(z^3 – 2(1 + i)z^2 + 3iz + (1 – i) = 0\).

1. Vérifier que \(z_0 = 1\) est une solution réelle de cette équation.
2. Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \((E)\) s’écrit sous la forme \((z – 1)(az^2 + bz + c) = 0\).
3. Résoudre l’équation \((E)\) dans l’ensemble des nombres complexes.
4. On appelle \(A\), \(B\) et \(C\) les points d’affixes respectives 1, \(1 + i\) et \(i\). Placer dans le plan rapporté au repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) ces trois points.
5. Démontrer que \(ABC\) forme une figure géométrique remarquable dont on déterminera [la nature].

Exercice 2 (9 points)

Soit \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 3x + 1\).

1. Étude de la fonction \(f\)
   a) Dresser le tableau de variations de \(f\).
   b) Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet trois racines distinctes telles que \(a < 0 < b < 1 < c\).
   c) Déterminer un encadrement du type \(\left[\dfrac{n}{10}, \dfrac{n + 1}{10}\right]\), où \(n \in \mathbb{Z}\), pour chacune de ces trois racines \(a\), \(b\), \(c\) puis représenter graphiquement la fonction \(f\).
2. Étude d’une suite convergeant vers \(c\)
   On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par \(u_0 = u_1 = 0\), \(u_2 = 1\) et :
   \((R) : u_{n+3} = 6u_{n+2} – 3u_{n+1} – u_n\).
   a) Établir que, pour tout entier naturel \(n\) : \(0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq u_{n+2}\) et que, pour tout entier \(n \geq 2\) : \(u_n > 0\).
   b) Vérifier que les suites géométriques \((a^n)\), \((b^n)\), \((c^n)\) satisfont la relation \((R)\).
   c) Exprimer en fonction de \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels \(x\), \(y\), \(z\) tels que : \[ \begin{cases} x+y+z=u_0=0 \\ ax+by+cz=u_1=0 \\ a^2x+b^2y+c^2z=u_2=1 \end{cases} \] En déduire que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = xa^n + yb^n + zc^n\).
   d) On pose pour \(n \geq 2\) : \(p_n = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\). Prouver que la suite \((p_n)\) converge vers \(c\).
   Exprimer \(p_n – c\) en fonction du quotient \(\dfrac{b^n – a^n}{b – a}\) et de \(u_n\) pour \(n \geq 2\).
   En déduire que \(p_n – c\) est équivalent à \(K\left(\dfrac{b}{c}\right)^n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini, où \(K\) est un nombre réel que l’on explicitera en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).

Exercice 3 (7 points)

Le but de cet exercice est d’étudier la famille de fonctions \(g_\alpha\) de la variable réelle \(x\) définies par : \[ \begin{cases} g_{\alpha}(x)=\dfrac{x\,e^{\alpha x}}{e^{x}-1}\quad\text{pour } x\in\mathbb{R}^{*} \\ g_{\alpha}(0)=0 \end{cases} \] \(\alpha\) étant un nombre supérieur ou égal à \(\dfrac{1}{2}\).
[Le sujet imprimé porte bien \(g_\alpha(0) = 0\). Comme \(g_\alpha(x)\) tend vers 1 quand \(x\) tend vers 0, la valeur qui prolonge \(g_\alpha\) par continuité en 0 est 1 : coquille probable du sujet.]

1. Calculer \(g’_\alpha(x)\) en fonction de \(\alpha\) pour tout \(x \neq 0\).
2. Vérifier que \(g’_\alpha(x)\) est de même signe que \(u_\alpha(x) = e^x[1 + (\alpha – 1)x] – (1 + \alpha x)\).
3. Donner, suivant les valeurs de \(\alpha \geq \dfrac{1}{2}\), le tableau de variations de \(g_\alpha\).
   (On distinguera les cas \(\alpha > 1\) ; \(\dfrac{1}{2} \leq \alpha < 1\) et \(\alpha = 1\)).

Énoncé — session de décembre 2014 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2014-2015 · Session des 3-4 décembre 2014 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice 1

Le plan \(\mathcal{P}\) est rapporté au repère orthonormal direct \((O\,;\,i,\,j)\). On désigne par \(\mathcal{U}\) l’ensemble des nombres complexes de module 1, et par \(\mathcal{U}^*\) l’ensemble \(\mathcal{U}\) privé du réel 1.

