Sujets de Résistance des matériaux — Concours d’entrée ESPA Polytechnique (1996–2005)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESPA — ÉCOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

Sujets de Résistance des matériaux

Sessions 1996 à 2005 — 6 sujets, énoncés transcrits

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Énoncé — session 1996 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1996-1997 · Option : Génie Civil, STEM, Industrielle · Durée : 2 heures

[Le haut de la page porte la fin d’un exercice d’une autre feuille : « b) Établir l’équation de la déformée de la barre [1] en fonction de l’abscisse \(x\), de la rigidité \(EI\) supposée constante et en prenant \(A\) comme origine. »]

Problème 1

Un pilier de section constante et circulaire, de masse volumique \(\rho = 2\,400\) kg/m³ et de hauteur \(h = 3\) m doit porter axialement une charge \(Q\) de 11 tonnes. Calculer le diamètre \(d\) de ce pilier si la contrainte normale admissible est de 800 000 N/m². On donne \(g = 9{,}8\) m/s².

Problème 2

Une poutre de masse négligeable reposant sur deux appuis simples \(A\) et \(B\) est soumise aux charges verticales \(F_1\), \(F_2\) et \(F_3\) avec \(F_1 = F_2 = F_3 = F\). Déterminer en fonction de \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(F\) les réactions \(R_A\) et \(R_B\) des appuis \(A\) et \(B\).

Schéma de la poutre (\(F_1\) à gauche de \(A\), \(F_2\) entre \(A\) et \(B\), \(F_3\) à droite de \(B\) ; portées \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)) — voir le scan ci-dessous.

Problème 3

A) On considère une surface plane rectangulaire \(ABCD\) (\(AB = DC = h\) ; \(BC = AD = b\)) représentée par la figure 1. Un axe \((d_1)\) parallèle à \(BC\) passe par le centre de gravité de la surface. Un autre axe \((d_2)\) contenant le côté \(AD\) est parallèle à \((d_1)\). Donner en fonction de \(b\) et \(h\) les expressions des moments quadratiques \(I_{(d_1)}\) et \(I_{(d_2)}\) respectivement par rapport à \((d_1)\) et \((d_2)\).

B) Soit une surface plane \((S)\) et un système d’axes rectangulaires \((Ox,\,Oy)\) représentés par la figure 2 (section en L : montant de 20 sur 70 de haut, semelle de 20 + 40 + 20 de large, hauteurs 10 et 20). Déterminer pour \((S)\) :

1. Les coordonnées \(x_G\) et \(y_G\) du centre de gravité \(G\).
2. Les moments quadratiques \(I_{Ox}\) et \(I_{Oy}\) respectivement par rapport aux axes \(Ox\) et \(Oy\).
3. Le moment quadratique polaire \(I_O\) par rapport au point \(O\).

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1997 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1997-1998 · Option : Génie Civil, STEM, Industrielle · Durée : 2 heures

Exercice 1

Considérons une poutre \(AD\) dont la section droite est en forme de T (voir figure I.1 : semelle \(12 \times 2\), âme \(4 \times 8\), cotation en mm).

1. En prenant le point \(O\) comme origine des axes, déterminer : a) la position du centre de gravité de la section ; b) les moments quadratiques \(I_{ox}\) et \(I_{oy}\) respectivement par rapport aux axes \(Ox\) et \(Oy\).
2. Cette poutre \(AD\) repose sur deux appuis simples \(A\) et \(B\), et elle est sollicitée par un système de forces \(P\) et \(F\) (voir figure I.2), sachant que \(F = 100\) N, \(P = 750\) N et \(a = 2\) m.
   a) Déterminer la distance \(l\) pour que \(R_A = \dfrac{2}{3}R_B\) (\(R_A\) réaction en \(A\) et \(R_B\) réaction en \(B\)).
   b) En utilisant les résultats obtenus à la question a), écrire les équations des efforts tranchants \(T(x)\) et des moments fléchissants \(M_f(x)\) ; tracer les diagrammes correspondants.

Figures I.1 et I.2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 2

Un portique \((ABCD)\) est soumis à une force \(F = 800\) N selon la figure II (traverse \([1]\) de 4 m, piliers \([2]\) et \([3]\) de 2 m, \(F\) appliquée à 3 m de \(A\) ; appuis simples en \(C\) et \(D\)).

1. En isolant respectivement les éléments \([1]\), \([2]\) et \([3]\) et en supposant qu’il n’y a pas de flambage, déterminer : a) les réactions en \(C\) et \(D\) supposées comme appuis simples ; b) les sollicitations dans chaque élément du système (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant).
2. Sachant que les piliers \([2]\) et \([3]\) sont de section carrée de côté \(a = 10\) cm et que la barre \([1]\) a une section circulaire de diamètre \(\varphi\,70\) (en mm) : a) calculer les contraintes normales maximales respectives dans \([1]\) et \([2]\).

Figure II — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1998 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1998-1999 · Option : Génie Civil, STEM, Industrielle · Durée : 2 heures

Exercice 1

On considère une demi-section circulaire plane de rayon \(R\) représentée par la figure 1.

1. Déterminer la position de son centre de gravité.
2. Calculer le moment d’inertie \(\mathcal{M}\) de la section par rapport à l’axe \(x’x\).
3. En déduire le moment d’inertie \(\mathcal{M}’\) de la demi-section circulaire plane par rapport à l’axe horizontal passant par son centre de gravité.
4. Comparer ce moment \(\mathcal{M}\) à celui d’une section circulaire plane entière par rapport également à l’axe \(x’x\).

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 2

Deux fers plats, d’épaisseur \(e = 5\) mm, sont assemblés par deux rivets. L’assemblage est soumis à une force de 20 kN. La largeur des pièces est égale à \(b\) (figure 2).

