Sujets d’Électricité — Concours d’entrée ESPA Polytechnique (1997–2022)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESPA — ÉCOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

Sujets d’Électricité

Sessions 1997 à 2022 — 8 sujets, énoncés transcrits et corrigés

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Énoncé — session 1997 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1997-1998 · Session du jeudi 02 octobre 1997 · Options : T.E.M. · Durée : deux heures (02 heures)

Exercice n° 1

Deux lampes à incandescence ont les caractéristiques suivantes : \(L_1\) : 110 V / 60 W et \(L_2\) : 110 V / 40 W.

1. Calculer la résistance, supposée constante, de chacune des lampes.
2. On branche les deux lampes en parallèle. Une ligne de 10 mètres constituée par du fil de cuivre de 2 mm de diamètre relie les deux lampes à une source de tension \(u=110\ \text{V}\). La résistivité du cuivre est \(\rho=2\cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\). Calculer l’intensité de courant débité par la source.
3. Les deux lampes sont maintenant montées en série et reliées directement à une source de tension \(U’=220\ \text{V}\). Quels sont les inconvénients de ce montage ?

Exercice n° 2

Un fil métallique de résistance a la forme d’une circonférence de 1 m de rayon. Deux points diamétralement opposés \(C\) et \(D\) sont réunis par un fil rectiligne ayant également une résistance de \(1\ \Omega/\text{m}\).

Un courant \(I=10\ \text{A}\) arrive au point \(A\) du cercle et sort par le point \(B\) diamétralement opposé. On désignera par \(\alpha\) l’angle des diamètres \(AB\) et \(CD\) (voir figure).

Figure — le cercle porte quatre points : \(A\) en haut à gauche, \(D\) en haut à droite, \(C\) en bas à gauche et \(B\) en bas à droite ; le courant \(I\) arrive en \(A\) et ressort en \(B\) (flèches sur la droite \(AB\)) ; le fil rectiligne \(CD\) joint \(C\) à \(D\) en passant par le centre ; \(\alpha\) est l’angle, au centre, entre les diamètres \(AB\) et \(CD\), marqué par un arc entre les rayons qui mènent à \(A\) et à \(C\) : voir le sujet original ci-dessous.

Calculer les intensités dans les différentes branches en fonction de \(I\) et \(\alpha\). Applications numériques : \(\alpha=0\) ; \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\).

Exercice n° 3

On monte en série les trois éléments suivants : une résistance \(R\) ; une bobine de résistance \(r\) et de coefficient de self \(L\) ; un condensateur de capacité \(C\).

La pulsation du courant est \(\omega\) et la tension aux bornes du circuit \(U\) volts efficaces ; on note alors une intensité efficace \(I_1\) et un déphasage arrière \(\varphi_1\) du courant par rapport à la tension.

1. Donner l’expression de l’impédance réelle du circuit.
2. Écrire les expressions instantanées de la tension \(u_1\) et du courant \(i_1\).
3. On enlève la bobine ; l’intensité \(I_2\) reste égale à \(I_1\) mais se trouve être en quadrature avance sur \(I_1\). On demande d’exprimer les réactances de la bobine et du condensateur en fonction de \(R\) et \(r\).
4. On remet la bobine à son emplacement initial et on donne à la pulsation une valeur telle que \(\omega=\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\). Donner l’expression instantanée du courant et interpréter le résultat obtenu.

Énoncé — session 1998 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1998-1999 · Option : TEM · Durée : 1 heure

Exercice 1

Un circuit électrique comprend un générateur de force électromotrice \(E = 20\) V, de résistance \(r = 1\) Ω, un moteur de résistance \(r’= 2\) Ω et une résistance \(R = 7\) Ω placés en série.

1. Quelle est l’intensité du courant dans le circuit lorsque le moteur ne tourne pas ?
2. Calculer l’énergie thermique dissipée par effet Joule dans le moteur bloqué au bout de 10 mn.
3. On laisse le moteur tourner. Quand la vitesse de régime est atteinte, l’intensité du courant qui le traverse est 1 A. a) Calculer la force électromotrice du moteur. b) Calculer la puissance utile. c) Calculer la tension entre ses bornes.

Exercice 2

Une lampe à incandescence porte les indications suivantes : 220 V – 60 W. Ces valeurs présentent la tension que l’on doit appliquer à la lampe pour un éclairage normal (tension nominale) et la puissance qu’absorbe la lampe dans ce cas (puissance nominale).