1. a) Soit \(u\) un élément de \(\mathcal{U}^*\) ; on pose \(u = \cos\theta + i\sin\theta\) avec \(\theta \in \left]0\,;\,2\pi\right[\). Déterminer le module et un argument de \(1 – u\) en fonction de \(\theta\).
   b) En déduire un argument et le module de \(\dfrac{1}{1 – u}\).
2. a) Démontrer que l’ensemble des points \(M\) de \(\mathcal{P}\) d’affixe \(z = 1 – u\), où \(u\) décrit \(\mathcal{U}\), est le cercle de centre \(A\) d’affixe 1, et passant par \(O\).
   b) Quel est l’ensemble des points \(M\) de \(\mathcal{P}\) d’affixe \(z = \dfrac{1}{1 – u}\) lorsque \(u\) décrit \(\mathcal{U}^*\) ?
3. Soit \(B\) le point d’affixe \(b \neq 0\), \(M\) le point d’affixe \(z\).
   a) Interpréter le module de \(z – b\).
   b) Quel est l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z = b(1 – u)\), lorsque \(u\) décrit \(\mathcal{U}\) ?
   c) Quel est l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z = \dfrac{b}{1 – u}\), lorsque \(u\) décrit \(\mathcal{U}^*\) ?

Exercice 2

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par : \(f(x) = x^2 + 1 – \ln x\), où \(\ln x\) désigne le logarithme népérien de \(x\).
   a) Étudier les limites de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et quand \(x\) tend vers 0.
   b) Calculer \(f'(x)\) où \(f’\) désigne la fonction dérivée de \(f\).
   c) Dresser le tableau de variation de \(f\). En déduire le signe de \(f\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\).
2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par : \(g(x) = x – 1 + \dfrac{\ln x}{x}\), et soit \(\mathcal{P}\) le plan rapporté au repère orthonormal \((O\,;\,i,\,j)\) où l’unité graphique est 4 cm. On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(g\) dans \(\mathcal{P}\).
   a) Étudier les limites de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et quand \(x\) tend vers 0.
   b) Calculer \(g'(x)\) et montrer que \(g’\) et \(f\) ont le même signe sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\).
   c) Dresser le tableau de variation de \(g\).
   d) Montrer que la droite \(\Delta\) d’équation \(y = x – 1\) est une asymptote à \(\mathcal{C}\). Étudier la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à \(\Delta\).
   e) Montrer qu’il existe une tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) parallèle à la droite \(\Delta\). Calculer les coordonnées du point de contact de \(T\) et de \(\mathcal{C}\).
   f) Construire \(\mathcal{C}\), \(\Delta\), \(T\) et la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 1.
   g) Démontrer que l’équation \(g(x) = 1\) admet une solution unique.
   h) Soit \(D\) la partie du plan limitée par la droite \(\Delta\), la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d’équations respectives \(x = 1\) et \(x = e\). Mettre en évidence la partie \(D\) sur le graphique et calculer l’aire \(\mathcal{A}_D\) de \(D\) en cm².

Exercice 3

Partie A. Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(F(x) = \displaystyle\int^{x}_{0} \dfrac{dt}{1 + t^2}\).

1. Justifier la dérivabilité de \(F\) et calculer \(F’\).
2. Soit \(u\) la fonction définie sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\) par : \(u(x) = F(\tan x)\).
   a) Démontrer que \(u'(x) = 1\) pour tout \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\).
   b) En déduire que \(u(x) = x\) pour tout \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\) et que : \(\displaystyle\int^{1}_{0} \dfrac{dt}{1 + t^2} = \dfrac{\pi}{4}\).

Partie B. Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) la suite définie par : \(u_n = 1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} – \dfrac{1}{7}\) \(+ \ldots + \dfrac{(-1)^n}{2n + 1}\) \(= \displaystyle\sum^{n}_{k=0} \dfrac{(-1)^k}{2k + 1}\).

1. Démontrer que, pour tout réel \(t\) : \((1 – t^2 + t^4 – t^6 + \ldots + (-1)^n t^{2n})\) \(- \dfrac{1}{1 + t^2}\) \(= (-1)^n \dfrac{t^{2n+2}}{1 + t^2}\).
2. En déduire que : \(u_n – \displaystyle\int^{1}_{0} \dfrac{dt}{1 + t^2} = (-1)^n \displaystyle\int^{1}_{0} \dfrac{t^{2n+2}}{1 + t^2}\,dt\).
3. Démontrer que pour tout réel \(t \in [0\,;\,1]\), on a : \(\dfrac{t^{2n+2}}{1 + t^2} \leq t^{2n+2}\).
4. En déduire que : \(\left|u_n – \displaystyle\int^{1}_{0} \dfrac{dt}{1 + t^2}\right| \leq \dfrac{1}{2n + 3}\).
5. Conclure.

Énoncé — session 2016 transcrit depuis le sujet scanné (3 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2016-2017 — Ingéniorat · Durée : 3 heures

Tous documents ne sont pas autorisés. L’exercice et le problème sont obligatoires.

