Sujets de Physique — Concours d’entrée ESPA Polytechnique (1994–2011)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESPA — ÉCOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

Sujets de Physique

Sessions 1994 à 2011 — 16 sujets, énoncés transcrits

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Énoncé — session 1994 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1994-1995 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

Un mobile partant d’un point A, sans vitesse initiale, se déplace sur une voie rectiligne horizontale ABCD, orientée de A vers D, de la façon suivante : de A à B, d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération γ₁ = 0,1 m/s² ; de B à C pendant 14 minutes d’un mouvement uniforme ; de C à D, d’un mouvement rectiligne uniformément retardé d’accélération dont la valeur algébrique est γ₂ = −0,1 m/s², arrivant en D avec une vitesse nulle. La distance AD est de 3,72 km.

1. Calculer la vitesse maximum acquise par le mobile au cours de son parcours.
2. Calculer le temps mis par le mobile pour faire le trajet ABCD.
3. Construire les diagrammes de la vitesse v = v(t) et de l’accélération dans l’ensemble des trois phases.

Exercice 2

Un satellite décrit autour de la terre supposée sphérique, une orbite circulaire, à vitesse constante.

1. a) Déterminer la vitesse linéaire du satellite en km/s, lorsqu’il évolue à une altitude h = 3 600 km.
   b) Calculer la période de révolution du satellite en heures.
2. À quelle altitude H doit graviter le satellite dans le plan équatorial si l’on veut qu’il reste fixe par rapport à une station terrestre (satellite géostationnaire) ?

On donne : à l’altitude 0, g₀ = 9,81 m/s² ; à l’altitude z, g(z) = g₀R²(R + z)² où R = 6 400 km (rayon de la terre).

Exercice 3

Une bille de masse m = 0,5 kg, assimilable à un point matériel, est accrochée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l. L’autre est fixée à un point O. On néglige tous les frottements et on prend g = 9,81 m/s².

1. Le fil est écarté de sa position d’équilibre verticale d’un angle α₀ = 30° et on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale (cf. figure 1). Calculer la tension du fil dans les deux cas suivants : a) lorsque α = 30° ; b) lorsque le fil passe par la position d’équilibre verticale.
2. Le système (fil, bille) peut tourner maintenant dans un plan vertical autour du point O. À la position B définie par β = 60°, on lance la bille avec une vitesse V₁ (cf. figure 2).
   a) Donner l’expression de la tension du fil au point S en fonction de m, g, l, V₁, β.
   b) Quelle doit être la valeur minimale de V₁ pour que la bille atteigne le point S, le fil restant tendu ?
   c) Calculer les accélérations tangentielle et normale de la bille au point B et au point S dans le cas où V₁ = 5 m/s. On donne l = 10 cm.

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 4

Un train d’onde plane se propage dans un milieu dont les particules sont animées d’un mouvement périodique défini par la relation : y = 4 sin(2π6 t + φ), t en [s], y en [cm]. [le scan porte « 2x/6 » ; lire vraisemblablement 2π/6]

1. Calculer la vitesse de propagation du mouvement vibratoire, sachant que la longueur d’onde est égale à 24 cm.
2. Calculer en degré le déphasage correspondant à deux positions occupées par la même particule à une seconde d’intervalle.
3. Calculer (en radian) à un instant donné la différence de phase correspondant à deux particules séparées par une distance de 21 cm, dans la direction de propagation : l’exprimer en nombre fractionnaire de π.
4. L’élongation à un instant donné t d’une certaine particule est égale à 3 cm. Quelle sera l’élongation de la même particule 2 secondes plus tard ?

Énoncé — session 1996 transcrit depuis le sujet scanné (3 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1996-1997 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice 1

On admettra que le poids P d’un corps de masse m est dû à la seule force d’attraction terrestre.

1. L’intensité P du poids d’un corps de masse m situé à une distance r du centre C de la terre est donnée par la relation : P = kmr², k est une constante. Exprimer l’accélération g de la pesanteur à une distance r de C en fonction de l’accélération g₀ de la pesanteur au sol, du rayon R de la terre et de r. AN : g₀ = 10 m/s² ; R = 6 400 km et r = 7 000 km.
2. Un satellite artificiel S de masse m a une trajectoire circulaire de rayon r dans le plan de l’équateur.
   a) Montrer que sa vitesse angulaire ω est reliée au rayon r de la trajectoire par la relation ω² r³ = constante. Exprimer la valeur de cette constante en fonction de g₀ et R.
   b) Exprimer la période T du mouvement. On donne √r³ = 18,6 × 10⁹. Calculer T.
3. Calculer en fonction de m, g, R et r le travail W du poids P du satellite lors du déplacement depuis le sol où r₀ = R jusqu’à un point de la trajectoire de rayon r.
4. Exprimer l’énergie cinétique du satellite en fonction de m, g₀, R et r.

