Sujets de Physique — Concours d’entrée ESPA Polytechnique (1994–2025)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESPA — ÉCOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

Sujets de Physique

Sessions 1994 à 2025 — 24 sujets, énoncés transcrits et corrigés

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Énoncé — session 1994 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1994-1995 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

Un mobile partant d’un point \(A\), sans vitesse initiale, se déplace sur une voie rectiligne horizontale \(ABCD\), orientée de \(A\) vers \(D\), de la façon suivante : de \(A\) à \(B\), d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération \(\gamma_1 = 0{,}1\) m/s² ; de \(B\) à \(C\) pendant 14 minutes d’un mouvement uniforme ; de \(C\) à \(D\), d’un mouvement rectiligne uniformément retardé d’accélération dont la valeur algébrique est \(\gamma_2 = -0{,}1\) m/s², arrivant en \(D\) avec une vitesse nulle. La distance \(AD\) est de 3,72 km.

1. Calculer la vitesse maximum acquise par le mobile au cours de son parcours.
2. Calculer le temps mis par le mobile pour faire le trajet ABCD.
3. Construire les diagrammes de la vitesse \(v = v(t)\) et de l’accélération dans l’ensemble des trois phases.

Exercice 2

Un satellite décrit autour de la terre supposée sphérique, une orbite circulaire, à vitesse constante.

1. a) Déterminer la vitesse linéaire du satellite en km/s, lorsqu’il évolue à une altitude \(h = 3\,600\) km.
   b) Calculer la période de révolution du satellite en heures.
2. À quelle altitude \(H\) doit graviter le satellite dans le plan équatorial si l’on veut qu’il reste fixe par rapport à une station terrestre (satellite géostationnaire) ?

On donne : à l’altitude 0, \(g_0 = 9{,}81\) m/s² ; à l’altitude \(z\), \(g(z) = g_0\dfrac{R^2}{(R + z)^2}\) où \(R = 6\,400\) km (rayon de la terre).

Exercice 3

Une bille de masse \(m = 0{,}5\) kg, assimilable à un point matériel, est accrochée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur \(l\). L’autre est fixée à un point \(O\). On néglige tous les frottements et on prend \(g = 9{,}81\) m/s².

1. Le fil est écarté de sa position d’équilibre verticale d’un angle \(\alpha_0 = 30\)° et on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale (cf. figure 1). Calculer la tension du fil dans les deux cas suivants : a) lorsque \(\alpha = 30\)° ; b) lorsque le fil passe par la position d’équilibre verticale.
2. Le système (fil, bille) peut tourner maintenant dans un plan vertical autour du point O. À la position \(B\) définie par \(\beta = 60\)°, on lance la bille avec une vitesse \(\overline{V_1}\) (cf. figure 2).
   a) Donner l’expression de la tension du fil au point \(S\) en fonction de \(m, g, l, V_1, \beta\).
   b) Quelle doit être la valeur minimale de \(V_1\) pour que la bille atteigne le point \(S\), le fil restant tendu ?
   c) Calculer les accélérations tangentielle et normale de la bille au point \(B\) et au point \(S\) dans le cas où \(V_1 = 5\) m/s. On donne \(l = 10\) cm.

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 4

Un train d’onde plane se propage dans un milieu dont les particules sont animées d’un mouvement périodique défini par la relation : \(y = 4\sin\left(\dfrac{2\pi}{6}t + \varphi\right)\), \(t\) en [s], \(y\) en [cm]. [le scan porte « \(\dfrac{2x}{6}\) » ; lire vraisemblablement \(\dfrac{2\pi}{6}\)]

1. Calculer la vitesse de propagation du mouvement vibratoire, sachant que la longueur d’onde est égale à 24 cm.
2. Calculer en degré le déphasage correspondant à deux positions occupées par la même particule à une seconde d’intervalle.
3. Calculer (en radian) à un instant donné la différence de phase correspondant à deux particules séparées par une distance de 21 cm, dans la direction de propagation : l’exprimer en nombre fractionnaire de \(\pi\).
4. L’élongation à un instant donné \(t\) d’une certaine particule est égale à 3 cm. Quelle sera l’élongation de la même particule 2 secondes plus tard ?

Énoncé — session 1995 (année 1995-1996) transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1995-1996 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice n° 1

Dans tout le problème, on prendra \(g = 1\) m/s² [ainsi sur le scan] et l’on néglige les frottements.

A°) Un solide \((S)\), que l’on assimilera à un point matériel de masse \(M = 200\) g, peut glisser en suivant la ligne la plus grande pente d’un plan incliné qui forme un angle \(\alpha = 30\)° avec le plan horizontal. Le solide \((S)\) est lâché sans vitesse initiale du point \(A\). Il parcourt la distance \(AB = l = 2{,}50\) m sur le plan incliné (figure 1).

1. Déterminer la nature du mouvement pris par \((S)\) et calculer la durée \(t_1\) du trajet \(AB\).
2. Calculer le module \(V_1\) de la vitesse \(\overline{V_1}\) de \((S)\) en \(B\). Quelles sont les composantes horizontale et verticale \(V_{1x}\) et \(V_{1y}\) ?

B°) Arrivé en \(B\), le solide \((S)\) animé de la vitesse \(\overline{V_1}\) tombe sur le plan horizontal situé en contrebas à une distance \(h\) de \(B\) (figure 1). La chute dure \(t_2 = 0{,}5\) s.

1. Calculer la distance horizontale \(a\), comprise entre la verticale passant par \(B\) et le point d’impact sur le plan horizontal, puis la hauteur \(h\).
2. Calculer l’énergie cinétique du solide \((S)\) à son arrivée sur le plan horizontal.

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

Exercice n° 2

Pour tous les problèmes, on néglige la masse du ressort et le mouvement se fait selon la verticale.

1. Déterminer la période d’oscillations \(t_1\) d’un ressort de constante de raideur \(k_1\) au bout inférieur duquel on a suspendu une masse \(m\).
2. On appelle \(T_1\) et \(T_2\) les périodes respectives des deux ressorts de constante de raideur \(k_1\) et \(k_2\), lorsque la même masse \(m\) est suspendue de leur bout respectif. On accroche maintenant bout à bout les deux ressorts comme le montre la figure ci-contre (figure 2). En appelant \(T\) la période de l’ensemble lorsqu’on suspend la même masse \(m\) au bout du deuxième ressort, exprimer \(T\) en fonction de \(T_1\) et \(T_2\).

Exercice n° 3

Entre les deux bornes \(A\) et \(B\) s’établit une ddp alternative de tension efficace \(V_0 = 220\) V et fréquence constante 50 Hz. Le schéma de la figure 3 est composé de : une résistance \(R = 25\) Ω ; une inductance \(L\omega = 60\) Ω ; un condensateur \(C\) de capacité variable. L’inductance \(L\) ne supporte pas de tension supérieure à \(V_1 = 120\) V, au-delà de laquelle elle sera détruite. Dans la suite, on situe la position du problème à cette valeur limite \(V_1\). On demande :

• le diagramme de Fresnel des tensions ;
• la capacité limite \(\dfrac{1}{C\omega}\) du condensateur ;
• le facteur de puissance maximale.

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1996 transcrit depuis le sujet scanné (3 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1996-1997 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

On admettra que le poids \(P\) d’un corps de masse \(m\) est dû à la seule force d’attraction terrestre.

1. L’intensité \(P\) du poids d’un corps de masse \(m\) situé à une distance \(r\) du centre \(C\) de la terre est donnée par la relation : \(P = k\dfrac{m}{r^2}\), \(k\) est une constante. Exprimer l’accélération \(g\) de la pesanteur à une distance \(r\) de \(C\) en fonction de l’accélération \(g_0\) de la pesanteur au sol, du rayon \(R\) de la terre et de \(r\). AN : \(g_0 = 10\) m/s² ; \(R = 6\,400\) km et \(r = 7\,000\) km.
2. Un satellite artificiel \(S\) de masse \(m\) a une trajectoire circulaire de rayon \(r\) dans le plan de l’équateur.
   a) Montrer que sa vitesse angulaire \(\omega\) est reliée au rayon \(r\) de la trajectoire par la relation \(\omega^2 r^3 = \text{constante}\). Exprimer la valeur de cette constante en fonction de \(g_0\) et \(R\).
   b) Exprimer la période \(T\) du mouvement. On donne \(\sqrt{r^3} = 18{,}6 \times 10^9\). Calculer \(T\).
3. Calculer en fonction de \(m\), \(g\), \(R\) et \(r\) le travail \(W\) du poids \(P\) du satellite lors du déplacement depuis le sol où \(r_0 = R\) jusqu’à un point de la trajectoire de rayon \(r\).
4. Exprimer l’énergie cinétique du satellite en fonction de \(m\), \(g_0\), \(R\) et \(r\).

Exercice 2

La remorque d’un véhicule au repos peut être assimilée au dispositif suivant : une masse \(M = 500\) kg reposant par l’intermédiaire de deux ressorts identiques de raideur \(k\) sur une barre \(B\) représentant l’axe des roues de la remorque.

1. En admettant que sous l’action de \(M\), les deux ressorts verticaux sont comprimés de \(\Delta l = 15\) cm, quelle est la raideur de chaque ressort ?
2. Lorsque l’on charge la remorque, cela revient à augmenter \(M\) de \(m = 50\) kg. Chaque ressort est alors comprimé d’une même quantité supplémentaire \(x_0\).
   a) Calculer \(x_0\).
   b) À \(t = 0\) la charge \(m\) est enlevée. Établir l’équation différentielle du mouvement de translation de la masse \(M\) en prenant un axe \(x’x\) orienté vers le bas.
   c) Calculer la période \(T_0\) des oscillations.

Schéma de la remorque (masse \(M\) sur deux ressorts) — voir le scan ci-dessous.

[La page suivante du recueil ne porte qu’un fragment isolé, la question 6°) d’un exercice dont le début manque ; il est reproduit ci-dessous.]

6°) Un deuxième ressort identique au précédent est attaché à la masse \(m\), la deuxième extrémité étant fixée au point \(B\) qui se trouve sur la même verticale que \(A\), à une distance \(AB = 50\) cm.
a°) Donner les expressions littérales des tensions et des longueurs des deux ressorts à l’équilibre.
b°) On abaisse \(m\) de 5 cm de sa position d’équilibre puis on la lâche. Exprimer les tensions des ressorts à un instant quelconque \(t\) puis écrire l’équation différentielle du mouvement de \(G\) dans un repère dont l’origine se trouve à la nouvelle position d’équilibre de \(G\).

Exercice 3

Une bille de masse \(m = 10\) g est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur 20 m au-dessus d’un plan sur lequel elle rebondit. Exprimer l’énergie potentielle du système (bille + plan + terre), son énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de \(t\) compté à partir du choc supposé parfaitement élastique. \(g = 10\) m/s².

1. En fait, à chaque choc sur le plan, une fraction \(q = 20\) % de l’énergie mécanique se trouve perdue. La bille rebondit ainsi à plusieurs reprises restant sur la même trajectoire verticale. Exprimer l’énergie mécanique après le \(n\)-ième choc en fonction de \(n\).
2. Quelle distance aura au total parcouru la bille jusqu’à ce qu’elle s’immobilise ? Au bout de quel temps \(t\) la bille s’immobilise-t-elle ?

Exercice 4

Une sphère conductrice \(M\) de masse \(m = 20\) g et portant une charge \(q\) est suspendue en un point fixe \(O\) par l’intermédiaire d’un fil isolant inextensible de masse négligeable et de longueur \(l = 10\) cm. Ce pendule est placé entre deux armatures métalliques \(A\) et \(B\), planes et horizontales, de grande dimension, distantes de \(d = 20\) cm. Le point de suspension \(O\) est situé à 5 cm au-dessous de l’armature supérieure \(A\). On applique entre les deux armatures une différence de potentiel \(U_{AB} = V_A – V_B = 2 \cdot 10^3\) V créant alors entre \(A\) et \(B\) un champ électrostatique uniforme \(\vec{E}\).

1. Caractériser \(\vec{E}\) et \(\vec{F}\) s’exerçant sur \(M\).
2. La sphère porte la charge \(q = +0{,}2 \cdot 10^{6}\) C [ainsi sur le scan]. Le pendule est écarté de sa position d’équilibre de \(\alpha = 90^{\circ}\) et abandonné sans vitesse initiale. Déterminer la vitesse de \(M\) et la tension du fil au passage à la verticale.
3. Le fil se casse au passage à la verticale, déterminer l’équation et la nature de trajectoire de \(M\) après rupture du fil.
4. Quelle est la durée du mouvement au moment où \(M\) touche l’armature \(B\) ?

Schéma des armatures \(A\) (+) et \(B\) (−), pendule \(OM\) — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1997 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1997-1998 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

1ʳᵉ partie

La figure représente deux plans inclinés et un plan horizontal de traces \(AB\), \(ED\), et \(BD\) (\(a = 10\) m ; \(A\) et \(E\) à la hauteur \(a\) ; \(BC = CD = a\)). Les corps \(M\) et \(N\) de masses respectives \(m_1 = 100\) g et \(m_2 = 10\) g peuvent glisser sans frottement sur ces plans tandis que la bille de masse \(m_3 = 100\) g est animée d’un roulement sans glissement.