1. Calculer la résistance \(R_L\) du filament de la lampe à chaud à l’aide des valeurs nominales précédentes.
2. On désire mesurer la résistance du filament à froid par la méthode du pont à fil (montage : \(D\) relié à \(A\) par \(R_L\) et à \(B\) par \(R_0\), galvanomètre \(G\) entre \(D\) et le curseur \(C\) sur le fil \(AB\), générateur \(E\), \(r\) entre \(A\) et \(B\)). \(E\) : générateur de tension \(E = 2\) V de résistance interne négligeable ; \(R_0\) : résistance étalon \(= 20\) Ω ; segment \(AB\) est un fil calibré de résistance \(R = 2\) Ω ; longueur \(AB = 1\) m. En déplaçant le curseur \(C\), on constate que le courant \(i\) du galvanomètre \(G\) s’annule pour \(AC = 80\) cm. Calculer dans ces conditions : a) la résistance \(R’_L\) du filament ; b) l’intensité du courant dans le fil \(AB\) ; c) l’intensité du courant dans le filament \(R’_L\) et dans \(R_0\).
3. Calculer la puissance dissipée par la lampe dans ces conditions.

Schéma du pont à fil — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

Une bobine soumise à une tension continue de 3,9 V est traversée par un courant de 30 mA. Soumise à une tension sinusoïdale de valeur efficace 5,4 V et de fréquence 50 Hz, l’intensité efficace est de 30 mA.

1. Calculer la résistance \(r\) et l’inductance \(L\) de cette bobine.
2. a) Donner l’expression de l’intensité instantanée, la tension étant prise comme référence. b) À la même tension, quelle serait l’intensité efficace du courant pour une fréquence \(f = 10\) kHz ?
3. Cette bobine est ensuite montée avec une résistance \(R\) inconnue et un condensateur de capacité inconnue. On applique une tension sinusoïdale \(u\) de valeur efficace 6 V et de fréquence 50 Hz à ce dipôle. Un voltmètre indique les tensions efficaces suivantes : \(U_1 = 4{,}70\) V pour la bobine ; \(U_2 = 8{,}00\) V pour le condensateur ; \(U_3 = 0{,}26\) V pour la résistance. a) Calculer la capacité du condensateur et la résistance \(R\). Le dipôle est-il inductif ou capacitif ? b) Donner l’expression de l’intensité instantanée, la tension \(u\) appliquée étant prise comme référence.

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1999-2000 · Option : TEM · Durée : 1 heure

Exercice n° 1

Soit un circuit constitué par l’association en série d’une résistance \(R\), d’une bobine de résistance \(r\) et d’inductance \(L\) et d’un condensateur de capacité \(C = 2\) µF. Il est alimenté par un générateur basses fréquences fournissant une tension sinusoïdale de fréquence \(f\) et d’amplitude \(V_m\). Un ampèremètre est inséré dans le circuit pour mesurer l’intensité du courant.

1. a) Faire un schéma de montage. b) À l’aide d’un oscillographe on a obtenu les sinusoïdes de tension \(S_1\) et \(S_2\) dont les variations en fonction du temps ont été relevées. Le temps \(t = 0\) (milliseconde) est choisi arbitrairement.

   T (ms)	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5
   V (volts) (S1)	6	4,59	1,05	−2,98	−5,63	−5,65	−3,02	1,01	4,57	6
   V (volts) (S2)	–	0,268	0,35	0,27	0,06	−0,174	−0,328	−0,32	−1,76	0,06

   Quelle est la courbe correspondant à \(v(t)\) – tension aux bornes du générateur – et celle correspondant à \(v_r(t)\) – aux bornes de la résistance \(R\) ? Justifiez votre réponse. b) Donner une valeur approximative de la fréquence des oscillations. c) Évaluer l’amplitude de \(v(t)\) ainsi que celle de \(v_r(t)\). d) Donner le déphasage entre \(v(t)\) et \(v_r(t)\). Indiquer si c’est un retard ou une avance.

2. L’ampèremètre indique une valeur de 25,5 mA. a) Que signifie cette valeur ? b) En déduire la valeur de \(R\). c) Déterminer l’impédance du circuit. d) En déduire la résistance \(r\) de la bobine, puis son inductance \(L\).