Exercice 2

La remorque d’un véhicule au repos peut être assimilée au dispositif suivant : une masse M = 500 kg reposant par l’intermédiaire de deux ressorts identiques de raideur k sur une barre B représentant l’axe des roues de la remorque.

1. En admettant que sous l’action de M, les deux ressorts verticaux sont comprimés de Δl = 15 cm, quelle est la raideur de chaque ressort ?
2. Lorsque l’on charge la remorque, cela revient à augmenter M de m = 50 kg. Chaque ressort est alors comprimé d’une même quantité supplémentaire x₀.
   a) Calculer x₀.
   b) À t = 0 la charge m est enlevée. Établir l’équation différentielle du mouvement de translation de la masse M en prenant un axe x’x orienté vers le bas.
   c) Calculer la période T₀ des oscillations.

Schéma de la remorque (masse M sur deux ressorts) — voir le scan ci-dessous.

[La page suivante du recueil ne porte qu’un fragment isolé, la question 6°) d’un exercice dont le début manque ; il est reproduit ci-dessous.]

6°) Un deuxième ressort identique au précédent est attaché à la masse m, la deuxième extrémité étant fixée au point B qui se trouve sur la même verticale que A, à une distance AB = 50 cm.
a°) Donner les expressions littérales des tensions et des longueurs des deux ressorts à l’équilibre.
b°) On abaisse m de 5 cm de sa position d’équilibre puis on la lâche. Exprimer les tensions des ressorts à un instant quelconque t puis écrire l’équation différentielle du mouvement de G dans un repère dont l’origine se trouve à la nouvelle position d’équilibre de G.

Exercice 3

Une bille de masse m = 10 g est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur 20 m au-dessus d’un plan sur lequel elle rebondit. Exprimer l’énergie potentielle du système (bille + plan + terre), son énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de t compté à partir du choc supposé parfaitement élastique. g = 10 m/s².

1. En fait, à chaque choc sur le plan, une fraction q = 20 % de l’énergie mécanique se trouve perdue. La bille rebondit ainsi à plusieurs reprises restant sur la même trajectoire verticale. Exprimer l’énergie mécanique après le n-ième choc en fonction de n.
2. Quelle distance aura au total parcouru la bille jusqu’à ce qu’elle s’immobilise ? Au bout de quel temps t la bille s’immobilise-t-elle ?

Exercice 4

Une sphère conductrice M de masse m = 20 g et portant une charge q est suspendue en un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil isolant inextensible de masse négligeable et de longueur l = 10 cm. Ce pendule est placé entre deux armatures métalliques A et B, planes et horizontales, de grande dimension, distantes de d = 20 cm. Le point de suspension O est situé à 5 cm au-dessous de l’armature supérieure A. On applique entre les deux armatures une différence de potentiel U_AB = V_A − V_B = 2·10³ V créant alors entre A et B un champ électrostatique uniforme E.

1. Caractériser E et F s’exerçant sur M.
2. La sphère porte la charge q = +0,2·10⁶ C [ainsi sur le scan]. Le pendule est écarté de sa position d’équilibre de α = 90° et abandonné sans vitesse initiale. Déterminer la vitesse de M et la tension du fil au passage à la verticale.
3. Le fil se casse au passage à la verticale, déterminer l’équation et la nature de trajectoire de M après rupture du fil.
4. Quelle est la durée du mouvement au moment où M touche l’armature B ?

Schéma des armatures A (+) et B (−), pendule OM — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1997 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1997-1998 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

1ʳᵉ partie

La figure représente deux plans inclinés et un plan horizontal de traces AB, ED, et BD (a = 10 m ; A et E à la hauteur a ; BC = CD = a). Les corps M et N de masses respectives m₁ = 100 g et m₂ = 10 g peuvent glisser sans frottement sur ces plans tandis que la bille de masse m₃ = 100 g est animée d’un roulement sans glissement.

Schéma des plans AB, BD, DE — voir le scan ci-dessous.