Schéma des plans \(AB\), \(BD\), \(DE\) — voir le scan ci-dessous.

1. \(M\) est lâchée de \(A\) sans vitesse initiale à l’instant \(t = 0\). Écrire l’équation horaire de son mouvement et déterminer l’instant \(t_B\) où il arrive en \(B\) ainsi que sa vitesse en \(B\) et sa composante horizontale.
2. Calculer la durée du trajet \(BC\) et sa vitesse en \(C\).
3. En \(C\), il heurte \(N\), calculer les vitesses de \(M\) et \(N\) après les chocs (supposés parfaitement élastiques).
4. Écrire l’équation du mouvement de \(N\) entre \(C\) et \(D\) et déterminer l’instant où il arrive en \(D\).
5. À cet instant, la bille \(b\) est lâchée de \(E\) sans vitesse initiale.
   a°) Calculer l’accélération du centre d’inertie de \(b\).
   b°) Écrire les équations horaires des mouvements des centres d’inertie de \(N\) et \(b\) sur \(ED\).
   c°) Déterminer l’instant où ils se heurtent.

2ᵉ partie

On dispose d’un ressort de constante de raideur \(k\) et de longueur à vide \(l_0 = 18\) cm, dont l’une des extrémités est accrochée au point \(A\) du plafond.

1. Calculer \(k\) si sa longueur devient \(l = 20\) cm quand on l’étire avec une force d’intensité \(F = 10\) N.
2. On suspend une masse \(m = 700\) g à l’autre extrémité du ressort. Déterminer la tension du ressort ainsi que sa longueur à l’équilibre.
3. On tire la masse \(m\) vers le bas et on la lâche lorsque la longueur du ressort est de 25 cm. Établir l’équation différentielle du mouvement du centre d’inertie \(G\) de \(m\) en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, l’espace étant rapporté à un repère dont l’origine \(O\) se trouve à la position d’équilibre de \(G\).
4. Retrouver la même équation en utilisant le théorème de la conservation de l’énergie mécanique.
5. Écrire l’équation horaire du mouvement de \(G\) puis trouver la période des oscillations et l’expression de la vitesse de \(G\) quand il passe par \(O\).

Énoncé — session 1998 (année 1998-1999) transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1998-1999 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice n° 1

Un point matériel \(M\) décrit les trajectoires suivantes :

• a°) Une trajectoire rectiligne \(AB\) horizontale de longueur 1 300 m. En \(A\), la vitesse est égale à zéro. En \(B\), la vitesse atteint 300 km/s [ainsi sur le scan ; la figure porte \(V_B = 300\) km/h]. Le mouvement est uniformément accéléré.
• b°) Une trajectoire circulaire \(BC\) de rayon \(R = 0{,}5\) km. L’angle \(BOC\) est égal à \(30^{\circ}\). Le mouvement est uniformément accéléré avec la même accélération que sur la trajectoire AB.
• c°) Une trajectoire rectiligne \(CD\) inclinée de \(30^{\circ}\) sur l’horizontale. La différence de cote de \(C\) en \(D\) est de 8 km. Le mouvement est encore uniformément accéléré mais avec une accélération différente. En \(D\) la vitesse est de 800 km/h.

Schéma des trajectoires \(AB\), \(BC\), \(CD\) — voir le scan ci-dessous.

Questions. Trajectoire \(AB\) : écrire les équations de mouvement et calculer le temps mis par le mobile pour se déplacer de \(A\) en \(B\) ainsi que la valeur de l’accélération \(\gamma\) du mouvement si on suppose que le mobile est en \(B\) quand on fait \(t = 0\).

Trajectoire \(BC\) : a°) Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) en \(B\) et l’accélération angulaire du mouvement \(\omega’\). b°) Écrire les équations angulaires et linéaires du mouvement. c°) Calculer \(\omega_C\), \(V_C\) et l’accélération normale \(\gamma_n\) et le temps \(t\).

Trajectoire \(CD\) : écrire les équations du mouvement, en supposant que le temps \(t = 0\) quand ce mobile est en \(B\). Calculer la valeur du module de l’accélération \(\gamma\) et l’intervalle de temps mis par le mobile entre l’instant où il quitte le point \(B\) et celui où il atteint le point \(D\).

Exercice 2

1. Trouver l’expression de la relation entre la vitesse \(V_M\) d’un satellite artificiel \(M\), assimilable à un point matériel, et la hauteur \(h\) où il se trouve. On considère que la trajectoire est circulaire autour de la terre. La force d’attraction \(F\) du satellite par la terre est considérée comme inversement proportionnelle au carré de la distance \(OM\) (satellite – centre de la terre) : \(F = \dfrac{Km}{(OM)^2}\) où \(m\) : masse du satellite, \(K\) : constante (à déterminer).
2. Calculer à quelle hauteur de la terre en mouvement doit-on libérer le satellite pour que l’on puisse l’apercevoir immobile d’un point \(A\) sur la terre. On donne : \(g = 9{,}81\) m/s² ; \(R = 6\,370\) (rayon de la terre) ; \(\omega = 0{,}0007\) rd/s (module du vecteur vitesse angulaire de la rotation de la terre).

Schéma de la terre et du satellite M à la hauteur h — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

On désire déterminer la profondeur d’un grand lac par l’étude du mouvement de descente d’une charge \(C\), assimilable à un point matériel. En laissant descendre une charge \(C\) avec une vitesse \(V_0\), elle atteint le fond du lac après un certain temps \(T\). Déterminer l’expression \(S\) (chemin de la charge) si la projection sur l’axe des \(x\) des seules forces résistantes à considérer de l’eau sur la charge est exprimée par : \(R = -km\,\dot{x}\) où \(m\) : masse de la charge, \(\dot{x}\) : projection de sa vitesse sur l’axe, \(k\) : constante positive. L’axe vertical des \(x\) est orienté vers le bas. \(O\) est l’origine de l’axe correspondant à la position de C au début de sa descente.

Schéma du lac — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1999-2000 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice n° 1

Un camion dont la masse totale est de \(M = 4\) tonnes, démarre sur une route rectiligne et horizontale. Il atteint une vitesse de 72 km/h en 5 mn et continue sa marche à vitesse constante. On suppose que l’ensemble des forces de frottement et de résistance de l’air est équivalent à une force unique, opposée à la vitesse, d’intensité constante \(f = 300\) N. Cette force est supposée indépendante de la vitesse et la pente de la route.

1. Calculer l’intensité de la force de traction développée par le moteur dans les deux cas suivants : a°) au cours du démarrage, le mouvement étant alors supposé rectiligne et uniformément accéléré ; b°) après 5 minutes de marche, le camion roule alors à une vitesse constante.
2. Pour ralentir le camion, le chauffeur débraie, annulant ainsi la force de traction et en même temps il freine. Le mouvement toujours rectiligne devient alors uniformément retardé. La vitesse du camion passe alors de 72 km/h à 36 km/h sur un parcours de 200 m. Calculer l’intensité de la force de freinage.
3. Le camion aborde maintenant, avec la vitesse de 36 km/h, une côte qui s’élève de 20 mm par mètre. Quelle doit être la valeur de la force de traction pour que sur une distance de 500 m, le mouvement étant uniformément accéléré, la vitesse atteigne 45 km/h ? (On prend \(g = 10\) m/s².)

Exercice n° 2

On donne \(O_1O_2 = 76\) cm, \(R_1\) et \(R_2\) deux ressorts identiques de longueur à vide \(l_0 = 25\) cm, de coefficient de raideur \(k = 24{,}5\) N/m ; \(A\) un cylindre de 4 cm de haut, de masse \(M = 200\) g. Le cylindre étant en équilibre, on le tire vers le bas de 3 cm et on l’abandonne sans vitesse initiale.

1. Déterminer la position d’équilibre du centre de gravité \(G\) du cylindre.
2. Former l’équation horaire du mouvement de \(G\).
3. Déterminer la période du mouvement.

Schéma : ressort \(R_1\) entre \(O_1\) et le cylindre, ressort \(R_2\) entre le cylindre et \(O_2\) — voir le scan ci-dessous.

Exercice n° 3

Une fusée atteint une altitude de 600 km [« 600 km/h » sur le scan] et éjecte un satellite de masse 40 kg sur une orbite circulaire qu’il décrit d’un mouvement uniforme. La trajectoire est située dans le plan équatorial terrestre et son centre est celui de la terre. Le rayon de la terre vaut \(R = 6\,400\) km. À 800 km d’altitude, la valeur de \(g\) est \(8{,}2 \cdot 10^{-2}\) m/s² [ainsi sur le scan].

1. Calculer la vitesse du satellite sur son orbite.
2. Déterminer son énergie cinétique.
3. Calculer la durée d’une révolution.

Énoncé — session 2000 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 27-28 septembre 2000 (année 2000-2001) · Option : Toutes · Durée : 2 heures

Exercice I

Une roue, de masse négligeable, de rayon \(r\), peut tourner autour de son axe de révolution horizontal \((\Delta)\). Une tige \(AB\) homogène, perpendiculaire en son centre de gravité à l’axe \((\Delta)\), de longueur \(2l\), de masse \(3m\), porte à son extrémité \(B\) une masse ponctuelle \(m\). La tige \(AB\) est solidaire à la roue. Un fil inextensible, de masse négligeable, dont une extrémité est fixée à la roue, l’autre extrémité est accrochée à un petit solide de masse \(m’\) (masse ponctuelle) qui peut glisser sans frottement sur un plan incliné d’angle \(\alpha\) (voir figure 1).

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

1. Déterminer l’angle \(\theta_0\) que fait l’axe de la tige \(AB\) avec la verticale du point \(O\) pour que le système soit en équilibre. Note : on étudiera séparément l’équilibre de l’ensemble (roue + tige \(AB\) + masse \(m\)) d’une part et celui du solide \(m’\) d’autre part.
2. À l’instant \(t = 0\), on coupe le fil reliant le solide de masse \(m’\) à la roue.
   a) Étudier la nature du mouvement du solide \(m’\) sur le plan incliné.
   b) La distance \(CD\) étant de 0,5 m, calculer : la durée du mouvement de \(m’\) sur \([CD]\) ; la vitesse et l’énergie cinétique de \(m’\) au point \(D\).
3. On s’intéresse maintenant au mouvement pris par le système (roue + tige \(AB\) + masse \(m\)) après que le fil a été coupé et en négligeant tout frottement.
   a) Montrer que le système est animé d’un mouvement sinusoïdal autour de \((\Delta)\), d’amplitude \(\theta_0\).
   b) Déterminer au passage à la verticale du point \(O\) : la valeur absolue de la vitesse angulaire \(\theta’\) ; l’énergie cinétique du système.

A.N. : \(m = 150\ \text{g}\), \(m’ = 125\ \text{g}\), \(r = 5\ \text{cm}\), \(\alpha = 30°\), \(g = 10\ \text{m/s}^2\), \(OB = OA = l = 20\ \text{cm}\).

Exercice II

Une poulie \(P_1\) de diamètre \(d_1 = 100\ \text{mm}\), fixée à l’arbre d’un moteur électrique, met 20 secondes pour atteindre la vitesse de régime de \(1\,200\ \text{tr/mn}\).

1. Déterminer : a) l’accélération angulaire, supposée constante, de \(P_1\) pendant la période de démarrage ; b) le nombre de tours que la poulie \(P_1\) a fait avant d’atteindre la vitesse de régime.
2. On relie la poulie \(P_1\) avec une autre poulie \(P_2\) par l’intermédiaire d’une courroie. On suppose qu’il n’y a pas de glissement entre les poulies et la courroie ; de plus on néglige tout frottement. Déterminer le diamètre \(d_2\) de la poulie \(P_2\) pour qu’elle tourne à la vitesse de \(480\ \text{tr/mn}\) (la poulie \(P_1\) tourne à \(1\,200\ \text{tr/mn}\)).

Figure 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice III

Un projectile \(M\) est lancé d’un point \(O\), à l’instant \(t = 0\) avec une vitesse \(\overline{v_0}\) inclinée d’un angle \(\alpha\) par rapport à l’horizontal, vers un mur \(AB\) de hauteur \(H\), situé à une distance \(L\) du point \(O\) (voir figure 3).

1. Écrire l’équation de la trajectoire de \(M\).
2. Déterminer l’angle \(\alpha_m = (\overline{v_0},\,Ox)\) pour que le projectile atteigne le mur au point \(A\).
3. Déterminer l’angle \(\alpha_M = (\overline{v_0},\,Ox)\) pour que la flèche de la trajectoire, c’est-à-dire l’ordonnée maximale coïncide avec le point \(B\).

On donne : \(v_0 = 2\sqrt{5}\ \text{m/s}\), \(H = 0{,}75\ \text{m}\), \(L = 1\ \text{m}\), \(g = 10\ \text{m/s}^2\).

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2001 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 17-18 octobre 2001 (année 2001-2002) — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures

Documents non autorisés. Tous les exercices sont obligatoires.

Exercice 1

On prend \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\). Un solide de masse \(m\) est lancé du point \(A\) vers le haut suivant la ligne de plus grande pente d’un plan incliné de \(\alpha = 30°\) par rapport à l’horizontale, avec une vitesse initiale \(v_0 = 10\ \text{m/s}\) (voir figure 1). Les frottements sont équivalents à une force parallèle à la trajectoire, de sens contraire à la vitesse et d’intensité constante égale à \(\mu P\) avec \(\mu = \dfrac{\sqrt{3}}{10}\) et \(P\) = poids du solide. On prend comme origine des temps (\(t = 0\)) l’instant de départ en \(A\).