Exercice 2

Pour le circuit de la figure (générateur de tension 6 V entre A et D, \(R_1\) entre A et C par le haut, \(R_2\) de A à B, générateur de courant 2 A de B vers D, \(R_3\) de B à C, interrupteur K entre C et D, \(R_4\) entre C et D) :

1. En utilisant le théorème de superposition : a) calculer le courant dans la branche CD (directe) lorsque K est fermé ; b) calculer \(V_{CD}\) lorsque K est ouvert.
2. Calculer les intensités des courants dans les branches et les différentes tensions aux nœuds pour K ouvert.

On donne : \(R_1 = 2\ \Omega\) ; \(R_2 = 4\ \Omega\) ; \(R_3 = 2\ \Omega\) ; \(R_4 = 4\ \Omega\) ; générateur de tension : 6 V ; générateur de courant 2 A.

Rappel : théorème de superposition : lorsque dans un réseau de conducteurs on superpose plusieurs systèmes de f.e.m. et f.c.e.m., l’intensité du courant dans chaque branche est égale à la somme des intensités dues à chacun des systèmes agissant seul.

Schéma du circuit — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

On se propose d’utiliser un demi-anneau (½ cercle) d’un conducteur comme élément de chauffage d’un système (par exemple carburateur d’un moteur pendant l’hiver). Les caractéristiques de l’anneau sont : rayon interne \(R_1\) ; rayon externe \(R_2\) ; épaisseur \(e\) ; résistivité \(\rho\) ; surface latérale \(S\) ; masse \(m\) ; chaleur spécifique \(c\).

1. Calculer la résistance \(R\) du demi-anneau en fonction de ses caractéristiques.
2. Déterminer la valeur optimale de \(R\) pour laquelle la puissance dégagée par effet Joule (dans l’anneau) est maximale, lorsque l’anneau est branché à un générateur de tension \(V\) et de résistance interne \(r\). Donner des recommandations quant au choix du matériau à utiliser.
3. Donner l’expression de cette puissance maximale.
4. Une partie de l’énergie \(\mathrm{d}Q\) reçue par le conducteur (isolé) est perdue pendant le temps \(\mathrm{d}t\) suivant l’équation : \(\mathrm{d}Q = kS(T – T_a)\,\mathrm{d}t\), où \(k\) est une constante de proportionnalité et \(T_a\) la température ambiante du milieu où le conducteur est placé. Déterminer \(T = f(t)\) et montrer que \(T\) tend vers une température d’équilibre. Faire des remarques pertinentes. Indication : l’énergie nécessaire pour élever de \(\mathrm{d}T\) la température d’une masse \(m\) est \(mc\cdot\mathrm{d}T\).

Énoncé — session 2005 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année d’ingéniorat · Année universitaire 2005-2006 · Session des 08-09 novembre 2005 · Options : TEM · Durée : 02 heures

Exercice 1 (3 points)

Soit le schéma représenté sur la figure où les courants \(I_1\) et \(I_2\) sont donnés. Trouver l’expression du courant \(I_3\).

Figure — réseau de conducteurs formé d’un rectangle et de ses deux diagonales, qui se coupent en un nœud central ; un segment supplémentaire relie un point du côté inférieur à un point du côté droit et coupe en un second nœud la diagonale qui descend vers le coin inférieur droit. Le courant \(I_1\) est fléché vers la droite sur la partie gauche du côté inférieur, \(I_2\) sur cette diagonale, entre le nœud central et le second nœud (vers le coin inférieur droit), et \(I_3\) vers le haut sur la partie supérieure du côté droit. Voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 2 (5 points)

On donne la portion de circuit électrique ci-dessous où \(E_1=10\ \text{V}\) ; \(E_2=25\ \text{V}\) ; \(R_1=2\ \text{k}\Omega\) ; \(R_2=8\ \text{k}\Omega\) ; \(R_3=12\ \text{k}\Omega\). Les potentiels des points \(A\), \(B\) et \(C\) ont pour valeurs : \(V_A=-5\ \text{V}\) ; \(V_B=16\ \text{V}\) ; \(V_C=28\ \text{V}\).

1. Calculer la valeur du potentiel au point \(O\).
2. Déterminer les intensités de courant \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).