Exercice

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Soit le nombre complexe \(z_0 = \sqrt{2}(1 + i)\).
   a) Déterminer les modules et les arguments de \(z_0\) et \(\dfrac{1}{z_0}\).
   b) Représenter dans le plan les points \(I\) et \(J\), d’affixes respectives \(z_0\) et \(\dfrac{1}{z_0}\).
2. \(M\) et \(N\) sont des points du plan d’affixes respectives \(z \neq 0\) et \(\dfrac{1}{z}\).
   a) Déterminer, en fonction de \(z\), l’affixe \(Z_P\) du barycentre \(P\) des points \(M\) et \(N\) affectés respectivement des coefficients 2 et 1.
   b) Représenter le point \(P_0\), position du point \(P\) quand \(z = z_0\).
   c) Calculer \(z\) pour que \(P\) soit le point d’affixe \(\dfrac{1}{3}\).
3. Montrer que les coordonnées \((x,\,y)\) de \(P\) peuvent se mettre sous la forme : \(x = \varphi(r)\cos\theta\) et \(y = \psi(r)\sin\theta\), où \(r = |z|\) et \(\theta = \arg z\).
   \(\varphi(r)\) et \(\psi(r)\) sont des expressions à déterminer.

Problème

Pour tout entier \(n\) strictement positif, on considère la fonction numérique \(f_n\) à variable \(x\) définie par \(f_n(x) = \dfrac{e^x}{(1 + x)^n}\). On note par \((C_n)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

Partie A.

1. a) Déterminer la fonction dérivée \(f’_n\) de \(f_n\).
   b) Donner l’expression de \(f’_n\) en fonction de \(f_n\) et \(f_{n+1}\).
2. a) Étudier, suivant la parité de \(n\), le sens de variation de \(f_n\).
   b) Déterminer, selon la question précédente, les limites de \(f_n\) aux bornes de son ensemble de définition et dresser son tableau de variation.
3. Montrer que les courbes \((C_n)\) passent par un point fixe \(A\) dont on précisera les coordonnées.
4. a) Étudier les branches infinies de \((C_n)\).
   b) Tracer, sur deux repères distincts, les courbes \((C_1)\) et \((C_2)\).
   c) Discuter graphiquement suivant les valeurs de \(m\) le nombre de solutions de l’équation \(-mx^2 + e^x – 2mx – m = 0\) pour \(m \in \mathbb{R}\).

Partie B. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(I_n = \displaystyle\int^{1}_{0} f_n(x)\,dx\).

1. a) Montrer que \(f_{n+1}(x) – f_n(x) \leq 0\) si \(x \in [0,\,1]\), en déduire la variation de la suite \((I_n)\).
   b) Montrer alors que la suite \((I_n)\) est convergente.
2. a) Donner une relation de récurrence entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\) en intégrant par parties \(I_n\), si \(n > 1\).
   b) Montrer que \(f_n(x) \leq \dfrac{e}{(1 + x)^n}\), si \(n > 1\).
   c) Montrer que pour \(n > 1\), on a : \(\dfrac{1}{n – 1}\left(1 – \dfrac{e}{2^{n-1}}\right) \leq I_n\) \(\leq \left(\dfrac{e}{n – 1}\right)\left(1 – \dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\).
   d) En déduire la limite de la suite \((I_n)\).
3. a) En utilisant le résultat de la question 1 de la partie A, établir une relation entre \(I_n\) et \(I_{n+1}\).
   b) Calculer \(\lim\limits_{n \to \infty} (nI_{n+1})\).
   c) En déduire la limite de la suite \((nI_n)\).

N.B. : \(e = 2{,}72\).

Énoncé — session 2019-2020 transcrit depuis le sujet scanné (1 page, ci-dessous)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2019-2020 — Ingéniorat · Durée : 3 heures

Tous documents ne sont pas autorisés et les exercices sont tous obligatoires.

Exercice 1

On munit le plan complexe \((P)\) d’un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\). À tout nombre complexe \(z\) différent de \(-i\), on associe le nombre complexe \(z’ = \dfrac{z – 2 + i}{z + i}\).

1. Soit \(z = x + iy\) avec \(x\), \(y\) des nombres réels.
   a) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de \(z’\) en fonction de \(x\) et \(y\).
   b) En déduire la nature de chacun des ensembles de points \(M\) d’affixe \(z\) suivants :
   \((D) = \{M(z) \mid z’ \text{ est réel}\}\) ; \((C) = \{M(z) \mid z’ \text{ est imaginaire pur}\}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
   a) \((E_1)\) : \(\dfrac{z – 2 + i}{z + i} = -i\).
   b) \((E_2)\) : \(\dfrac{z – 2 + i}{z + i} = z – 1 + i\).
   c) On désigne par \(\alpha\) la solution de l’équation \((E_1)\). Montrer que le point \(D\) d’affixe \(\alpha\) appartient à \((C)\).
3. Dans toute la suite de l’exercice, on considère les points \(A\), \(B\), \(M\) et \(M’\) d’affixes respectives \(z_A = 1\) ; \(z_B = -i\) ; \(z = -i + 2e^{i\theta}\) où \(\theta \in [0\,;\,2\pi]\) et \(z’\).
   a) Justifier que le point \(M\) appartient au cercle de centre \(B\) et de rayon 2.
   b) Exprimer \(z’ – 1\) en fonction de \(z\), puis le mettre sous forme exponentielle.
   c) En déduire le module de \(z’ – 1\).
   d) Montrer alors que \(M’\) appartient à un ensemble qu’on déterminera.