1. À quel instant \(t_1\) le solide atteint-il le point le plus haut de sa trajectoire ? Calculer la distance \(d\) ainsi parcourue.
2. À quel instant \(t_2\) il repasse au point \(A\) ? Déterminer sa vitesse à cet instant.
3. Quelle est l’énergie cinétique du solide à l’instant \(t_2\) sachant que sa masse est de 50 g ?

Exercice 2

On prend \(g = 10\ \text{m/s}^2\) et on néglige tous les frottements. Deux billes assimilables à des points matériels, l’une \(A\) de masse \(m_1 = 4m\), l’autre \(B\) de masse \(m_2 = 3m\), sont placées aux extrémités d’une tige rigide \(T\) de masse négligeable mobile autour d’un axe horizontal \((\Delta)\) perpendiculaire à \(T\) au point \(O\) (voir figure 2). On prend \(OA = 2l\), \(OB = l\).

1. Déterminer la position du centre d’inertie \(G\) du système (la tige \(T\) et les masses \(m_1\) et \(m_2\)) par rapport à \(O\).
2. Le système étant dans sa position d’équilibre stable, on l’écarte dans un sens choisi comme positif d’un petit angle \(\theta_0 = 8°\) et on l’abandonne sans vitesse initiale à \(t = 0\). On donne \(m = 10\ \text{g}\), \(l = 12\ \text{cm}\).
   a) Établir l’équation différentielle régissant le mouvement du système et en déduire sa nature, ainsi que sa période \(T\).
   b) Donner l’expression instantanée de l’élongation angulaire \(\theta = f(t)\) (\(\theta\) exprimé en radian).
   c) Établir la relation qui lie l’élongation angulaire \(\theta\) et la vitesse angulaire \(\dot{\theta}\). En déduire la vitesse angulaire du système lorsque \(\theta = \dfrac{\theta_0}{2}\).
3. Calculer la longueur du pendule simple synchrone de ce pendule composé.

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

Un disque circulaire de 80 cm de diamètre peut tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal perpendiculaire au plan du disque et passant par son centre \(O\) (voir figure 3). Son moment d’inertie par rapport à cet axe est de \(48\ \text{kg·m}^2\). On applique au niveau de l’axe un couple moteur qui provoque la rotation du disque. Quand la vitesse de rotation atteint \(90\ \text{tr/min}\), on coupe l’alimentation du moteur et l’on exerce sur le disque un couple résistant constant. On constate qu’après 25 tours, la vitesse de rotation est réduite à \(30\ \text{tr/min}\).

1. a) Calculer la valeur du moment du couple de freinage.
   b) Le disque tournant à raison de \(30\ \text{tr/min}\), on supprime le couple de freinage. Quelle est la nature du mouvement du disque ? Déterminer son équation horaire et la vitesse linéaire d’un point de sa circonférence.
2. Au cours du mouvement de la phase précédente (phase sans couple résistant), un fragment de métal supposé ponctuel se détache du disque à l’instant où il passe par la verticale \(AB\) en \(B\). Les frottements sont négligeables et on prend \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\).
   a) Déterminer la position du point \(C\) (point de rencontre du fragment avec le sol) par rapport à la verticale passant par \(AB\), si l’axe de rotation du disque se trouve à 0,60 m du sol.
   b) Évaluer le vecteur-vitesse \(\overline{v_C}\) au point \(C\) en précisant l’angle que fait \(\overline{v_C}\) avec l’horizontale.

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2002 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 03-04 décembre 2002 (année 2002-2003) — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 minutes

Documents non autorisés.

Exercice I

L’équation d’état pour les gaz réels est de la forme : \(\left(P + \dfrac{an^2}{V^2}\right)(V – nb) = nRT\), où \(a\) et \(b\) : des constantes dépendant de la nature du gaz ; \(V\) : volume du gaz ; \(p\) : pression du gaz en [N/m²] ; \(T\) : température du gaz en [K] (degré Kelvin) ; \(n\) : nombre de mole(s) en [mole] ; \(R\) : constante molaire des gaz parfaits en [J/mole·K]. Donner les unités de \(a\) et \(b\), dans le système international.

Exercice II

Une bille assimilable à une masse ponctuelle \(M = 250\) [g] est suspendue en un point fixe \(O\) par l’intermédiaire d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur \(l = 1{,}0\) [m]. Au départ la bille se trouve au point \(B\) tel que le segment \([OB]\) fait un angle \(\theta_0 = 60°\) par rapport à la position d’équilibre et on le lance avec une vitesse \(|\vec{v_0}| = 5\) [m/s] (\(\vec{v_0} \perp \overrightarrow{OB}\)). Pour les applications numériques, on prendra \(g = 10\) S.I.

Schéma du pendule (\(O\), \(B\), \(M\), \(A\) ; sol à 2 m sous \(A\) ; repère \(Axy\)) — voir le scan ci-dessous.

1. Donner l’expression de \(V_M\), vitesse au point \(M\), prise par la bille en fonction de \(v_0\), \(\theta_0\), \(g\), \(l\) et \(\theta\) (angle entre la droite \((OM)\) et la verticale). Calculer la vitesse \(V_A\) au point \(A\) (position d’équilibre).
2. Donner l’expression \(T_M\), tension du fil en \(M\), en fonction de \(m\), \(g\), \(l\), \(v_M\) et \(\theta\). Calculer la tension \(T_A\) au point \(A\).
3. Arrivée en \(A\), la bille de masse \(m\) heurte une autre bille de masse \(m’ = 135\) [g], au repos. On suppose que le choc est parfaitement élastique.
   a) Exprimer les vitesses \(v’_A\) vitesse de la bille (\(m\)) et \(v’\) celle de la bille (\(m’\)) après le choc, en fonction de \(m\), \(m’\) et \(V_A\).
   b) Calculer modules de \(v’_A\) et \(v’\).
   c) Donner l’expression littérale de la trajectoire de la bille (\(m’\)) dans le repère \(Axy\).
   d) Le point \(A\) étant situé à une altitude 2 [m] par rapport au sol horizontal, calculer l’abscisse \(x_I\) du point d’impact \(I\) de la bille sur le sol.
   e) Déterminer la valeur de \(\theta_0\) pour que l’abscisse \(x_I\) soit égale à 5,5 [m].

Exercice III

Un volant, de diamètre \(d = 60\) [mm] et dont la masse \(m = 50\) [kg] est supposée uniformément répartie sur sa circonférence, tourne à une vitesse constante \(N = 600\) [tr/mn]. On prendra \(g = 10\) SI et \(\pi^2 = 10\).

1. Calculer son moment d’inertie.
2. Calculer l’énergie cinétique du volant à ce régime (\(N = 600\) [tr/mn]).
3. Le volant ralentit sous l’effet de résistances passives et s’immobilise au bout de 2 minutes.
   a) Quelle est la nature du mouvement du volant ?
   b) Écrire les équations du mouvement.
   c) Représenter en fonction du temps \(t\) : l’élongation angulaire, la vitesse angulaire, l’accélération angulaire.

Exercice IV

Un ressort, de masse négligeable et de raideur \(k\), est fixé à une extrémité et l’autre extrémité est liée à un fil inextensible souple qui s’enroule sur un cylindre de diamètre \(d\). Sur un autre cylindre de diamètre \(D\), solidaire et coaxial au premier cylindre, s’enroule un autre fil inextensible auquel est suspendue à l’autre bout une masse \(M\) (voir figure ci-contre). On néglige les masses des deux cylindres.

Schéma des deux cylindres coaxiaux, du ressort et de la masse \(M\) — voir le scan ci-dessous.

1. À l’équilibre, en supposant que l’allongement du ressort est égal à \(\Delta l\), exprimer la masse \(M\) en fonction de \(k\), \(\Delta l\), \(d\), \(D\) et \(g\) (accélération de la pesanteur).
2. On écarte le système de sa position d’équilibre en déplaçant la masse \(M\) vers le bas (suivant la verticale), puis on l’abandonne sans vitesse initiale. On suppose que les frottements sont négligeables et qu’il n’y a pas de glissement entre les fils et les cylindres.
   a) Établir l’équation différentielle du mouvement de \(M\).
   b) En déduire l’impulsion [sic : pulsation] du mouvement.
   c) Donner la période du mouvement.
   d) Donner l’élongation horaire du mouvement.

Énoncé — session 2003 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2003-2004 · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 mn

Les trois exercices et le problème sont obligatoires.

Exercice 01 : Électromagnétisme

Un solénoïde de longueur \(l = 40\) cm, comportant 1 250 spires par mètre, de rayon \(R = 2\) cm, est parcouru par un courant d’intensité \(I = 5\) A.

1. Calculer le champ magnétique créé au centre \(O\) du solénoïde par le passage du courant.
2. En supposant le champ magnétique uniforme à l’intérieur du solénoïde, calculer le flux propre de ce solénoïde, en déduire son inductance.
3. Le solénoïde est à présent parcouru par un courant d’intensité variant en fonction du temps comme l’indique la figure ci-dessous (\(I\) croît de 0 à 1 A entre 0 et 2 ms, reste à 1 A jusqu’à 5 ms, décroît à 0 à 6 ms). Déterminer la force électromotrice d’auto-induction « \(e\) » qui apparaît aux bornes de la bobine pour chacune des trois phases. Tracer \(e = f(t)\) pour \(t \in \left[0\,;\,6\text{ ms}\right]\). On donne \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) et \(\pi^2 = 10\).

Graphe \(I(t)\) — voir le scan ci-dessous.

Exercice 02 : Électricité

Un circuit comporte en série un condensateur de capacité \(C\) et une bobine de résistance \(R\) et d’auto-inductance \(L\). Il est alimenté par un générateur qui délivre une tension alternative sinusoïdale \(u(t)\) d’amplitude constante mais de fréquence variable \(f\). On mesure les tensions efficaces respectives aux bornes du générateur, du condensateur et de la bobine : on trouve la même valeur.

1. Exprimer \(L\) et \(C\) en fonction de \(R\) et \(f\).
2. Le circuit est parcouru par un courant d’intensité instantanée \(i(t) = I_m \sin \omega t\). Calculer le déphasage \(\varphi\) entre \(u(t)\) et \(i(t)\).
3. On modifie la fréquence f jusqu’à ce que le déphasage \(\varphi\) devienne nulle.
   a) Interpréter le phénomène.
   b) Calculer la fréquence correspondante en prenant \(f = 50\) Hz comme fréquence de départ de la tension alternative sinusoïdale.

Exercice 03 : Optique géométrique

Soit une lentille mince convergente \(L_1\) de distance focale 15 cm. Un objet \(AB\) de 5 cm de hauteur perpendiculaire à l’axe optique est placé à 20 cm de la lentille.

1. Déterminer par calcul les caractéristiques de l’image \(A’B’\) (position, sens, grandeur, nature).
2. Vérifier par construction graphique ces caractéristiques (échelle : \(\dfrac{1}{5}\)).
3. Une lentille mince divergente \(L_2\) de distance focale 50 cm est placée derrière la lentille \(L_1\) à la distance de 35 cm, les axes optiques étant confondus.
   a) Déterminer par calcul les caractéristiques de l’image finale de l’objet \(AB\) placé à 20 cm en avant de \(L_1\).
   b) Faire la construction graphique.

Problème — les parties A et B sont indépendantes et on prendra \(g = 10\) m·s⁻²

Partie A. Une bille assimilable à un point matériel \(M\) de masse \(m = 50\) g est abandonnée sans vitesse initiale en un point \(A\) d’une gouttière \(ABCD\). Cette gouttière est constituée : d’un tronçon rectiligne \(AB\) incliné d’un angle \(\alpha = 30°\) par rapport au plan horizontal et de longueur \(AB = 1{,}5\) m ; d’un tronçon horizontal \(BC\) ; d’un tronçon circulaire \(CD\) de centre \(O\) et de rayon \(r = 60\) cm et telle que \(OC\) est perpendiculaire à \(BC\) (voir figure 1). Les frottements qui ne s’exercent qu’entre \(B\) et \(C\) sont équivalents à une force \(F\) parallèle au déplacement et d’intensité constante égale à 0,4 N.

1. Quelle est la nature du mouvement de la bille sur la portion \(BC\) ?
2. Quelle doit être la longueur de \(BC\) pour que la bille arrive en \(C\) avec une vitesse nulle ?
3. La bille \(M\) part du point \(C\) avec une vitesse pratiquement nulle et aborde la partie circulaire \(CD\). La position de la bille \(M\) est repérée par l’angle \(\theta = (OD, OE)\) en un point \(E\) de \(CD\).
   a) Exprimer en fonction de \(g\), \(r\) et \(\theta\) la vitesse \(V_E\) au point \(E\).
   b) Donner en fonction de \(m\), \(g\), \(r\) et \(\theta\) l’intensité de la réaction \(R\) de la gouttière sur la bille au point \(E\).
   c) Calculer la valeur de l’angle \(\theta\) pour laquelle la bille \(M\) quittera la gouttière.