1. Déterminer le diamètre nécessaire des rivets pour une contrainte limite de cisaillement de 9 daN/mm².
2. Déterminer la largeur \(b\) des fers plats afin que la contrainte normale admissible ne soit pas dépassée si la contrainte élastique est de 60 daN/mm² et le coefficient de sécurité égal à 5.

Figure 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

Soit une poutre droite de section rectangulaire \(b \times h\) et de longueur égale à \(l\), reposant aux appuis simples de même niveau \(A\) et \(B\). Cette poutre est soumise à deux charges \(P\) et \(F\) en \(G\) et \(C\) respectivement (figure 3).

1. Déterminer la distance \(a\) entre les appuis pour que la réaction en \(A\) soit nulle.
2. Tracer les diagrammes respectifs de l’effort tranchant et du moment de flexion.
3. Calculer la flèche en \(C\).

On donne : \(l = 3\) m ; \(P = 120\) N ; \(F = 80\) N ; \(E = 21 \cdot 10^{4}\) N/mm² ; \(b = 4\) cm et \(h = 10\) cm.

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1999-2000 · Option : Génie Civil, STEM, Industrielle · Durée : 2 heures

Problème 1

Calculer le moment d’inertie d’un hexagone régulier par rapport à une diagonale \(d\). Indication : partir du calcul du moment d’inertie d’un triangle par rapport à sa base.

Problème 2

Déterminer le diamètre « \(d\) » d’un poinçon cylindrique ainsi que l’effort \(P\) à lui fournir pour percer une tôle d’épaisseur \(e = 10\) mm. La contrainte de résistance à la compression du poinçon est de \(\bar\sigma = 50\) kg/mm². La contrainte de rupture au cisaillement de la tôle est de \(\bar\tau_r = 25\) kg/mm².

Problème 3

Calculer les épaisseurs d’un mur de maçonnerie, à redans, et embase ci-contre de largeurs \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) données, sachant que la résistance maximale d’un sol est de \(R_1\) kg/cm² et la résistance à la compression de maçonnerie est de \(R\) kg/cm². Le mur supporte à son couronnement une charge \(P\) par mètre linéaire. Soient \(\gamma\) et \(\gamma_1\) les poids spécifiques de la maçonnerie du mur et de l’embase.

Problème 4

Soit une poutre horizontale en porte-à-faux à section constante sur deux appuis simples, sous l’action d’une charge uniforme partielle, on demande de :

1. Déterminer les diagrammes des efforts tranchants \(T(x)\) et des moments fléchissants \(M(x)\).
2. Déterminer la flèche en \(C\). Donner les résultats en fonction de \(q\), \(b\) et \(a\).

Schémas des problèmes 1 à 4 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2000 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 27-28 septembre 2000 · Option : Génie Civil – STEM – Industrielle · Durée : 2 heures

Problème n° 1

Pour la surface plane hachurée de la figure ci-dessus (profil en I dissymétrique : semelle supérieure \(35 \times 5\), âme \(5 \times 35\), semelle inférieure \(15 \times 5\) ; cotes en cm), déterminer :

1. la position du centre de gravité par rapport aux axes \((O_1z_1y_1)\) ;
2. les moments d’inertie \(I_z\) et \(I_y\) par rapport aux axes \((Ozy)\) passant par le centre de gravité.

Problème n° 2

Deux fers plats d’épaisseur \(e = 5\) mm sont assemblés par deux cordons de soudure. Déterminer la longueur « \(l\) » de chaque cordon pour que l’assemblage résiste à une force \(F = 70\) kN. On donne : la contrainte limite de cisaillement de la soudure : 9 daN/mm² ; le coefficient de sécurité : 2,5.

Problème n° 3

Soit une poutre horizontale \(AC\), en appui sur \(A\) et \(B\), supportant une charge uniformément répartie \(p\) selon la figure ci-dessus (\(AB = l\), \(BC = a\)).

1. Déterminer les diagrammes des efforts tranchants \(\mathcal{T}(x)\) et des moments fléchissants \(\mathcal{M}(x)\).
2. Déterminer la flèche en \(C\).

Schémas des problèmes 1 à 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2005 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 8-9 novembre 2005 (Ingéniorat) · Option : GC – GPCI – STEM · Durée : 2 heures

Exercice 1

Déterminer le centre de gravité \(G\) \((x_G, y_G)\) de la plaque représentée par la figure (équerre : montant de largeur \(a\) et de hauteur \(3a\), semelle de hauteur \(a\) et de longueur \(2a\) prolongée par un triangle de base \(a\)).

Exercice 2

Deux fers plats d’épaisseur \(e\) sont assemblés par 2 rivets. L’assemblage est soumis à une force de 20 kN. Déterminer le diamètre nécessaire des rivets pour une contrainte limite de cisaillement de 9 daN/mm².

Exercice 3

Soit une poutre horizontale sur 2 appuis \(A\) et \(B\). Cette poutre est soumise à des charges représentées par la figure (trois charges \(P\) aux quarts de la portée : la première verticale, la deuxième inclinée à 60°, la troisième à 45°). Tracer les diagrammes respectifs de l’effort normal \(N(x)\), de l’effort tranchant \(T(x)\) et du moment de flexion \(M(x)\).

Schémas des exercices 1 à 3 — voir le scan ci-dessous.

Recueil complet — les 74 sujets du concours en un seul document : Recueil 74 sujets ESPA (PDF complet) · corrigés des sujets ESPA.

Les autres épreuves du concours :

• Sujets de Chimie
• Sujets de Culture générale
• Sujets d’Électricité
• Sujets de Français
• Sujets de Mathématiques
• Sujets de Physique
• Sujets de Test psychotechnique