Exercice 2

Soit la fonction numérique \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + x – 1\). On appelle \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) dont l’unité est 2 cm.

1. a) Dresser le tableau de variation de la fonction \(g\) définie par : \(g(x) = x^2 – \ln x + 1\).
   b) En déduire le signe de \(g(x)\) pour tout \(x\) appartenant à l’ensemble de définition de \(g\) (on n’utilise pas des valeurs approchées).
2. a) Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)\) est de même signe que \(g(x)\).
   b) Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine de définition, puis construire son tableau de variations.
   c) Étudier les branches infinies.
   d) Donner la position de l’asymptote oblique par rapport à la courbe, s’il en existe.
   e) Écrire l’équation de la tangente \(T\) à la courbe \(C\) au point d’abscisse \(x = 1\).
3. Faire la représentation graphique de la courbe \(C\) ainsi que \(T\) et les asymptotes.

Exercice 3

Soit \(\lambda\) un réel quelconque supérieur ou égal à 1 et la fonction \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}\).

1. Calculer \(\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int^{\lambda}_{1} h(x)\,dx\).
2. Déterminer la limite \(L\) de \(\mathcal{A}(\lambda)\) quand \(\lambda \to +\infty\).
3. Montrer que l’équation \(\mathcal{A}(\lambda) = \dfrac{L}{2}\) est équivalente à l’équation \((E)\) définie par \(2\ln\lambda – \lambda + 2 = 0\).
4. Prouver que l’équation \((E)\) admet une solution unique sur \(\left[1\,;\,+\infty\right[\).

Énoncé — session 2021 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année — Cycle ingéniorat · Année universitaire 2021 · Session de février, mercredi 17 février 2021 · Toutes mentions · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

1. Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z) = z^3 – 2iz^2 – (2 – i)z + 1 + i\).
   a) Calculer \(P(1)\) et vérifier que \(z_A = 1\) est solution réelle de l’équation \(P(z) = 0\).
   b) Déterminer les nombres complexes \(b\) et \(c\) tels que pour tout nombre \(z \in \mathbb{C}\), on ait \(P(z) = (z – 1)(z^2 – bz + c)\).
   c) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\). Noter \(z_B\) et \(z_C\) les racines non réelles de \(P(z) = 0\).
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) (unité graphique : 2 cm). On désigne par \(A\), \(B\) et \(C\) les points du plan d’affixes respectives : \(z_A = 1\), \(z_B = 2i\), \(z_C = -1 + i\).
   a) Réaliser une figure et placer les points \(A\), \(B\), \(C\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\).
   b) Calculer les distances \(AB\), \(BC\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. On considère maintenant le repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\) de l’espace \(\mathbb{R}^3\). On donne un point \(D(1, 0, 1)\) de l’espace et un vecteur \(\vec{u}(2, -1, 0)\). Déterminer les équations de la droite \(\mathcal{D}\) passant au point \(D\) et engendrée par \(\vec{u}\).

Exercice 2

On considère la suite \(u_n\) définie par : \(u_0 \in \left[-\dfrac{4}{3}, +\infty\right[\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = \sqrt{3u_{n-1} + 4}\).

1. a) Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\), \(u_n \geq 0\).
   b) Vérifier la relation pour tout entier naturel : \(u_n – u_{n-1} = \dfrac{3(u_{n-1} – u_{n-2})}{u_n + u_{n-1}}\).
   c) En déduire que, pour \(n \geq 2\), \(u_n – u_{n-1}\) garde un signe constant et de même signe que \(u_1 – u_0\).
2. On étudie la convergence de la suite \(u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   a) Démontrer que la suite \(u_n\) est une suite croissante et que \(u_n \leq 4\) si \(-\dfrac{4}{3} \leq u_0 < 4\).
   b) Vérifier que la suite \(u_n\) est constante si \(u_0 = 4\).
   c) Vérifier que la suite \(u_n\) est décroissante minorée par 4 si \(u_0 > 4\).
3. En déduire que la suite \(u_n\) est convergente de limite égale à 4 pour \(u_0 \geq -\dfrac{4}{3}\).

Problème

Partie A. On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par \(f(x) = (x – 1)^2(x + 1)^3\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) (unité graphique : 5 cm).

1. Étudier et dresser le tableau donnant les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Vérifier que la fonction \(f\) admet un maximum au point d’abscisse \(x = \dfrac{1}{5}\) et un minimum local au point \(x = 1\).
3. Tracer dans un repère orthonormé la courbe \(\mathcal{C}\) représentative de la fonction \(f\).

Partie B. On considère la fonction \(g_n\) définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par \(g_n(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n!}\).