Partie B. Dans cette partie on néglige les forces de frottement et on supprime la partie CD. La bille \(M\) de masse \(m = 50\) g est abandonnée sans vitesse initiale au point \(A\) de la gouttière. En \(C\) elle heurte une autre bille \(M’\) ponctuelle de masse \(m’ = 200\) g initialement au repos (voir figure 2).

1. Juste après le choc supposé parfaitement élastique, la vitesse de la bille \(M’\) est égale à 1,6 m·s⁻¹. En admettant que toutes les vitesses sont colinéaires avant et après le choc, calculer : a) la vitesse \(V_0\) de la bille \(M\) juste avant le choc ; b) la vitesse \(V\) de \(M\) juste après le choc.
2. Après le choc, la bille \(M’\) quitte la gouttière.
   a) Quelle est la nature du mouvement ultérieur de \(M’\) ?
   b) Écrire l’équation cartésienne de sa trajectoire dans un repère d’axes orthonormés \((Cx, Cy)\).
   c) Calculer la distance de la verticale du point \(C\) au point d’impact \(K\) de la bille \(M’\) sur le sol horizontal situé à \(h = 80\) cm de \(C\).

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2004 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 02-03 novembre 2004 (année 2004-2005) — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 min

Documents non autorisés. Les quatre exercices sont obligatoires.

Exercice 1

Sur une piste d’essai rectiligne de longueur \(A_{1}A_{4} = 4\) km, une voiture expérimentale, partant du point \(A_1\) sans vitesse initiale se déplace le long de \(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}\) selon les phases suivantes : phase 1 : \(A_1\) – \(A_2\) : phase de démarrage d’accélération \(a_1 = 0{,}2\) m/s² ; phase 2 : \(A_2\) – \(A_3\) : mouvement uniforme ; phase 3 : \(A_3\) – \(A_4\) : phase de ralentissement d’accélération \(|a_2| = 0{,}1\) m/s². La vitesse de la voiture est nulle en \(A_4\).

1. Donner l’expression de la vitesse pour chaque phase.
2. Le temps mis par la voiture pour parcourir le tronçon \(A_2\)-\(A_3\) est 3 minutes. Calculer la vitesse en chaque point \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\).
3. Calculer le temps mis par la voiture pour atteindre ces 4 points.
4. Calculer la distance parcourue pour chaque phase.
5. Construire les diagrammes de vitesse et d’accélération en fonction du temps.

Exercice 2

Un circuit électrique comporte en série une résistance \(R\), une bobine d’inductance \(L\) de résistance négligeable et un condensateur \(C\). Il est alimenté par une source de tension sinusoïdale \(u(t)\), d’amplitude constante 12 volts et de fréquence \(N\) variable. On donne \(R = 10\) [Ω], \(L = 1\) [Ω] [ainsi sur le scan], \(C = 5\) [µF].

1. Faire le schéma du circuit.
2. Le circuit est parcouru par un courant d’intensité \(i(t) = I_m \sin(2\pi N)t\).
   a) Donner l’expression de la tension aux bornes de \(R\), de \(L\) et de \(C\).
   b) Calculer l’impédance \(Z\) du circuit pour une fréquence \(N = 100\) Hz.
   c) Construire le diagramme de Fresnel pour obtenir l’impédance \(Z\).
3. Calculer la valeur des fréquences notées \(N_R\) mettant le circuit en résonance.
4. Le circuit parcouru par le courant \(i(t)\) dissipe de l’énergie par effet Joule notée \(dE_J\). Calculer \(E_J\) pendant une période de résonance \(T_R\).
5. Le circuit LC emmagasine de l’énergie que l’on appelle énergie électrique totale. Donner l’expression de l’énergie emmagasinée par le condensateur notée \(E_C\) et par l’inductance notée \(E_L\). Montrer que l’énergie électrique totale notée \(E = E_J + E_C = \dfrac{1}{2}LI_m^2\).

Exercice 3

On étudie l’image d’un objet lumineux \(AB\) placé perpendiculairement sur l’axe optique d’une lentille mince convergente de distance focale \(f_1 = 10\) cm.

1. L’objet \(AB\) de 5 cm de hauteur est placé à 30 cm de la lentille. Déterminer par calcul la position, la nature, le sens et la grandeur de l’image, puis vérifier les résultats par une construction géométrique.
2. Mêmes questions qu’en 1) pour le même objet placé à 5 cm de la lentille.
3. À quelle distance de l’objet faut-il placer la lentille pour obtenir une image \(A’B’\) 5 fois plus grande que l’objet ?
4. On étudie ensuite un système optique constitué de 2 lentilles minces convergentes non accolées. La lentille \(L_1\) de distance focale \(f_1 = 10\) cm et la lentille \(L_2\) de distance focale \(f_2 = 20\) cm. Distance \(O_1O_2 = 20\) cm.
5. Déterminer par calcul et par construction géométrique l’image finale de l’objet placé à 15 cm de la lentille \(L_1\).

Exercice 4

Un système est constitué par 3 cylindres homogènes \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\) de même nature et de même épaisseur. Les 3 cylindres sont solidaires sur un même axe. \(C_1\) a une masse \(M\) et de rayon \(R\), \(C_2\) et \(C_3\) ont une masse \(M’\) et de rayon \(\dfrac{R}{2}\).

1. Calculer la masse des cylindres \(C_2\) et \(C_3\).
2. Montrer que le moment d’inertie de l’ensemble est \(J = \dfrac{9MR^2}{16}\).
3. On réalise avec le système un pendule de torsion d’axe \(OO’\) vertical (fig. 1).
   a) On fait tourner le système d’un angle \(\theta_0\) à partir de sa position d’équilibre et on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Donner l’équation différentielle régissant le système et en déduire l’expression de sa période.
   b) La période des oscillations est 5 s. Calculer la constante de torsion \(OO’\) du fil pour \(M = 100\) g et \(R = 8\) cm.
4. Les 3 cylindres sont maintenant placés à une extrémité d’un ressort vertical de constante de raideur \(k = 30\) N·m⁻¹. Le système est d’abord en équilibre. On écarte les cylindres vers le bas et on les abandonne à eux-mêmes. Ils prennent un mouvement oscillatoire. Établir l’équation différentielle de ce mouvement et calculer la période des oscillations.

Fig. 1 (pendule de torsion) et schéma du ressort vertical — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2005 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 08-09 novembre 2005 (année universitaire 2005-2006) — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 02 heures 30 min

Exercice 1/3

La roue d’un moteur est animée d’un mouvement de rotation uniforme dont la fréquence est de \(n = 600\) t/min jusqu’au moment où elle est freinée. À partir du moment de freinage, elle acquiert un mouvement uniformément décéléré et s’arrête au bout de 10 secondes. On demande :

1. la vitesse angulaire de la roue avant le freinage ;
2. l’accélération de la roue pendant le freinage ;
3. la vitesse et l’accélération d’un point de la roue situé à un rayon \(R = 10\) cm, à un temps \(t = 5\) s du début de freinage ;
4. le nombre de rotations que fait la roue à partir du moment de freinage jusqu’à l’arrêt complet.

Exercice 2/3

Schéma du circuit — de \(M\) à \(N\), en série : entre \(M\) et \(P\) (tension \(U_R\)), les résistances \(R_1\) et \(R_2\) montées en parallèle, suivies de \(R_3\) ; entre \(P\) et \(K\) (tension \(U_L\)), la bobine \(L\) ; entre \(K\) et \(N\) (tension \(U_C\)), le condensateur \(C\) ; \(U\) est la tension entre \(M\) et \(N\). La bobine et le condensateur sont représentés réglables. Voir le sujet original ci-dessous.

Un circuit comprend (voir schéma ci-dessus) :

• trois résistances \(R_1 = 100\) Ω ; \(R_2 = 100\) Ω ; \(R_3 = 50\) Ω ;
• une bobine d’inductance \(L\) variable et de résistance négligeable ;
• un condensateur de capacité \(C\).

Une tension sinusoïdale, de valeur efficace \(U_{ef} = 150\) V, et de fréquence \(f\) est appliquée aux bornes \(MN\) du circuit.

1. Pour une valeur \(f_1\) de \(f\), les tensions efficaces aux bornes des appareils sont telles que \(U_L = U_C = 3 U_R\). Calculer l’intensité efficace du circuit ; en déduire les valeurs de \(U_R\), \(U_L\), \(U_C\) ; en déduire les impédances de la bobine et du condensateur en fonction de \(R\).
2. La tension appliquée gardant toujours la valeur efficace \(U = 150\) V, on règle la fréquence \(f_2 = 2f_1\). Déterminer : 2.1. l’intensité efficace \(I’_{ef}\) ; 2.2. le déphasage \(\varphi’\) entre la tension appliquée aux bornes \(MN\) du circuit et l’intensité ; 2.3. la tension efficace existant entre les bornes \(MP\), \(PK\), \(KN\) de chaque appareil.

Exercice 3/3

1. On dispose d’un objet lumineux \(AB\) et d’un écran ; l’objet et l’écran se situent à une distance invariable de 2 m l’un de l’autre. On veut obtenir sur l’écran une image \(A’B’\) de \(AB\) trois fois plus grande que l’objet en utilisant une lentille convergente dont l’axe principal est perpendiculaire à l’écran et passe par le point \(A\). 1.1) Déterminer par rapport à \(A\) la position de la lentille. 1.2) Quelle est la distance focale de cette lentille ?
2. On accole une lentille convergente mince \(L_1\) de distance focale \(f_1′ = 20\) cm à une autre lentille mince \(L_2\). Le système obtenu a une vergence de +15 δ. 2.1) Quelle est la distance focale \(f_2’\) de la lentille \(L_2\) ? 2.2) Quelle est la nature de l’image ?
3. Les deux lentilles ne sont pas accolées. Un objet lumineux est placé à 40 cm de la lentille la moins convergente. À quelle distance de celle-ci faut-il placer la 2^e lentille pour que le système donne finalement de l’objet une image réelle et égale à celle-ci ? Préciser alors la distance objet-image.

Énoncé — session 2006 (année 2006-2007) transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2006-2007 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 min

Documents non autorisés. Les quatre exercices sont obligatoires.

Exercice 1/4

On considère un oscillateur élastique horizontal de raideur \(K = 4\) N·m⁻¹ et de masse \(m = 200\) g. L’amplitude des oscillations est de 2,5 cm. Les frottements sont négligés ; l’origine sur l’axe horizontal est la position de l’extrémité libre du ressort lorsqu’il a sa longueur à vide.

1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle élastique de cet oscillateur.
   b) Déterminer l’énergie potentielle maximale.
   c) En déduire la valeur de l’énergie mécanique.
2. a) Quelle est la valeur maximale de l’énergie cinétique de cet oscillateur ?
   b) Calculer la valeur maximale de la vitesse.
   c) Pour une élongation de 2 cm, calculer : l’énergie potentielle élastique ; l’énergie cinétique ; la valeur de la vitesse.
3. Les frottements ne sont plus négligés.
   a) Comment varie l’amplitude en fonction du temps ?
   b) À quelle condition la pseudo-période des oscillations est-elle peu différente de la période propre de l’oscillateur non amorti correspondant ?
   c) Représenter alors l’allure de l’évolution de l’élongation en fonction du temps.

Exercice 2/4

On considère un dipôle constitué d’une résistance \(R\) non inductive et d’une bobine d’inductance \(L\) en série. On l’alimente par un courant électrique sinusoïdal de fréquence \(N = 50\) Hz. La mesure a donné les résultats suivants : wattmètre : puissance moyenne dissipée : 36 W ; voltmètre : 120 V efficace ; ampèremètre : 0,6 A efficace.

1. a) Calculer le facteur de puissance (\(\cos \varphi\)) de l’ensemble et en déduire \(\varphi\) [degrés].
   b) Calculer l’impédance \(Z\).
   c) Calculer les éléments \(R\) et \(L\).
2. On monte en série avec le dipôle un condensateur de capacité variable \(C\) pour former un circuit résonant. L’ensemble est alimenté avec la même tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 120 V.
   a) Déterminer à cette fréquence la valeur de la capacité \(C\) pour qu’il y ait résonance.
   b) Donner l’expression de la puissance absorbée à la résonance.
   c) Pour quelles fréquences la puissance moyenne consommée est-elle égale à la moitié de celle absorbée à la résonance ?
   d) En déduire la valeur du facteur de qualité \(Q\).

Exercice 3/4

1. Une lentille mince convergente \((L_1)\), de centre optique \(O_1\), donne d’un objet \(AB\) haut de 5 cm et situé à 20 cm en avant de la lentille, une image réelle \(A_1B_1\) située à 60 cm après la lentille. \(A\) est situé sur l’axe principal et \(AB\) est perpendiculaire à l’axe. Calculer la distance focale de la lentille \((L_1)\) et sa vergence \(C_1\).
2. L’objet \(AB\) est placé à 10 cm en avant de la lentille \((L_1)\).
   a) Déterminer par calcul les caractéristiques de l’image \(A_1B_1\) (position, sens, grandeur, nature).
   b) Vérifier par construction graphique ces caractéristiques (échelle \(\dfrac{1}{5}\)).
3. La lentille \((L_1)\) est maintenant placée entre l’objet \(AB\) et un écran \((E)\). Soit \(d\) la distance entre l’objet \(AB\) et l’écran \((E)\). On désigne par \(x\) la distance entre l’objet et la lentille \((L_1)\).
   a) Donner la condition sur \(d\) pour que l’on ait une image réelle \(A_1B_1\) renversée de même taille que l’objet. En déduire \(x\).
   b) On enlève ensuite l’écran \((E)\). On accole la lentille \((L_1)\) à une lentille \((L_2)\) de vergence \(C_2\). Calculer \(C_2\) pour que l’on ait une image renversée \(A_1B_1\) de même taille que l’objet \(AB\) et située à 1 m de ce dernier.