Schéma du circuit — trois branches en étoile issues du nœud \(O\) : branche \(OA\), avec, de \(O\) vers \(A\), la résistance \(R_1\) puis le générateur \(E_1\) (trait long du côté de \(R_1\), trait court du côté de \(A\)) ; branche \(OB\), avec, de \(O\) vers \(B\), le générateur \(E_2\) (trait court du côté de \(O\), trait long du côté de \(R_2\)) puis la résistance \(R_2\) ; branche \(OC\), avec la résistance \(R_3\). Les courants \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\) sont fléchés au-delà des points \(A\), \(B\) et \(C\), orientés vers l’extérieur de l’étoile. Voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 3 (6 points)

On considère une bobine d’inductance \(L\) et de résistance \(R\). On applique aux bornes de cette bobine une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace \(U=78\ \text{V}\) et de pulsation \(\omega\). La résistance \(R\) est telle que \(R=2{,}4\,L\omega\) et on note alors une intensité efficace \(I=2\ \text{A}\).

Calculer :

1. la réactance de la bobine ;
2. la valeur de \(R\) ;
3. l’angle de déphasage de \(i\) par rapport à \(u\) ;
4. les expressions de \(i\) et de \(u\).

Exercice 4 (6 points)

Soit un condensateur de capacité \(C=31{,}8\ \mu\text{F}\) monté en série avec une résistance \(R=100\ \Omega\). L’ensemble est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale. L’amplitude du courant dans le circuit a pour valeur \(I_m=1{,}414\ \text{A}\) sous la fréquence \(f=50\ \text{Hz}\).

On demande :

1. les différences de potentiel instantanées aux bornes de \(R\) et de \(C\) ;
2. l’expression instantanée de la tension d’alimentation.

Énoncé — session 2008 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 26-27 novembre 2008 · Option : TEM · Durée : 2 heures

Exercice 1 (8 points)

On considère un circuit électrique composé de résistances \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\) et une source de tension continue \(U = 12\) volts (fig. 1 : \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle entre \(A\) et \(B\), \(R_3\) et \(R_4\) en parallèle entre \(B\) et \(C\), source \(U\) entre \(C\) et \(A\)). \(R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 100\) Ω.

1. Calculer les résistances équivalentes \(R_{equ1}\), \(R_{equ2}\), \(R_{equ3}\) respectivement entre les bornes (\(A\) – \(B\)), (\(B\) – \(C\)) et (\(A\) – \(C\)).
2. Calculer l’intensité de courant \(I\) issu de la source.
3. Calculer les intensités de courant traversant \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) et \(R_4\).
4. On remplace le groupement \(R_1\), \(R_2\) par une résistance variable \(R_h\) de valeur maximale égale à \(R_{equ1}\) (fig. 2 : \(R_3\) en série avec \(K_1\) et \(R_4\) en série avec \(K_2\), en parallèle entre \(B\) et \(C\) ; \(K_1\) et \(K_2\) sont des interrupteurs).
   4-a. L’interrupteur \(K_1\) est fermé et \(K_2\) ouvert. Calculer les tensions \(U_{AB}\) et \(U_{BC}\). Donner l’expression de l’intensité de courant \(I\). On fait varier \(R_h\) de 0 à sa valeur maximale par pas de 5 Ω. Établir le tableau des valeurs de \(I = f(R_h)\) et tracer la courbe. Donner ensuite l’expression mathématique de la fonction \(I = f(R_h)\).
   4-b. L’interrupteur \(K_1\) est ouvert et \(K_2\) ouvert. Calculer les tensions \(U_{AB}\) et \(U_{BC}\). Donner l’expression du courant \(I\).
   4-c. On ferme maintenant \(K_2\) quel que soit \(K_1\). Comment se comportent les charges \(R_3\) et \(R_4\) ? Calculer les tensions \(U_{AB}\) et \(U_{BC}\). Donner l’expression du courant \(I\). Encadrer la valeur du courant si \(R_h\) a une précision de 10 %. Quelle puissance minimale doit avoir \(R_h\) pour supporter le courant calculé ?

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 2 (6 points)

Un circuit électrique comprend en série (fig. 3) : une résistance de valeur \(R = 50\) Ω ; une bobine d’inductance \(L = 0{,}5\) H et de résistance négligeable ; un condensateur de capacité \(C = 10\) µF. On applique aux bornes \(A\) et \(B\) du circuit une tension alternative sinusoïdale \(u(t)\) de valeur efficace 2 volts et de fréquence \(F = 100\) Hz.