1. Calculer les dérivées \(g’_n(x)\) et \(g »_n(x)\).
2. En déduire en fonction de \(n\) la dérivée \(n\)-ième de la fonction \(g_n(x)\).

Partie C.

1. Calculer l’intégrale \(I = \displaystyle\int^{1}_{0} (t^2 – t^4)\,dt\).
2. Par un changement de variable, calculer l’intégrale \(J = \displaystyle\int^{\pi/2}_{0} (\sin^2 x \cos^3 x)\,dx\).
3. En déduire l’intégrale \(K = \displaystyle\int^{\pi/4}_{0} (\sin^4 x \cos^5 x)\,dx\) en fonction de \(\sqrt{2}\).
4. En déduire une expression de l’intégrale \(L = \displaystyle\int^{\pi/2}_{0} (\sin^{2n} x \cos^{2n+1} x)\,dx\) en fonction de \(n\).

Énoncé — session 2022 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2022 · Durée : 4 heures

Exercice

Arithmétique (2 points)

1. Un nombre \(E\) s’écrit 00011001 en base 2 et 221 en base \(n\), \(n \in \mathbb{N}^*\). Déterminer l’entier naturel \(n\).
2. Prouver que pour tout entier \(n\), on a l’égalité \(2^{6n+1} + 9^{n+1} = 0\ [11]\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) le système suivant : \[ \begin{cases} \mathrm{PGCD}(a,b)=6 \\ \mathrm{PPCM}(a,b)=18 \end{cases} \]

Probabilités (3 points)

Chaque lettre du mot « KAROHY » est écrite sur chaque face d’un dé cubique normal (une seule lettre sur chaque face). Un enfant lance trois fois successivement ce dé et d’une manière indépendante. Il obtient ainsi un « mot » de trois lettres (un mot peut avoir un sens ou non).

1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
   \(A\) « L’enfant obtient un mot commençant par une consonne ».
   \(B\) « L’enfant obtient un mot commençant et se terminant par la même lettre ».
2. Soit \(C\) l’événement « l’enfant obtient un mot ayant des lettres toutes différentes ».
   a) Définir l’événement \(\overline{C}\), événement contraire de \(C\).
   b) Calculer la probabilité de l’événement \(\overline{C}\).
3. On remplace dans cette partie les lettres H et Y par les nombres 0 et 1. Quelle est la probabilité \(P_n(k)\), en fonction de \(n\) et de \(k\), de l’événement où l’enfant lance le dé \(n\) fois et obtient \(k\) fois un nombre 0 ou 1 et \(n – k\) fois une lettre K, A, O ou R avec \(k \in \{0, 1, 2, \ldots, n\}\) ?

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Suites numériques (5 points)

A – On considère la suite numérique \(u_{n+1} = 0{,}5u_n + 0{,}3\) pour tout entier \(n \geq 1\). On donne \(u_1 = 0{,}5\).

a) Montrer que la suite \((u_n)\) vérifie la relation \(0 \leq u_n \leq 0{,}6\).
b) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante. En déduire une limite \(L\) de cette suite.
c) On considère la suite \(v_n = u_n – 0{,}6\). Vérifier que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on déterminera la raison \(r\) et le premier terme. Écrire le terme général de \(v_n\) en fonction de \(n\) et de \(u_1\).

B – On se propose de calculer la suite \(S_n = \lim\limits_{n \to +\infty} \displaystyle\sum^{n-1}_{k=0} \dfrac{n^2 – k^2}{n^3}\).

a) Calculer la primitive de la fonction \(w(x) = 1 – x^2\).
b) Montrer que pour \(\dfrac{k}{n} \leq x \leq \dfrac{k + 1}{n}\) alors \(w\left(\dfrac{k + 1}{n}\right) \leq w(x) \leq w\left(\dfrac{k}{n}\right)\).
c) Calculer la valeur de \(S = \displaystyle\int^{1}_{0} w(x)\,dx\).

Problème

Partie A (3 points)

1. Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes l’équation \((E)\) d’inconnue \(z\) : \(z^2 – 4iz – 5 = 0\).
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O, u, v)\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a = 1 + 2i\), \(b = -1 + 2i\) et \(c = 1\).
   a) Calculer le module et un argument du nombre \(a\).
   b) Donner la forme exponentielle des nombres \(a\) et \(b\).
   c) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) forment une figure géométrique dont on précisera la nature.
   d) Placer les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans le repère \((O, u, v)\).

Partie B (3 points) On considère la fonction \(f\) définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par : \(f(x) = \dfrac{7}{2} – \dfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})\).

a) Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
b) Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur l’intervalle \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).
c) Montrer que la fonction coupe l’axe \(y = 0\) en deux points \(E\) et \(F\) d’abscisses respectives \(-\alpha\) et \(\alpha\). Donner une valeur approchée de \(\alpha\).
d) Dresser un tableau de variation de la fonction \(f\) sur \([-\alpha, \alpha]\). Préciser le point maximum.
e) Tracer dans un repère orthonormé \((O, u, v)\) la courbe représentative \(C\) de \(f\).