Exercice 4/4

Un treuil assimilé à un cylindre homogène de rayon \(R\), de masse \(M\), tourne autour d’un axe fixe horizontal sans frottement et passant par son centre de gravité à une vitesse constante de 300 tr/mn. On donne \(R = 10\) cm et \(M = 20\) kg.

1. Calculer son moment d’inertie \(J\).
2. Si on lui applique un couple de freinage constant \(M_f = 0{,}13\) N·m, déterminer la durée de freinage et le nombre de tours effectués.
3. On monte sur l’axe du treuil une manivelle de longueur \(L\). On enroule un fil inextensible de masse négligeable, sans glisser sur le cylindre et dont le bout est accroché à un corps \(A\) de masse \(m = 10\) kg. Quelle est la condition sur \(F\) pour que le treuil soit en rotation uniforme lors de la montée du corps \(A\) ? (\(F\) est perpendiculaire à la manivelle.)
4. On enlève la manivelle et on abandonne le système sans vitesse initiale. Les frottements sont négligés. Déterminer la nature du mouvement au tout premier instant. Donner l’expression littérale et la valeur numérique de l’accélération angulaire du treuil et de l’accélération du corps \(A\). (Prendre \(g = 10\) N/kg.)

Schéma du treuil, de la manivelle et du corps \(A\) — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2007 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 05-06 décembre 2007 (année 2007-2008) · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 mn

Documents non autorisés.

Exercice I (4 points)

Un doublet formé de deux lentilles minces de distances focales \(f’_1\) et \(f’_2\), situées à la distance \(e\) est tel que :

1. Un objet placé à 40 cm en avant de l’une des lentilles \(L_1\) a une image réelle située à 12 cm de l’autre lentille \(L_2\) et de grandissement \(\gamma_1 = -1{,}2\).
2. Un objet placé à 60 cm en avant de cette même lentille \(L_2\) donne une image de grandissement \(\gamma_2 = -\dfrac{1}{2}\).

Calculer \(f’_1\), \(e\), \(f’_2\).

Exercice II (4 points)

La masse suspendue \(M\) d’une voiture automobile peut être considérée comme divisée en deux masses ponctuelles \(M_1\) et \(M_2\) liées par une traverse rigide \(A_1A_2\) de masse négligeable. \(M_1\) repose sur la suspension avant figurée par le ressort \(R_1\) parfaitement élastique, de raideur \(k_1\), de masse négligeable. \(M_2\) repose sur la suspension arrière (ressort \(R_2\), de raideur \(k_2\)). Le centre de gravité des masses \(M_1\) et \(M_2\) est en \(G\), à la distance \(l_1\) de \(A_1\) et \(l_2\) de \(A_2\). L’expérience montre qu’un tel système peut prendre deux types d’oscillations pendulaires : a) oscillations de translation verticale (1), avec une période dite de rebondissement vertical : \(T_v\) ; b) oscillations de rotation autour d’un axe \((\Delta)\) perpendiculaire au plan de la figure, donc à \(A_1A_2\), et passant par \(G\) (flèche (2)). La période est dite période de galop : \(T_g\). On désignera par \(\rho\) le rayon de giration du système des masses (\(M_1\), \(M_2\)) autour de l’axe \((\Delta)\).

Schéma de la traverse \(A_1A_2\), des ressorts \(R_1\), \(R_2\) et de l’axe \((\Delta)\) — voir le scan ci-dessous.

1. Déterminer \(T_v\) et \(T_g\).
2. Pour assurer aux passagers le meilleur confort, on cherche à obtenir : \(T_1 = T_2 = T_v = T_g = T\) (période unique). Montrer que cela entraîne : \(\rho^2 = l_1 \cdot l_2\).

Exercice III (4 points)

Aux bornes d’une distribution d’énergie en courant alternatif à 50 périodes, entre lesquelles on maintient une tension efficace de 120 volts, on place en série une capacité de 4 µF, une inductance de 0,25 H ayant une résistance de 500 ohms (voir fig.). Calculer :

1. L’intensité efficace.
2. Le déphasage de l’intensité sur la tension.
3. La différence de potentiel aux bornes de la capacité et aux bornes de la self.

Schéma du circuit (\(C = 4\) µF ; \(L = 0{,}25\) H, \(R = 500\) Ω ; \(U = 120\) V) — voir le scan ci-dessous.

Problème (8 points)

Sur la gorge d’une poulie de masse négligeable, mobile sans frottement autour d’un axe horizontal, passe un fil fin inextensible et de masse négligeable, dont les extrémités supportent deux corps \(A\) et \(B\) de masses \(M_A\) et \(M_B\).

1. Dans une première expérience, les deux brins de fils sont verticaux \(M_A = 0{,}539\) kg et \(M_B = 0{,}441\) kg. Calculer : a) l’accélération du système ; b) l’espace parcouru par chaque corps ; la vitesse et l’énergie cinétique de chaque corps, 3 secondes après avoir abandonné le système à lui-même.
2. Dans une deuxième expérience, le brin de fil supportant \(B\) est parallèle à la plus grande pente d’un plan incliné (sur lequel \(B\) peut glisser sans frottement) formant un angle de 30° avec le plan horizontal.
   a) Quelles valeurs doit-on donner à \(M_A\) et \(M_B\) dont la somme a toujours la même valeur 0,980 kg pour que la vitesse du système, 3 secondes après l’avoir abandonné à lui-même, soit la même que précédemment, le corps \(B\) remontant le plan ?
   b) Quelle est la tension du fil au cours du mouvement ?
3. Dans la deuxième expérience, à l’instant \(t = 3\) s le fil se casse.
   a) Quel est le mouvement pris par le corps \(B\) ?
   b) Trouver la position et la vitesse du corps \(B\) 1,2 s après la rupture du fil. On prendra \(g = 9{,}80\) m/s².

Énoncé — session 2008 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 26-27 novembre 2008 (année 2008/2009) — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Exercice 1 (4 points)

On considère une lentille \(L\) convergente mince, de centre optique \(O\) et de distance focale \(f = 15\) cm. Un objet lumineux \(AB\) est placé perpendiculairement à l’axe optique qui contient les points \(A\) et \(A’\) image de \(A\). Pour obtenir une image nette de l’objet, on déplace la lentille, le long de son axe optique, entre l’écran d’observation \(E\) et cet objet. Soit \(D = 80\) cm la distance entre l’écran \(E\) et \(AB\). On demande de :

1. déterminer les positions de la lentille pour lesquelles on observe une image nette de \(AB\) sur l’écran ;
2. donner les caractéristiques de l’image obtenue pour chacune des positions précédentes.

Exercice 2 (8 points)

La figure 1 représente la trajectoire d’une voiture qui est composée d’une partie horizontale \((AB)\) et d’une côte \((BCD)\) de pente 3 %. La voiture part sans vitesse initiale de \(A\) pour aller en \(D\). À l’intérieur de cette voiture est accroché au plafond un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur \(l = 40\) cm au bout duquel est fixée une petite boule assimilable à un point matériel. La masse de la voiture chargée est \(M = 1\,000\) kg. Soit \(F_f = 200\) N la résultante de toutes les forces de frottement qui est constante et parallèle au déplacement. L’accélération de la pesanteur est \(g = 10\) m/s².

1. Calculer la vitesse \(V_B\) en \(B\) de la voiture lorsqu’elle parcourt la route \(AB = 2\) km avec une accélération constante \(a = 0{,}1\) m/s².
2. Le chauffeur garde jusqu’en \(C\) cette vitesse acquise en \(B\) pour monter la côte. Calculer la force \(F_m\) et la puissance \(P_m\) que le moteur de cette voiture doit développer pour maintenir cette vitesse.
3. À l’arrivée en \(C\), le chauffeur débraye (annule l’action du moteur) et freine en même temps pendant que la voiture continue à monter la côte jusqu’à l’arrêt en \(D\) tel que \(CD = 200\) m. Calculer : a) la force de freinage \(F_r\) ; b) la quantité de chaleur dégagée \(Q\) résultant du freinage (en joules) ; c) l’angle d’inclinaison \(\beta\) du pendule par rapport à la verticale au cours du freinage ; d) la période \(T\) des oscillations du pendule lorsque la voiture s’arrête en \(D\). On néglige la résistance de l’air.

Figure 1 : route \(A\)–\(B\) horizontale, côte \(B\)–\(C\)–\(D\) — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3 (8 points)

On considère le montage (Fig. 2a) formé par deux rails \((AB)\) et \((CD)\) parallèles, horizontaux de résistance négligeable, reliés aux bornes d’un générateur de force électromotrice \(E = 10\) V, de résistance intérieure \(r = 1\) Ω. Une tige homogène conductrice \((MN)\) de résistance \(r_1 = 1\) Ω est disposée perpendiculairement aux rails et qui peut glisser sans frottement sur ces rails. Pour créer un champ magnétique uniforme d’intensité \(B = 0{,}4\) T, on place autour de la tige \((MN)\) un aimant en U de largeur \(l = 10\) cm.

1. Représenter sur la tige \((MN)\) la force électromotrice \(\overline{F}\), le champ magnétique \(\overline{B}\) et le sens du courant \(I\) qui circule dans la tige.
2. Calculer l’intensité \(I\) du courant.
3. Déterminer l’intensité \(F\) de la force électromagnétique.
4. Calculer la valeur de la masse \(m\) à suspendre au bout d’un fil non conducteur, souple, inextensible, de masse négligeable attaché au milieu de la tige pour immobiliser celle-ci. On prendra \(g = 10\) m/s².
5. On remplace la masse par un ressort de raideur \(k = 10\) N/m et de masse négligeable pour limiter le déplacement de la tige (Fig. 2b). Calculer la variation \(\Phi\) du flux magnétique à travers le circuit qui a lieu entre le début et la fin de ce déplacement dû à ce ressort lorsque le circuit est fermé.

Figures 2a et 2b — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2009 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2009/2010 · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 minutes

Exercice 1

Un canon éjecte ses obus avec une vitesse \(v_0 = 200\) m/s. On désire atteindre un objectif situé au sommet d’une montagne de hauteur \(h = 1\,000\) m. On pose \(x_m\) la distance horizontale entre le canon et l’objectif et \(g\) l’accélération de la pesanteur. En négligeant la résistance de l’air, ainsi que les effets dus à la rotation de la terre :

1. Trouver la relation entre \(x_m\), \(v_0\), \(g\) et \(h\). Pour \(g = 10\) S.I., calculer \(x_m\).
2. Chercher, en fonction de l’angle \(\alpha\), les points de coordonnées \((X, Y)\) qui peuvent être atteints par l’obus.
3. On se place à la moitié de la distance \(x_m\) qui vient d’être déterminée et on appelle \(\alpha\) l’angle que doit faire l’axe du canon avec l’horizontale pour atteindre l’objectif. Trouver la relation entre \(x_m\), \(h\), \(v_0\), \(g\) et \(\alpha\). Calculer la ou les valeurs de \(\alpha\) en degrés et en minutes.
4. Calculer la vitesse de l’obus au moment de l’impact avec l’objectif.

Schéma : parabole de sûreté, montagne, angle \(\alpha\), distance \(x_m\) — voir le scan ci-dessous.

Exercice 2

Un objet \(AB\) est observé à travers une lentille mince \(L_1\) convergente, de distance focale 4 cm. L’objet \(AB\) a une hauteur de 1 cm et est situé à 2 cm de la lentille \(L_1\).

1. Déterminer les caractéristiques de l’image (position, nature, grandeur et sens par rapport à l’objet).
2. Devant la lentille \(L_1\) est placée une autre lentille mince convergente de distance focale 4 mm. Les deux lentilles sont axiales et la longueur optique \(\Delta = F’_2F_1 = 3\) cm. Le doublet donne à un objet \(AB\) une image \(A’B’\) observée par un œil situé au foyer principal \(F’_1\).
   • Construire l’image donnée par le doublet.
   • Montrer que pour une vision à l’infini de l’image \(A’B’\) la puissance de ce doublet s’exprime par \(P = \dfrac{\Delta}{f_1f_2}\). Justifier l’unité de dioptrie utilisée pour la puissance. Calculer sa valeur.
   • En déduire la longueur d’un objet vu à travers ce doublet sous un angle \(\alpha = 5’\).

Exercice 3

Considérons le système oscillateur de la figure (ressort \(K_1\), masse \(m_1\), ressort \(K_{12}\), masse \(m_2\), ressort \(K_2\), entre deux supports fixes).

Système oscillateur à deux masses — voir le scan ci-dessous.

1. Donner les équations différentielles des mouvements de \(m_1\) et \(m_2\).
2. Donner l’équation des pulsations.
3. En considérant la masse \(m_2\) immobile, déterminer la pulsation propre du système \(m_1\), et ensuite en considérant \(m_1\) immobile, la pulsation propre du système \(m_2\).
4. En posant \(m_1 = m_2 = m\) ; \(K_1 = K_2 = K\) : déterminer les sens du mouvement du système, en étudiant les signes des amplitudes ; calculer la période de \(m_1\) et \(m_2\).