1. Calculer le courant efficace \(I\) traversant le circuit.
2. Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés et en radians puis calculer la puissance moyenne consommée.
3. Calculer la pulsation et la fréquence à la résonance.
4. Calculer la puissance consommée à la résonance.

Exercice 3 (6 points)

On utilise le montage suivant pour mesurer l’inductance d’une bobine (fig. 4 : générateur de signaux, bobine \(L\) entre le point de mesure \(A\) et la masse, résistance \(R = 600\) Ω entre la masse et le point de mesure \(B\)).

1. La résistance de la bobine est négligeable. Donner les expressions des tensions \(U_L\) et \(U_R\) en fonction de \(L\), \(R\), \(i\) et \(\dfrac{di}{dt}\).
2. Montrer que \(L = \dfrac{-R \cdot U_L}{\dfrac{dU_R}{dt}}\).
3. On procède à la mesure des tensions pendant l’intervalle de temps où \(t \in [0\,;\,2\ \text{ms}]\). La tension aux bornes de la résistance est une fonction linéaire d’équation : \(U_R = 3 \cdot 10^3 \cdot t\) et celle aux bornes de l’inductance est une fonction constante : \(U_L = -0{,}8\) volt. Déterminer la valeur de \(L\).

Figures 3 et 4 — voir le scan ci-dessous.

Recueil complet — les 74 sujets du concours en un seul document : Recueil 74 sujets ESPA (PDF complet) · corrigés des sujets ESPA.

Les autres épreuves du concours :

• Sujets de Chimie
• Sujets de Culture générale
• Sujets de Français
• Sujets de Mathématiques
• Sujets de Physique
• Sujets de Résistance des matériaux
• Sujets de Test psychotechnique

Énoncé — session 2009 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année ingéniorat · Année universitaire 2009-2010 · Session du 25-26 novembre 2009 · Option : TEM · Durée : 02 heures

Exercice 1 (7 points)

Soit le circuit représenté sur la figure. On applique entre \(A\) et \(D\) une différence de potentiel \(U=12\ \text{V}\).

Figure — entre \(A\) et \(B\), un conducteur ohmique de 7 Ω parcouru par l’intensité \(I\) ; de \(B\) partent trois branches qui se rejoignent en un même nœud relié à \(D\) : le conducteur de 12 Ω (intensité \(I_1\)) ; les conducteurs de 3 Ω (\(I_3\)) et de 6 Ω (\(I_4\)) en dérivation entre \(B\) et \(C\), suivis du conducteur de 10 Ω (\(I_2\)) entre \(C\) et le nœud ; un fil de \(B\) à \(E\), puis les conducteurs de 9 Ω (\(I_5\)) et de 18 Ω (\(I_6\)) en dérivation entre \(E\) et \(F\) : voir le sujet original ci-dessous.

1. Calculer les intensités de courant \(I\), \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\), \(I_5\) et \(I_6\).
2. Calculer la puissance totale consommée dans le circuit.

Exercice 2 (5 points)

Une bobine est parcourue par un courant d’intensité \(I=0{,}8\ \text{A}\) lorsqu’on applique entre ses bornes une tension continue de \(12\ \text{V}\).

Alimentée sous une tension sinusoïdale de valeur efficace \(U=80\ \text{V}\) et de fréquence \(f=50\ \text{Hz}\), cette bobine est traversée par un courant d’intensité efficace \(I’=3\ \text{A}\).

1. Calculer la résistance \(R\) et l’inductance \(L\) de cette bobine.
2. Déterminer la valeur du facteur de puissance.

Exercice 3 (8 points)

Une tension sinusoïdale de fréquence \(f=60\ \text{Hz}\) est établie entre les extrémités \(M\) et \(N\) d’une portion de circuit comprenant une bobine de résistance \(R\) et d’inductance \(L\) en série avec un condensateur de capacité \(C\).

Schéma — de \(M\) à \(N\), en série : la bobine \((R, L)\) entre \(M\) et \(P\), puis le condensateur \(C\) entre \(P\) et \(N\) : voir le sujet original ci-dessous.

L’intensité efficace étant \(I=0{,}2\ \text{A}\), la mesure des tensions efficaces fournit les résultats suivants : \(U_{MP}=12\ \text{V}\), \(U_{PN}=35\ \text{V}\), \(U_{MN}=30\ \text{V}\).