Partie C (4 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction \(f\) et le réel \(\alpha\) sont définis dans la partie B. On admettra que la courbe \(C\) admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur \(l\) de la courbe représentative de \(f\) sur l’intervalle \(\left[0\,;\,\alpha\right]\). On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : \(l = \displaystyle\int^{\alpha}_{0} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx\).
   Montrer que pour tout réel \(x\), on a : \(1 + (f'(x))^2 = \dfrac{1}{4}(e^x + e^{-x})^2\).
2. En déduire la valeur de l’intégrale \(l\) en fonction de \(\alpha\).
3. Justifier que la longueur de l’arc \(EF\), en mètre, est égale à : \(e^{\alpha} – e^{-\alpha}\).
   [Le sujet imprimé porte « \(e^{\alpha} + e^{-\alpha}\) », coquille de signe manifeste : l’arc \(EF\) a pour longueur \(2l\), et le calcul de \(l\) (question 2) conduit à \(2l = e^{\alpha} – e^{-\alpha}\).]
4. Déterminer en fonction de \(\alpha\) la quantité totale de bâche nécessaire pour recouvrir la serre représentée sur la figure suivante.

   Figure — serre en forme de tunnel, vue en perspective : quatre arcs identiques et régulièrement espacés, la façade sud au premier plan (base \([FE]\) au sol, \(F\) à gauche, \(E\) à droite), deux arceaux intermédiaires et la façade nord au fond. Sur la façade sud, un rectangle hachuré \(ABCD\) centré entre \(F\) et \(E\) (\(A\) au-dessus de \(D\), \(B\) au-dessus de \(C\) ; \(D\) et \(C\) au sol, \(D\) du côté de \(F\)) ; l’horizontale qui porte \([AB]\) est prolongée de part et d’autre jusqu’à l’arc de la façade. Une double flèche cotée « 1m50 », parallèle au bord au sol issu de \(E\), va de la façade sud à l’arceau suivant. Voir la page 2 du sujet original, dans le PDF.

   On donne la distance du segment \(EF = 2\alpha\), la longueur de l’arc \(EF = 2l\), les ordonnées des points \(A\) et \(B\) sont égales à 2 et les abscisses des points \(C\) et \(D\) sont 1.

Énoncé — session 2023 transcrit depuis le sujet scanné (1 page, ci-dessous)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2023-2024 · Session des 27 et 28 septembre 2023 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice 01 (6 points)

Dans le corps \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, on considère le polynôme \(P\) défini par : \(P(z) = z^3 – z^2 + 2\).

1. Donner une racine évidente de \(P\). Justifier la réponse. On notera \(z_1\) cette racine.
2. On admet que \(P(z)\) peut s’écrire sous la forme \(P(z) = (z + 1)(az^2 + bz + c)\).
   Calculer \(a\), \(b\) et \(c\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\). On notera \(z_2\) la racine dont la partie imaginaire est positive et \(z_3\) la racine dont la partie imaginaire est négative.
4. Exprimer \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) sous leur forme géométrique.
5. On considère les points \(A(z_1)\), \(B(z_2)\) et \(C(z_3)\). Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Justifier la réponse.

Exercice 02 (8 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x + x\ln(x^2 + 1)\).

1. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2. Calculer l’expression de la dérivée \(f’\) de \(f\).
3. Démontrer que \(\ln(x^2 + 1) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). En déduire le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Dresser le tableau de variation de \(f\).
5. Démontrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha \in \left]-1\,;\,0\right[\).
6. Démontrer que la fonction \(F\) définie par : \(F(x) = e^x – \dfrac{(x^2 + 1)[1 – \ln(x^2 + 1)]}{2}\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
7. Calculer la valeur exacte de l’intégrale : \(I = \displaystyle\int^{1}_{0} f(x)\,dx\).

Exercice 03 (6 points)

Le 1ᵉʳ janvier 2023, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10 % de l’effectif de l’entreprise au 1ᵉʳ janvier partira à la retraite au cours de l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entier naturel \(n\), on appelle \(U_n\) le nombre d’employés de l’entreprise le 1ᵉʳ janvier de l’année \((2023 + n)\).

1. Déterminer les trois premiers termes de la suite. Cette suite est-elle géométrique ? Arithmétique ? Justifier votre réponse.
2. On admet que la suite \((U_n)\) vérifie la relation de récurrence \(U_{n+1} = 0{,}9U_n + 100\) avec \(U_0 = 1500\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(V_n = U_n – 1000\) [le scan porte « \(U_n – 100\) » ; coquille manifeste : seule la valeur 1000 rend la suite \((V_n)\) géométrique]. Démontrer alors que la suite \((V_n)\) est géométrique. Préciser son premier terme \(V_0\) et sa raison.
3. En déduire l’expression de \((V_n)\) puis celle de \((U_n)\) en fonction de \(n\).
4. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(U_{n+1} – U_n = -50 \times 0{,}9^n\).
   En déduire alors le sens de variation de la suite \((U_n)\).
5. Au 1ᵉʳ janvier 2023, l’entreprise compte un sureffectif de 300 employés. À partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?