Exercice 4

Un fil de cuivre de longueur totale \(\delta\) est enroulé autour d’un cylindre creux isolant. Il constitue ainsi un solénoïde de longueur \(l = 50\) cm, de diamètre 8 cm et comportant \(N = 500\) spires. Un Tesla-mètre, réglé sur la sensibilité 10 V → 0,5 T, est inséré au centre.

1. Le Tesla-mètre indique 26,1 mV, quelle est la valeur du champ magnétique ?
2. Calculer la perméabilité du vide.
3. Calculer l’inductance du solénoïde.
4. Calculer le flux propre à travers le solénoïde s’il est parcouru par un courant continu de \(I = 1\) A.
5. Calculer la f.é.m. auto-induite lorsque l’intensité du courant varie linéairement de 1 A à 0 A, en 70 ms. Interpréter son signe.
6. Une aiguille aimantée horizontale est placée au centre du solénoïde. Elle est perpendiculaire à l’axe du solénoïde lorsque \(I = 0\) A. Quelle est l’intensité du courant pour que l’aiguille tourne d’un angle de 70° ? (Composante horizontale du champ géomagnétique \(B_0 = 2 \cdot 10^{-5}\) T.)

Exercice 5

La broche d’un tour à bois est entraînée par un moteur de puissance \(P = 500\) W, à deux fréquences de rotation \(N_1 = 1\,500\) tr/mn et \(N_2 = 3\,200\) tr/mn. Le tournage s’effectue avec prise de pièce entre pointes. La pointe fixe exerce sur la pièce une action mécanique dont la projection, sur l’axe \(Ox\) passant par les pointes, du moment résultant vaut \(M = 0{,}5\) N·m. Les dimensions de la pièce de bois à usiner sont : \(L = 600\) mm (longueur) et \(D = 95\) mm (diamètre). La densité du bois est supposée égale à 1. Le rotor de la perceuse est assimilé à un solide de moment d’inertie égal à \(I_{\text{rot}} = 2 \cdot 10^{-4}\) kg·m².

1. Déterminer le couple moteur \(C\).
2. Déterminer le moment d’inertie de la pièce de bois.
3. Calculer la vitesse angulaire nominale acquise à la date \(T\).

Énoncé — session 2011 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 23-24 février 2011 (année 2010/2011) — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Exercice 1 (4 points)

On considère un système optique accolé \(L\), de centre optique \(O\), formé de deux lentilles minces \(L_1\) et \(L_2\) de vergences respectives : \(C_1 = \dfrac{20}{3}\) δ et \(C_2 = -5\) δ. Devant ce système, à une distance 30 cm de \(O\), un objet lumineux \(AB\) de hauteur 10 cm est placé perpendiculairement à l’axe optique qui contient les points \(A\) et \(A’\) image de \(A\).

1. Calculer la distance focale \(f\) du système.
2. Donner les caractéristiques de l’image \(A’B’\) de \(AB\).
3. Construire l’image \(A’B’\) (échelle : 1 cm ↔ 10 cm).

Exercice 2 (8 points)

La figure 1 représente une résistance \(r = 20\) Ω branchée en série avec une bobine de résistance \(R\) et d’inductance \(L\). Trois voltmètres (V), (\(V_1\)) et (\(V_2\)) indiquent respectivement les valeurs efficaces : \(U = 110\) V ; \(U_1 = 36\) V ; \(U_2 = 81\) V des trois différences de potentiel \(u = v_A – v_B\) ; \(u_1 = v_A – v_C\) ; \(u_2 = v_C – v_B\). Soit \(f = 50\) Hz la fréquence et \(i\) la valeur instantanée de l’intensité du courant. On demande de calculer :

1. l’impédance de la bobine ;
2. les valeurs de \(R\) et \(L\) ;
3. le déphasage entre \(u_2\) et \(i\) ;
4. la puissance moyenne consommée par l’ensemble formé par la bobine et la résistance \(r\).

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3 (8 points)

Une bille \(B\) de masse \(m\), assimilable à un point matériel, est attachée aux points \(A\) et \(C\) d’un axe de rotation vertical \((D)\) par deux fils inextensibles \(AB\) et \(BC\) de même longueur \(l\) et de masses négligeables. L’ensemble tourne autour de \((D)\) à une vitesse angulaire constante \(\omega_1\) permettant aux deux fils de former un angle \(\alpha\) avec \((D)\) (Fig. 2).

1. Déterminer les tensions \(T_1\) et \(T_2\) respectives des fils \(AB\) et \(BC\) en fonction de \(\omega_1\), \(m\), \(l\), \(\alpha\) et \(g\) (\(g\) est l’accélération de la pesanteur).
2. Quelles sont les expressions de \(T_1\) et \(T_2\) dans le cas où \(AC = AB = BC = l\) ?
3. La bille et les fils précédents sont remplacés par une bille \(M\) de masse \(m\) suspendue à un ressort de raideur \(k\) et de longueur \(l_0\) et pouvant glisser sur une tige articulée en \(A\). La rotation de l’ensemble à la vitesse angulaire constante \(\omega\) autour de \((D)\) permet d’obtenir l’angle \(\theta\) indiqué par la figure 3. En négligeant les frottements et les masses du ressort et de la tige, déterminer : a) l’allongement \(x\) du ressort correspondant à cette position angulaire \(\theta\) ; b) la vitesse angulaire minimale \(\omega_{\min}\) pour que le système (\(M\) ; tige ; ressort) s’écarte de \((D)\).

Figures 2 et 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2013 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 30-31 janvier 2013 (année 2012/2013) — Ingéniorat · Options : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Exercice 1 (6 points)

Un homme \(AB\) de 1,70 m dont les yeux \(O\) sont à 1,60 m au-dessus du sol se place devant un miroir plan vertical \(MM’\) (Figure 1).

Déterminer la hauteur minimale \(h\) de ce miroir et la distance \(d\) au sol pour que l’homme s’y voie tout entier.

Figure 1 — l’homme \(AB\) debout (\(A\) : sommet de la tête, \(O\) : les yeux, \(B\) : les pieds) face au miroir vertical \(MM’\) ; \(h\) est la hauteur \(MM’\) du miroir et \(d\) la hauteur de son bord inférieur \(M’\) au-dessus du sol, \(H\) étant le pied de la verticale du miroir. Voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 2 (6 points)

On dispose d’un secteur de distribution de courant alternatif sous 110 volts efficaces et de fréquence 50 Hz. On suppose qu’à l’instant \(t = 0\), la différence de potentiel est maximale.

1. Déterminer l’expression en fonction du temps \(t\) de la différence de potentiel \(u\) entre les bornes d’une prise de courant alimentée par ce secteur.
2. Quelle est l’expression du courant \(i\) en fonction du temps \(t\) traversant une lampe à incandescence consommant une puissance de 75 watts branchée à ce secteur ?
3. Calculer l’inductance \(L\) d’une bobine de résistance \(R = 40\) Ω mise à la place de la lampe précédente et traversée par un courant d’intensité efficace \(I = 2\) A.

Exercice 3 (8 points)

Une tige \(AB\) rectiligne, homogène de longueur \(2\ell\) est suspendue en son milieu \(G\) par un fil d’acier vertical fixé en \(O\) (Figure 2). La tige peut osciller horizontalement par torsion de ce fil de masse négligeable et la durée d’une oscillation est \(T_1\).

Mais si on place aux extrémités \(A\) et \(B\) de la tige deux petites boules identiques de même masse \(m\) chacune, la durée d’une oscillation devient \(T_2\). On demande de déterminer :

1. l’équation différentielle du mouvement de la tige seule si \(J_1\) est le moment d’inertie de cette tige par rapport à l’axe \(OG\), \(C\) la constante de torsion du fil et \(\theta\) l’angle de rotation de la tige autour de \(OG\) ;
2. la constante \(C\) de torsion du fil en fonction de \(J_1\) et \(T_1\) ;
3. le moment d’inertie \(J_2\) par rapport à \(OG\) du système formé par la tige et les deux petites boules en fonction de \(J_1\), \(m\) et \(\ell\) ;
4. le moment d’inertie \(J_1\) en fonction de \(m\), \(\ell\), \(T_1\) et \(T_2\) ;
5. l’énergie potentielle élastique \(E_p\) du fil si on fait tourner la tige d’un angle \(\alpha\) autour de \(OG\).

Figure 2 — tige horizontale \(AB\), de milieu \(G\) (\(GA = GB = \ell\)), suspendue au fil vertical \(OG\) dont l’extrémité \(O\) est fixée à un support. Voir le sujet original ci-dessous.

Énoncé — session 2014 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année — Cycle ingénieur · Année universitaire 2014/2015 · Session du 03 et 04 décembre 2014 · Options : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Exercice 1

Soit une bobine sans noyau de fer doux de coefficient d’auto-induction \(L = 0{,}1\ \text{H}\) et de résistance \(R = 50\ \Omega\). On applique aux bornes de cette bobine une différence de potentiel sinusoïdale \(u = U_m \sin \omega t\), de valeur \(U = 118\ \text{V}\) et de fréquence \(N = 50\ \text{Hz}\).

1. Construire le diagramme de Fresnel relatif à cette expérience.
2. Calculer le déphasage entre l’intensité \(i\) et la différence de potentiel \(u\) instantanées.
3. Donner l’expression de l’intensité instantanée de ce courant \(i\).

Exercice 2

On considère le dispositif de Laplace formé par les deux rails \(R_1\) et \(R_2\) horizontaux et reliés à l’électromoteur \(G\) de résistance intérieure \(r = 0{,}8\ \Omega\) et de f.é.m. \(E = 4\ \text{V}\). Une barre \(MN\) de longueur \(\ell = 10\ \text{cm}\) est posée sur les rails sur lesquels elle peut glisser sans frottement. L’ensemble est placé dans un champ magnétique \(B = 0{,}2\ \text{T}\) uniforme, vertical et dirigé vers le haut (Fig. 1). On néglige les résistances électriques de \(R_1\), \(R_2\) et \(MN\).

1. Représenter sur un schéma clair les sens du courant \(I\) et de la force électromagnétique \(F\) appliquée à la barre \(MN\).
2. La barre s’est déplacée d’une distance \(x = 15\ \text{cm}\), calculer :
   a) l’intensité \(I\) du courant ;
   b) la valeur de \(F\) ;
   c) le travail \(W\) de \(F\) ;
   d) la variation du flux magnétique \(\Phi\) à travers le circuit entre les deux positions extrêmes de la barre.

Figure 1 — les rails horizontaux \(R_1\) et \(R_2\), vus en perspective, portent la barre \(MN\) (\(M\) sur \(R_1\), \(N\) sur \(R_2\)) ; le générateur \(G\) est branché à l’extrémité droite des rails (trait long de son symbole relié à \(R_1\), trait court relié à \(R_2\)), le champ \(B\) est vertical, dirigé vers le haut, et une flèche \(v\), orientée vers la droite (vers G), indique le déplacement de la barre : voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 3

Un chariot de masse totale \(M = 1\ \text{kg}\) se déplace sur deux rails rectilignes comportant une partie horizontale \(AB\) et une portion \(BC\) inclinée à 30° sur le plan horizontal (Fig. 2).

1. Partant sans vitesse initiale de \(A\), le chariot est soumis à une force de traction horizontale constante \(F\) s’exerçant pendant 2 s sur un parcours de 6 m. Calculer l’intensité de cette force.
2. On supprime ensuite la force de traction. Les frottements sont négligeables. Le véhicule parcourt encore 6 m avant d’arriver en \(B\). Quelle est la durée de cette phase ?
3. Le chariot aborde le plan incliné et arrive en \(C\) avec une vitesse nulle. Calculer la distance \(BC\) et la durée de cette troisième phase du mouvement.
4. Un ressort avec une masse \(m = 20\ \text{g}\) est suspendu à une potence fixée au chariot. Le plan de la potence est perpendiculaire aux rails. Sachant que ce ressort s’allonge de 1 cm pour une force de 0,1 N, calculer pour chacune des deux premières phases du mouvement l’allongement du ressort et l’angle que fait l’axe de ce ressort avec le plan de la potence.

Figure 2 — voie horizontale \(AB\) (\(A\) à droite, \(B\) à gauche) raccordée en \(B\) à la rampe \(BC\) inclinée de 30° sur l’horizontale ; sur le chariot, une potence porte le ressort auquel est suspendue la masse \(m\) : voir le sujet original ci-dessous.

Énoncé — session 2016 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 07-08 décembre 2016 (année universitaire 2016-2017) · Options : Toutes · Durée : 2 heures 30 mn

Documents non autorisés.

Exercice I (4 points)

La masse suspendue \(M\) d’une voiture automobile peut être considérée comme divisée en deux masses ponctuelles \(M_1\) et \(M_2\) liées par une traverse rigide \(A_1A_2\) de masse négligeable ; \(M_1\) repose sur la suspension avant figurée par le ressort \(R_1\) parfaitement élastique, de raideur \(k_1\), de masse négligeable. \(M_2\) repose sur la suspension arrière (ressort \(R_2\), de raideur \(k_2\)). Le centre de gravité des masses \(M_1\) et \(M_2\) est en \(G\), à la distance \(l_1\) de \(A_1\) et \(l_2\) de \(A_2\) (voir fig. 1).