1. Déterminer la capacité \(C\) du condensateur, ainsi que la résistance \(R\) et l’inductance \(L\) de la bobine.
2. Le condensateur est de capacité réglable. Pour quelle valeur \(C’\) l’intensité est-elle maximale ?

Énoncé — session 2022 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session des 21-22 septembre 2022 (année universitaire 2022-2023) — Cycle ingénieur · Épreuve d’électricité · Durée : 2 heures

Documents interdits.

Sujet 1 (6 points)

On considère deux circuits électriques représentés par les figures 1 et 2 suivantes :

Figure 1 — entre les bornes \(A\) et \(B\), les résistances \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\) se suivent (nœud \(C\) entre \(R_1\) et \(R_2\), nœud \(D\) entre \(R_2\) et \(R_3\)) ; un fil relie la borne \(A\) au nœud \(D\) en passant au-dessus de \(R_1\) et \(R_2\), et un autre fil relie le nœud \(C\) à la borne \(B\) en passant au-dessous de \(R_2\) et \(R_3\). Figure 2 — réseau symétrique : \(A\) est relié par deux résistances \(r\) à deux nœuds reliés entre eux par une résistance \(r_2\) ; de chacun de ces nœuds part une résistance \(r_1\) vers deux autres nœuds, eux aussi reliés entre eux par une résistance \(r_2\) et reliés chacun à \(B\) par une résistance \(r\). Voir le sujet original ci-dessous.

On demande de déterminer la résistance équivalente de chaque circuit avec \(R_1=3\ \Omega\), \(R_2=6\ \Omega\), \(R_3=12\ \Omega\) ; et \(r_1=r_2=12\ \Omega\), \(r=4\ \Omega\).

Sujet 2 (7 points)

On considère le montage électrique représenté sur la figure 3. Le condensateur est déchargé à l’instant \(t=0\) où on ferme l’interrupteur \(K\) ; la résistance du générateur de tension est négligeable.

Figure 3 — le générateur de tension \(E\) débite le courant \(i\) ; l’interrupteur \(K\), placé sur le fil supérieur, alimente deux branches en parallèle : l’une, parcourue par \(i_1\), comporte la résistance \(R_1\) en série avec la bobine d’inductance \(L\) ; l’autre, parcourue par \(i_2\), comporte la résistance \(R_2\) en série avec le condensateur de capacité \(C\). Voir le sujet original ci-dessous.

1. Déterminer l’intensité du courant \(i_1(t)\).
2. Déterminer l’intensité du courant \(i_2(t)\).
3. Déterminer l’instant \(t_0\) où le courant \(i(t)\) débité par le générateur de tension est maximum, et calculer la valeur \(i_{\max}\).

Application numérique : \(L=1\ \text{H}\) ; \(C=3\ \mu\text{F}\) ; \(R_1=1\ \Omega\) ; \(R_2=10^{6}\ \Omega\) ; et \(E=4\ \text{V}\).

Sujet 3 (7 points)

On considère un circuit \(R\), \(L\), \(C\) alimenté par une source alternative sinusoïdale \(v(t)\) de fréquence 60 Hz, représenté par la figure 4, avec \(R=100\ \Omega\) ; \(L=0{,}3\ \text{H}\) ; \(C=50\ \mu\text{F}\).

Figure 4 — la source \(v(t)\) débite le courant \(i_L\) dans la bobine \(L\), placée en série sur le fil supérieur ; la bobine alimente ensuite deux branches en parallèle : la résistance \(R\), parcourue par \(i_R\), et le condensateur \(C\), parcouru par \(i_C\). Voir le sujet original ci-dessous.

1. Déterminer les impédances de \(L\) et de \(C\).
2. Si on donne les valeurs instantanées suivantes :
   \[ i_R(t)=1{,}375\sqrt{2}\,\sin(\omega t-105{,}02^\circ) \] \[ i_C(t)=2{,}592\sqrt{2}\,\sin(\omega t-15{,}02^\circ) \] \[ i_L(t)=2{,}934\sqrt{2}\,\sin(\omega t-42{,}96^\circ) \] en déduire les valeurs instantanées des tensions aux bornes de R, L et C.
3. Tracer les diagrammes vectoriels \(\vec{U}_R\) ; \(\vec{U}_C\) ; \(\vec{U}_L\) et en déduire \(v(t)\).