Énoncé — session 2024 transcrit depuis le sujet scanné (1 page, ci-dessous)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2024-2025 · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés. Les trois exercices proposés sont obligatoires.

Exercice 1

Un industriel emploie 20 ouvriers et 8 femmes. Le prix de la journée d’une femme est les \(\dfrac{2}{5}\) de celui donné à l’ouvrier. Au bout de 6 jours, il donne 1 044 000 Ar pour les payer.
Si on note par \(H\) le salaire journalier d’un ouvrier et par \(F\) le salaire journalier d’une femme.

1. Si on va déterminer \(H\) et \(F\). Écrire le système d’équations correspondant.
2. Déterminer alors \(H\) et \(F\).

Exercice 2

1. On considère la suite géométrique de réels dont le premier terme est 1 et la raison est \(q\) (\(q \neq 1\)).
   Calculer \(1 + q + q^2 + \ldots + q^n\), \(n \in \mathbb{N}^*\) (le résultat ainsi trouvé est encore valable si \(q\) est un nombre complexe différent de 1).
2. \(z\) est un nombre complexe de module 1 et d’argument \(\theta\), donner le module et l’argument de \(z^n\), \(n \in \mathbb{N}^*\).
3. Montrer que \(1 – \cos\theta = 2\sin^2\dfrac{\theta}{2}\) ; \(1 + \cos\theta = 2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\) et \(\sin\theta = 2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}\).
4. Donner une forme simplifiée de :
   \(Z = 1 + z + z^2 + \ldots + z^{n-1} + z^n\) en fonction de \(n\) et \(\dfrac{\theta}{2}\).
5. Donner le module et l’argument de \(Z\) en fonction de \(n\) et \(\dfrac{\theta}{2}\) si \(\theta \in \left]0\,;\,\dfrac{2\pi}{n + 1}\right[\) pour l’entier non nul considéré.
   Indication : utiliser la forme trigonométrique de \(z\).

Exercice 3

Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par : \(f(x) = x|\ln x|\) si \(x > 0\) ; \(f(x) = 0\) si \(x = 0\).

1. Écrire sans valeur absolue \(f\).
2. Étudier la continuité et dérivabilité de \(f\) pour \(x = 0\) et \(x = 1\).
3. En déduire la position des tangentes à la courbe représentative \(C_f\) de \(f\) en \(x = 0\) et \(x = 1\) si cette courbe est représentée dans un repère orthonormé \((O, i, j)\).
4. Dresser le tableau de variation de \(f\).
5. Étudier les branches infinies.
6. Représenter graphiquement la courbe de \(f\). On prend \(\|\,i\,\| = 2\) cm et \(\|\,j\,\| = 2\) cm.

Exercice 4

1. Calculer l’intégrale pour \(x > 0\) :
   \(\displaystyle\int^{x}_{1} \left(-\dfrac{1}{t^2} – \dfrac{1}{t}\right)dt\).
2. Étudier et représenter graphiquement dans un repère orthonormé \((O, i, j)\) la fonction :
   (Prenez \(\|\,i\,\| = 2\) cm et \(\|\,j\,\| = 2\) cm)
   \(f : x \to \displaystyle\int^{x}_{1} \left(-\dfrac{1}{t^2} – \dfrac{1}{t}\right)dt\), pour \(x > 0\).

Énoncé — session 2025 transcrit depuis le sujet scanné (1 page, ci-dessous)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2025-2026 · Options : Toutes · Durée : 3 heures

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O, i, j)\). Pour tout nombre complexe \(z\), on pose : \(P(z)\) \(= z^3 – (7 + 3i)z^2 + (12 + 15i)z – 4 – 18i\).

1. Calculer les racines carrées \(\alpha\) et \(\beta\) du nombre complexe \(8 – 6i\), puis calculer \(P(2)\).
2. Déterminer les nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que \(\forall z \in \mathbb{C} : P(z) = (z – 2)(z^2 + az + b)\).
   En déduire les solutions de l’équation \(P(z) = 0\).
   [Le sujet imprimé porte « les réels \(a\) et \(b\) », coquille manifeste : \(P\) n’étant pas à coefficients réels, \(a\) et \(b\) ne peuvent pas être tous deux réels.]
3. On considère les points \(A\), \(B\) et \(D\) d’affixes les solutions de l’équation \(P(z) = 0\) tels que \(\operatorname{Im}(z_A) < \operatorname{Im}(z_B) < \operatorname{Im}(z_D)\). Placer les points \(A\), \(B\), \(D\) et déterminer la nature du triangle \(ABD\).
4. Soit le point \(E\) symétrique du point \(A\) par rapport à \((BD)\).
   Préciser l’affixe de \(E\) et déterminer le barycentre du système \(\{(A\,;\,9), (B\,;\,-6), (E\,;\,2)\}\).
5. Soit \(S^0 = \mathrm{id}\) (application identique) et \(\forall n \in \mathbb{N} : S^{n+1} = S \circ S^n\) où \(S\) est la similitude directe qui transforme \(A\) en \(B\) et \(B\) en \(D\). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(S\), puis ceux de \(S^4\).