L’expérience montre qu’un tel système peut prendre deux types d’oscillations pendulaires :

1. Oscillations de translation verticale (1), avec une période dite de rebondissement vertical : \(T_v\).
2. Oscillations de rotation autour d’un axe \((\Delta)\) perpendiculaire au plan de la figure, donc à \(A_1A_2\), et passant par \(G\) (flèche (2)). La période est dite période de galop : \(T_g\).

On désignera par \(\rho\) le rayon de giration du système des masses (\(M_1\), \(M_2\)) autour de l’axe \((\Delta)\).

1. Déterminer \(T_v\) et \(T_g\).
2. Pour assurer aux passagers le meilleur confort, on cherche à obtenir : \(T_1 = T_2 = T_v = T_g = T\) (période unique). Montrer que cela entraîne : \(\rho^2 = l_1 \cdot l_2\).

Figure 1 — la traverse \(A_1A_2\), qui porte \(G\), repose sur le ressort \(R_1\) (à gauche, en \(A_1\)) et sur le ressort \(R_2\) (à droite, en \(A_2\)), chacun porté par une roue posée sur le sol ; les flèches (1) indiquent la translation verticale et les flèches (2) le basculement de la traverse autour de l’axe \((\Delta)\) passant par \(G\). Voir le sujet original ci-dessous.

Exercice II (4 points)

Comment faut-il associer 2 lentilles minces de même axe pour que la vergence de l’ensemble soit :

1. la somme des vergences ;
2. l’opposé de la somme des vergences ;
3. la vergence de la première lentille moins celle de la deuxième.

Effectuer la construction géométrique pour \(f’_1 = -f’_2\).

Exercice III (4 points)

Aux bornes d’une distribution d’énergie en courant alternatif à 50 périodes, entre lesquelles on maintient une tension efficace de 120 volts, on place en série une capacité de 4 µF, une inductance de 0,25 H ayant une résistance de 500 ohms (voir fig. 2). Calculer :

1. l’intensité efficace ;
2. le déphasage de l’intensité sur la tension ;
3. la différence de potentiel aux bornes de la capacité et aux bornes de la self.

Figure 2 — entre les bornes \(A\) et \(B\), alimentées sous la tension alternative \(U = 120\) V, le condensateur \(C = 4\) µF est branché en série avec la bobine \(L = 0{,}25\) H ; \(R = 500\) Ω. Voir le sujet original ci-dessous.

Problème (8 points)

On prendra \(g = 10\) m/s².

Un solide \((S)\) de masse \(m = 50\) g, de dimension négligeable, peut glisser sur une piste \(ABCD\) située dans un plan vertical :

• \(AB\) est la ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle \(\alpha = 30^{\circ}\) par rapport à l’horizontale. \(AB = 1{,}6\) m.
• \(BCD\) est le quart d’un cercle de centre \(I\) et de rayon \(R = 0{,}9\) m ; \(C\) est situé sur la verticale passant par \(I\) (voir fig. 3).

Figure 3 — la piste descend de \(A\) à \(B\) le long du plan incliné (angle \(\alpha\) avec l’horizontale), puis suit l’arc \(BCD\) de centre \(I\) (angle \(BID\) droit) ; \(C\) est le point le plus bas, à la verticale de \(I\), et \(A\) se trouve sur l’horizontale de \(I\). Le point \(D\) est sur l’axe vertical \(Oy\) ; \(O\) est au sol, l’axe \(Ox\) est horizontal le long du sol, et \(h\) désigne la hauteur de \(C\) au-dessus du sol. Voir le sujet original ci-dessous.

1. \((S)\) part du point \(A\) sans vitesse ; on néglige les frottements.
   1. Calculer sa vitesse en \(B\), en \(C\) et en \(D\).
   2. Calculer l’intensité de la force \(\vec N\) exercée par la piste sur \((S)\) en \(C\) et en \(D\).
   3. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse \(\vec V_D\) de \((S)\) au point \(D\).
2. On néglige la résistance de l’air. À partir du point \(D\), \((S)\) tombe dans le vide avec la vitesse \(\vec V_D\) précédente. Le point \(C\) est situé à la hauteur \(h = 1{,}55\) m du sol.
   1. Donner l’équation cartésienne de la trajectoire du mouvement de \((S)\) à partir du point \(D\) dans le repère \((O\,;\,x,\,y)\).
   2. Jusqu’à quelle hauteur \(H\) au-dessus du sol le solide \((S)\) monte-t-il ?
   3. Calculer la distance \(OP\), où \(P\) est le point d’impact de \((S)\) sur le sol.
3. Dans cette question, la piste exerce au mouvement de \((S)\) une force de frottements \(\vec f\) parallèle et de sens contraire à sa vitesse à chaque instant, et d’intensité constante le long de ABCD. Partant de \(A\) sans vitesse, \((S)\) s’arrête au point \(D\).
   1. Établir, en fonction de \(m\), \(g\), \(R\) et \(\alpha\), l’expression algébrique du travail \(W_{\vec f}\) de la force de frottements entre les points \(A\) et \(B\). Calculer \(W_{\vec f}\).
   2. En déduire l’intensité de la force \(\vec f\).

On donne : \(\cos \alpha = \cos 30^{\circ} \approx 0{,}86\).

Énoncé — session 2022 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 21-22 septembre 2022 (année universitaire 2022-2023) — Cycle ingénieur · Options : Toutes · Durée : 3 heures

Les quatre exercices sont obligatoires.

Exercice 1

Une piste \(ABCM\) est formée de deux parties \(AB\) et \(\overset{\frown}{\mathrm{BM}}\).

• \(AB\) est une partie rectiligne de longueur \(AB = l\). Elle fait un angle \(\alpha = 30^{\circ}\) avec l’horizontale \(ADE\).
• \(\overset{\frown}{\mathrm{BM}}\) est une portion de cercle de rayon \(r = 2{,}5\) m.
• \((CD)\) est perpendiculaire à \((AD)\).

On prendra \(g = 10\) m·s⁻² et \(\theta = 80^{\circ}\).

Figure — la piste part de \(A\), sur l’horizontale \(ADE\), monte en ligne droite jusqu’à \(B\) (angle \(\alpha\) en \(A\)), puis suit l’arc \(BCM\) de rayon \(r\) tracé autour de \(D\) (\(r\) est porté par \(DB\), et \(DM\) est en pointillés) ; \(C\) est à la verticale de \(D\), l’angle entre \((DB)\) et \((DC)\) vaut \(\alpha\) et l’angle entre \((DE)\) et \((DM)\) vaut \(\theta\) ; en \(M\), le repère (\(M\), \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\)) a son axe \(x\) horizontal, orienté vers \(E\), et son axe \(y\) vertical, orienté vers le haut. Voir le sujet original ci-dessous.

Un solide ponctuel de masse \(m = 400\) g est propulsé du point \(A\) avec une vitesse \(V_A = 8\) m·s⁻¹.

1. On suppose que les frottements sont négligeables sur la piste \(ABCM\).
   a) Déterminer les expressions des vitesses du solide en \(B\) et en \(C\) en fonction de \(\alpha\), \(g\), \(V_A\) et \(r\). Calculer les valeurs de ces vitesses \(V_B\) et \(V_C\).
   b) Dessiner la réaction de la piste au point \(M\).
   c) Déterminer l’expression de la vitesse \(V_M\) du solide en \(M\) en fonction de \(V_A\), \(g\), \(r\) et \(\theta\). Faire l’application numérique.
   d) Déterminer l’expression scalaire \(R\) de la réaction \(\vec{R}\) de la piste sur le solide en \(M\) en fonction de \(g\), \(\theta\), \(m\), \(V_A\) et \(r\) (en projetant sur l’axe \((DM)\)). Calculer la valeur de \(R\).
2. En réalité, sur le tronçon \(ABC\) existent des forces de frottement qui équivalent à une force unique \(f\) d’intensité constante. Le solide arrive en \(C\) avec une vitesse \(V_C = 0{,}75\) m·s⁻¹. Déterminer l’expression de \(f\) en fonction de \(V_A\), \(V_C\), \(g\), \(r\), \(m\) et \(\alpha\). Calculer la valeur de \(f\).
3. Le solide quitte la piste en \(M\) avec une vitesse \(V_M = 3{,}85\) m·s⁻¹.
   a) Déterminer l’équation de sa trajectoire dans le repère (\(M\), \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\)) indiqué sur la figure.
   b) À quelle distance \(d\) de \(D\) sur l’horizontale \(ADE\) tombera-t-il ?

Exercice 2

Un solide de masse \(M = 500\) kg repose par l’intermédiaire de deux ressorts identiques de raideur \(k\) sur une barre \(B\). On prendra \(g = 10\) m·s⁻².

1. En admettant que, sous l’action de M, les deux ressorts verticaux sont comprimés de \(\Delta \ell = 15\) cm, calculer la raideur \(k\) des ressorts.
2. Lorsqu’on charge le solide avec une masse additionnelle \(m = 50\) kg, chaque ressort est alors comprimé d’une même quantité supplémentaire \(x_0\).
   a) Calculer \(x_0\).
   b) À \(t = 0\), la charge \(m\) est enlevée. Établir l’équation différentielle du mouvement de translation de la masse \(M\) en prenant un axe \(x’x\) orienté vers le bas.
   c) Calculer la période \(T_0\) des oscillations.

Schéma — le solide \(M\) posé sur deux ressorts verticaux identiques, eux-mêmes fixés sur la barre inférieure. Voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 3

Un circuit électrique comporte en série une résistance \(R\), une bobine d’inductance \(L\) de résistance négligeable et un condensateur \(C\). Il est alimenté par une source de tension sinusoïdale \(u(t)\), d’amplitude constante 12 volts et de fréquence \(N\) variable.

On donne : \(R = 20\) Ω ; \(L = 1\) H ; \(C = 15\) µF.

1. Faire le schéma du circuit.
2. Le circuit est parcouru par un courant d’intensité \(i(t) = I_m \sin(2\pi N \cdot t)\).
   a) Donner l’expression de la tension aux bornes de \(R\), de \(L\) et de \(C\).
   b) Calculer l’impédance \(Z\) du circuit pour une fréquence \(N = 150\) Hz.
   c) Construire le diagramme de Fresnel pour obtenir l’impédance \(Z\).
3. Calculer la valeur de la fréquence notée \(N_R\) mettant le circuit en résonance.
4. Le circuit parcouru par le courant i(t) dissipe de l’énergie par effet Joule notée \(dE_J\). Calculer \(E_J\) pendant une période de résonance \(T_R\).
5. Le circuit \(LC\) emmagasine de l’énergie que l’on appelle énergie électrique totale. Donner l’expression de l’énergie emmagasinée par le condensateur notée \(E_C\) et par l’inductance notée \(E_L\).

Exercice 4

Soit une lentille \(L\) convergente mince, de centre optique \(O\) et de distance focale \(f = 15\) cm. Un objet lumineux \(AB\) est placé perpendiculairement à l’axe optique qui contient les points \(A\) et \(A’\). Notons que \(A’\) est l’image de \(A\). Pour obtenir une image nette de l’objet, on déplace la lentille, le long de son axe optique, entre l’écran d’observation et cet objet.

Soit \(D = 80\) cm la distance entre l’écran \(E\) et \(AB\).

1. Déterminer les positions de la lentille pour lesquelles on observe une image nette de \(AB\) sur l’écran.
2. Donner les caractéristiques de l’image obtenue pour chacune des positions précédentes.

Énoncé — session 2023 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2023-2024 · Épreuve de physique · Durée : 02 h 30 minutes

Tous types de documents interdits.

Exercice 01

Un circuit électrique est constitué d’une association en série des éléments suivants :

• une résistance \(R = 25\) Ω,
• une bobine d’inductance \(L = 0{,}5\) H et de résistance négligeable,
• un condensateur de capacité \(C = 5\) µF.

On applique aux bornes de ce circuit une tension sinusoïdale de fréquence \(N\) variable, et de valeur efficace \(U = 25\) V.

1. Faire le schéma du circuit électrique correspondant.
2. On fixe la fréquence \(N\) à 50 Hz. L’intensité du courant à chaque instant est de la forme \(i(t) = I_m \sin(2\pi N t)\).
   a) Calculer l’impédance \(Z\) du circuit.
   b) En déduire l’intensité efficace \(I\) traversant le circuit.
3. Calculer la valeur \(N_0\) de la fréquence pour que l’intensité efficace soit maximale.

Exercice 02

• a) Soit une lentille de distance focale \(f’ = +3\) cm.
  On considère un objet, perpendiculaire à l’axe optique, de taille 1 cm disposé respectivement à 4 cm et 2 cm en avant du centre optique. Déterminer graphiquement l’image de l’objet dans chaque cas (échelle 1/1).
• b) Retrouver les résultats précédents par le calcul algébrique.
• c) Quelles sont les différences par rapport aux différentes dispositions de l’objet ?

Exercice 03 — les deux parties I et II sont indépendantes

Partie I.

1. Soit un ressort d’axe vertical, de masse négligeable, à spires non jointives, de raideur \(k\). Une masse ponctuelle \(m\) est accrochée à l’extrémité inférieure du ressort.
   On écarte verticalement la masse \(m\) de sa position d’équilibre et on l’abandonne sans vitesse initiale. Quelle est la nature du mouvement de la masse \(m\) ? Calculer la période \(T\) pour \(m = 0{,}5\) kg ; \(k = 50\) N·m⁻¹.
2. On place maintenant bout à bout deux ressorts \(R_1\) et \(R_2\) de masses négligeables, d’axe vertical commun. Les raideurs respectives de \(R_1\) et \(R_2\) sont \(k_1\) et \(k_2\). Une masse \(m\) est accrochée à l’extrémité inférieure de l’ensemble. \(A\) désigne l’extrémité inférieure du ressort \(R_2\), et \(B\) le point de liaison entre \(R_1\) et \(R_2\).
   Le système est d’abord supposé en équilibre. L’intensité de la pesanteur étant désignée par \(g\), montrer que les deux ressorts ont la même tension, puis déterminer leurs allongements respectifs \(a_1\) et \(a_2\) en fonction de \(m\), \(g\), \(k_1\) et \(k_2\).
3. a) On écarte ensuite verticalement la masse \(m\) de sa position d’équilibre et on l’abandonne sans vitesse initiale. Elle prend un mouvement oscillatoire. À l’instant \(t\), son abscisse est \(OA = x\). \(O\) désigne la position d’équilibre. Les allongements des ressorts à cet instant sont respectivement \(a’_1 = a_1 + x_1\) et \(a’_2 = a_2 + x_2\).
   Exprimer respectivement \(x_1\) et \(x_2\) en fonction de \(x\), \(k_1\) et \(k_2\).
   b) Établir l’équation différentielle de ce mouvement. En déduire l’expression de la période \(T\).

Schéma : ressort \(R_1\) fixé au support, point de liaison \(B\), ressort \(R_2\) terminé par l’extrémité \(A\) ; axe \(x’x\) vertical orienté vers le bas — voir le sujet original ci-dessous.

Partie II. La même masse \(m\) est maintenant reliée à deux points \(A’\) et \(B’\), appartenant à un axe \(zz’\), \(A’B’ = 2{,}4\) m, par l’intermédiaire de deux fils inextensibles de longueur \(A’C’ = B’C’ = 1{,}5\) m (voir figure).
Quelles sont les tensions des fils \(A’C’\) et \(B’C’\) lorsque l’axe \(zz’\) tourne à raison de 6 rad/s ?
On rappelle que \(m = 0{,}5\) kg et \(g = 10\) m/s².

Figure : axe vertical \(zz’\) (\(z’\) en haut), \(A’\) au-dessus de \(B’\) sur l’axe, fils \(A’C’\) et \(B’C’\) joignant l’axe à la masse \(m\) placée en \(C’\) — voir le sujet original ci-dessous.

Énoncé — session 2024 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 16-17 octobre 2024 (année universitaire 2024-2025) — Cycle ingénieur · Options : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Les trois exercices sont obligatoires.

Exercice 1

On prend \(g = 10\) m/s² et on néglige les frottements.

Un pendule simple est constitué par une bille ponctuelle \(M_1\) de masse \(m_1 = 200\) g suspendue au bout d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur \(\ell = 0{,}9\) m (figure 1).

1. On écarte le pendule d’un angle \(\alpha\) par rapport à sa position d’équilibre verticale et on le lâche sans vitesse initiale. La vitesse de la bille \(M_1\) lors de son passage à la position d’équilibre est \(v = 3\) m/s. Calculer la valeur de l’angle \(\alpha\).
2. Lors de son passage à la position d’équilibre, la bille \(M_1\) heurte, au cours d’un choc parfaitement élastique, une autre bille ponctuelle \(M_2\) immobile de masse \(m_2 = 100\) g. La vitesse de la bille \(M_2\), juste après le choc, est \(v_A = 4\) m/s. Calculer la vitesse de la bille \(M_1\) juste après le choc.
3. La bille \(M_2\) est propulsée avec la vitesse \(v_A\) sur une piste qui comporte deux parties : une certaine courbe \(AB\) et un arc de cercle \(BC\), de rayon \(r\) et de centre \(O\).
   a) Exprimer, en fonction de \(g\), \(r\), \(\beta\) et \(v_A\), la vitesse de la bille \(M_2\) au point \(I\).
   b) Exprimer, en fonction de \(m_2\), \(g\), \(r\), \(\beta\) et \(v_A\), l’intensité de la réaction de la piste sur la bille \(M_2\) au point \(I\).
   c) La bille \(M_2\) arrive au point \(C\) avec une vitesse horizontale de valeur \(v_C = 1\) m/s. Calculer \(r\).
4. Arrivée au point \(C\), la bille \(M_2\) quitte la piste avec la vitesse \(v_C\) précédente et tombe en chute libre.
   a) Établir l’équation cartésienne de la trajectoire de la bille \(M_2\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
   b) Calculer la distance \(OD\).

Figure 1 — à droite, le pendule suspendu à la verticale de \(A\) (fil de longueur \(\ell\) écarté de l’angle \(\alpha\), bille \(M_1\)) et la bille \(M_2\) au repos en \(A\) ; la piste remonte de \(A\) à \(B\), puis suit l’arc \(BC\) de centre \(O\), \(C\) étant à la verticale de \(O\) ; le point \(I\) de l’arc est repéré par l’angle \(\beta\) entre la verticale \(OC\) et le rayon \(OI\) ; après \(C\), la bille retombe en \(D\), sur l’horizontale qui passe par \(D\), \(O\) et \(A\) — voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 2

Une roue, de masse négligeable, de rayon \(r\), peut tourner autour de son axe de révolution horizontal (\(\Delta\)). Une tige \(AB\) homogène, perpendiculaire en son centre de gravité à l’axe (\(\Delta\)), de longueur \(2\ell\), de masse \(3m\), porte à son extrémité \(B\) une masse ponctuelle \(m\). La tige \(AB\) est solidaire à la roue.

Un fil inextensible, de masse négligeable, dont une extrémité est fixée à la roue, l’autre extrémité est accrochée à un petit solide de masse \(m’\) (masse ponctuelle) qui peut glisser sans frottement sur un plan incliné d’angle \(\alpha\) (figure 2).

1. Déterminer l’angle \(\theta_0\) que fait l’axe de la tige \(AB\) avec la verticale du point \(O\) (en fonction de \(m\), \(m’\), \(r\), \(\ell\) et \(\alpha\)) pour que le système soit en équilibre. On étudiera séparément l’équilibre de l’ensemble (roue + tige + masse \(m\)) d’une part et du solide d’autre part.
2. À l’instant \(t = 0\), on coupe le fil reliant le solide de masse \(m’\) à la roue.
   a) Étudier la nature du mouvement du solide \(m’\) sur le plan incliné.
   b) La distance \(CD\) étant de 0,5 m, calculer : la durée du mouvement de \(m’\) sur \(CD\) ; la vitesse et l’énergie cinétique de \(m’\) au point \(D\).
3. On s’intéresse maintenant au mouvement pris par le système (roue + tige \(AB\) + masse \(m\)) après que le fil a été coupé et en négligeant tout frottement.
   a) Montrer que le système est animé d’un mouvement sinusoïdal autour de (\(\Delta\)), d’amplitude \(\theta_0\).
   b) Donner au passage à la verticale du point \(O\) : l’expression de la vitesse angulaire \(\dot{\theta}\) ; l’énergie cinétique du système.

On donne : \(m = 125\) g ; \(m’ = 150\) g ; \(r = 5\) cm ; \(\alpha = 30^{\circ}\) ; \(g = 10\) m/s² ; \(OB = OA = \ell = 20\) cm.

Figure 2 — roue de centre \(O\) et de rayon \(r\) ; la tige \(AB\) passe par \(O\) et fait l’angle \(\theta\) avec la verticale de \(O\), la masse \(m\) étant en \(B\) ; le fil quitte la roue parallèlement au plan incliné d’angle \(\alpha\) et retient le solide \(m’\) au point \(C\) ; \(D\) est le bas du plan — voir le sujet original ci-dessous.

Exercice 3

On constitue un dipôle en plaçant en série une bobine \(B\) d’inductance \(L\) et de résistance \(r\) avec un conducteur ohmique de résistance \(R\). On applique aux bornes de cette association une tension sinusoïdale de fréquence \(f = 50\) Hz et d’expression \(u=U\sqrt{2}\cos\omega t\). L’intensité instantanée est alors \(i=I\sqrt{2}\cos(\omega t+\varphi)\). On donne \(U = 82{,}5\) V et \(I = 2\) A. Un voltmètre branché successivement aux bornes de \(R\) puis de \(B\) donne respectivement \(U_R = 40\) V et \(U_B = 60\) V.

1. a) Déterminer \(R\).
   b) En prenant l’horizontale comme origine des phases, déterminer à l’aide de la construction de Fresnel (échelle : 1 cm pour 10 V) : la phase \(\varphi\) de \(i\) par rapport à \(u\) ; la phase \(\varphi_B\) de la tension \(u_B\) aux bornes de \(B\) par rapport à \(i\).
   c) Calculer \(L\) et \(r\).
2. Quelle est la capacité \(C\) du condensateur qu’il faut mettre en série avec le dipôle précédent pour que l’intensité soit en phase avec la tension aux bornes de la nouvelle association ?
3. On enlève le condensateur et on alimente le dipôle constitué de \(B\) et \(R\) en série avec une tension continue de valeur \(U_1 = 12\) V. Quelle est l’intensité \(I_1\) du courant qui traverse ce dipôle ?

Énoncé — session 2025 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année — Cycle ingénieur · Année universitaire 2025-2026 · Session des 24 et 25 septembre 2025 · Matière : Physiques · Options : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Les trois exercices sont obligatoires.

Exercice 1 (10 points)

Une tige rectiligne homogène \(AB\), de longueur \(\ell\), est suspendue en son milieu \(G\) par un fil d’acier vertical fixé en \(O\). Ce fil, de masse négligeable, permet à la tige d’osciller horizontalement par torsion. La période d’une oscillation est notée \(T_1\).

Cependant, lorsque deux petites boules identiques de masse \(m\) sont fixées aux extrémités \(A\) et \(B\) de la tige, la période d’oscillation devient \(T_2\).

Figure — fil vertical \(OG\) fixé en \(O\), tige \(AB\) horizontale de longueur \(\ell\) suspendue en son milieu \(G\) : voir le sujet original ci-dessous.

Déterminer :

1. L’équation différentielle du mouvement de la tige seule si :
   • \(J_1\) : le moment d’inertie de cette tige par rapport à l’axe \(OG\) ;
   • \(\theta\) : l’angle de rotation de la tige autour de \(OG\) ;
   • \(C\) : la constante de torsion du fil.
2. La constante \(C\) de torsion du fil en fonction de \(J_1\) et \(T_1\).
3. Le moment d’inertie \(J_2\) par rapport à \(OG\) du système formé par la tige et les deux petites boules en fonction de \(J_1\), \(m\) et \(\ell\).
4. Le moment d’inertie \(J_1\) en fonction de \(m\), \(\ell\), \(T_1\) et \(T_2\).
5. L’énergie potentielle élastique \(E_p\) du fil si on fait tourner la tige d’un angle \(\alpha\) autour de \(OG\), en fonction de \(m\), \(\ell\), \(T_1\) et \(T_2\).

Exercice 2 (6 points)

Entre deux points \(A\) et \(B\), on relie en série un conducteur ohmique de résistance \(R = 100\) Ω, une bobine de résistance interne négligeable et d’inductance \(L\) et un condensateur de capacité \(C\). On applique entre \(A\) et \(B\) une tension sinusoïdale, en volt : \(u(t)=U\sqrt{2}\,\sin(2\pi Nt+\varphi_1)\) où \(U = 120\) V. L’expression du courant instantané est : \(i(t)=I_m\sin 2\pi Nt\).

Schéma — de \(A\) vers \(B\) : le conducteur ohmique \(R\), le point \(F\), la bobine \(L\), le point \(E\), puis le condensateur \(C\) : voir le sujet original ci-dessous.

1. On fixe \(L = 100\) mH ; \(C = 1\) µF et \(N = 60\) Hz.
   1. Donner l’impédance \(Z\).
   2. Calculer l’intensité efficace \(I\) du courant.
   3. Déterminer \(\varphi_1\).
2. On garde toujours les valeurs précédentes de \(N\), \(C\) et \(L\).
   1. Calculer la tension efficace \(U_{AE}\) entre \(A\) et \(E\).
   2. La tension instantanée entre \(A\) et \(E\) s’écrit \(u_{AE}(t)=U_{AE}\sqrt{2}\,\sin(2\pi Nt+\varphi_2)\). Calculer \(\varphi_2\).

Exercice 3 (4 points)

1. On dispose d’une lentille convergente \(L\) qui donne d’un objet réel \(CD\) une image \(C’D’\) renversée et de même taille que l’objet. La distance qui sépare l’objet et l’image est \(d = 20\) cm. Calculer la distance focale \(f’\) de la lentille.
2. Un objet \(AB\) de hauteur 1 cm est placé à 3 cm devant le centre optique de la lentille convergente \(L\).
   1. Déterminer la position, la nature, le grandissement \(\gamma\) et le sens de l’image \(A’B’\) obtenue.
   2. Construire géométriquement l’image.

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