Exercice 2

1. Un chien de salon possède 3 paires de chaussettes : une rose marquée respectivement RD (rose droite) et RG (rose gauche), une bleue marquée respectivement BD (bleue droite) et BG (bleue gauche) et une jaune marquée respectivement JD (jaune droite) et JG (jaune gauche).
   a) Donner le nombre \(N_{1a}\) de manières de le chausser.
   b) Donner le nombre \(N_{1b}\) de manières de le chausser, en prenant une chaussette droite pour chaque patte droite et une chaussette gauche pour chaque patte gauche.
2. On choisit 4 calculatrices parmi 25 dont 5 ont un défaut. Donner le nombre \(N_2\) de façons d’avoir toutes les 4 sans défaut.
3. Pour se mettre en tenue réglementaire, un ouvrier possède : 6 casques (3 jaunes et 3 bleus) ; 7 vestes (4 jaunes et 3 bleues) et 8 pantalons (3 jaunes et 5 bleus).
   a) Donner le nombre \(N_{3a}\) de façons possibles qu’il a de s’habiller.
   b) L’ouvrier refuse de s’habiller tout en bleu. Donner le nombre \(N_{3b}\) de tenues qu’il pourra mettre.
4. On veut former un sigle de 4 lettres avec 4 lettres extraites du mot BRAVOPOLY.
   a) Donner le nombre \(N_{4a}\) de sigles que l’on peut former si les répétitions sont exclues.
   b) Donner le nombre \(N_{4b}\) de sigles que l’on peut former s’il n’y a aucune restriction.
5. Un restaurant présente une carte comprenant 47 plats : 17 entrées, 20 plats de résistance et 10 desserts et ces plats sont numérotés de 1 à 47.
   a) Donner le nombre \(N_{5a}\) de possibilités de commandes si on prend au hasard 3 numéros entre 1 et 47.
   b) Donner le nombre \(N_{5b}\) de menus différents proposés par ce restaurant.

Exercice 3

On considère la suite réelle \((u_n)\) définie par \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et telle que \(\forall n \in \mathbb{N} : u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}\).
On admet que \(\forall n \in \mathbb{N}^* : u_n < 1\).
[Le sujet imprimé porte « \(\forall n \in \mathbb{N}^*\) » devant la relation de récurrence, coquille manifeste : la relation doit valoir dès \(n = 0\), sinon \(u_1\) ne serait pas défini.]

1. Démontrer, par récurrence, que \(\forall n \in \mathbb{N} : u_n > 0\).
2. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
3. Soit \((v_n)\) la suite définie \(\forall n \in \mathbb{N}\) par : \(v_n = \dfrac{u_n}{1 – u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.
4. Exprimer \(\forall n \in \mathbb{N} : v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
5. Calculer \(l = \lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).

Exercice 4

Soit la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^*_+\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[ f(x)=\begin{cases} f_1(x)=x-2+e^{-x+1} \\ \text{pour } x\ge 1\\ f_2(x)=-x+1+\operatorname{Log}x \\ \text{pour } 0<x<1 \end{cases} \]

1. Montrer que \(f\) est continue et dérivable en tout point de \(\mathbb{R}^*_+\) différent de 1.
   [Le sujet imprimé porte « en tout point de \(\mathbb{R}^*\) », coquille manifeste : \(f\) n’est définie que sur \(\mathbb{R}^*_+\).]
2. \(f\) est-elle continue en \(x_0 = 1\) ? \(f\) est-elle dérivable en \(x_0 = 1\) ?
3. Dresser le tableau de variations complet de \(f\) et tracer la courbe \((C)\) de \(f\) dans un plan rapporté à un repère orthonormé \((O, i, j)\).
4. Préciser les tangentes éventuelles en des points particuliers de \((C)\) et l’allure de la branche infinie de \((C)\).
5. Soit \(\lambda\) un réel supérieur à 2. Calculer l’aire \(A(\lambda)\) du domaine des points \(M(x, y)\) vérifiant : \[ \begin{cases} 1\le x\le\lambda\\ 0\le y\\ x-2\le y\le f(x) \end{cases} \]
6. Calculer \(\alpha = \lim\limits_{\lambda \to +\infty} A(\lambda)\).