1. M est lâchée de A sans vitesse initiale à l’instant t = 0. Écrire l’équation horaire de son mouvement et déterminer l’instant t_B où il arrive en B ainsi que sa vitesse en B et sa composante horizontale.
2. Calculer la durée du trajet BC et sa vitesse en C.
3. En C, il heurte N, calculer les vitesses de M et N après les chocs (supposés parfaitement élastiques).
4. Écrire l’équation du mouvement de N entre C et D et déterminer l’instant où il arrive en D.
5. À cet instant, la bille b est lâchée de E sans vitesse initiale.
   a°) Calculer l’accélération du centre d’inertie de b.
   b°) Écrire les équations horaires des mouvements des centres d’inertie de N et b sur ED.
   c°) Déterminer l’instant où ils se heurtent.

2ᵉ partie

On dispose d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l₀ = 18 cm, dont l’une des extrémités est accrochée au point A du plafond.

1. Calculer k si sa longueur devient l = 20 cm quand on l’étire avec une force d’intensité F = 10 N.
2. On suspend une masse m = 700 g à l’autre extrémité du ressort. Déterminer la tension du ressort ainsi que sa longueur à l’équilibre.
3. On tire la masse m vers le bas et on la lâche lorsque la longueur du ressort est de 25 cm. Établir l’équation différentielle du mouvement du centre d’inertie G de m en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, l’espace étant rapporté à un repère dont l’origine O se trouve à la position d’équilibre de G.
4. Retrouver la même équation en utilisant le théorème de la conservation de l’énergie mécanique.
5. Écrire l’équation horaire du mouvement de G puis trouver la période des oscillations et l’expression de la vitesse de G quand il passe par O.

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1999-2000 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice n° 1

Un camion dont la masse totale est de M = 4 tonnes, démarre sur une route rectiligne et horizontale. Il atteint une vitesse de 72 km/h en 5 mn et continue sa marche à vitesse constante. On suppose que l’ensemble des forces de frottement et de résistance de l’air est équivalent à une force unique, opposée à la vitesse, d’intensité constante f = 300 N. Cette force est supposée indépendante de la vitesse et la pente de la route.

1. Calculer l’intensité de la force de traction développée par le moteur dans les deux cas suivants : a°) au cours du démarrage, le mouvement étant alors supposé rectiligne et uniformément accéléré ; b°) après 5 minutes de marche, le camion roule alors à une vitesse constante.
2. Pour ralentir le camion, le chauffeur débraie, annulant ainsi la force de traction et en même temps il freine. Le mouvement toujours rectiligne devient alors uniformément retardé. La vitesse du camion passe alors de 72 km/h à 36 km/h sur un parcours de 200 m. Calculer l’intensité de la force de freinage.
3. Le camion aborde maintenant, avec la vitesse de 36 km/h, une côte qui s’élève de 20 mm par mètre. Quelle doit être la valeur de la force de traction pour que sur une distance de 500 m, le mouvement étant uniformément accéléré, la vitesse atteigne 45 km/h ? (On prend g = 10 m/s².)

Exercice n° 2

On donne O₁O₂ = 76 cm, R₁ et R₂ deux ressorts identiques de longueur à vide l₀ = 25 cm, de coefficient de raideur k = 24,5 N/m ; A un cylindre de 4 cm de haut, de masse M = 200 g. Le cylindre étant en équilibre, on le tire vers le bas de 3 cm et on l’abandonne sans vitesse initiale.

1. Déterminer la position d’équilibre du centre de gravité G du cylindre.
2. Former l’équation horaire du mouvement de G.
3. Déterminer la période du mouvement.

Schéma : ressort R₁ entre O₁ et le cylindre, ressort R₂ entre le cylindre et O₂ — voir le scan ci-dessous.

Exercice n° 3

Une fusée atteint une altitude de 600 km [« 600 km/h » sur le scan] et éjecte un satellite de masse 40 kg sur une orbite circulaire qu’il décrit d’un mouvement uniforme. La trajectoire est située dans le plan équatorial terrestre et son centre est celui de la terre. Le rayon de la terre vaut R = 6 400 km. À 800 km d’altitude, la valeur de g est 8,2·10⁻² m/s² [ainsi sur le scan].

1. Calculer la vitesse du satellite sur son orbite.
2. Déterminer son énergie cinétique.
3. Calculer la durée d’une révolution.

Énoncé — session 2000 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 27-28 septembre 2000 (année 2000-2001) · Option : Toutes · Durée : 2 heures

Exercice I

Une roue, de masse négligeable, de rayon r, peut tourner autour de son axe de révolution horizontal (Δ). Une tige AB homogène, perpendiculaire en son centre de gravité à l’axe (Δ), de longueur 2l, de masse 3m, porte à son extrémité B une masse ponctuelle m. La tige AB est solidaire à la roue. Un fil inextensible, de masse négligeable, dont une extrémité est fixée à la roue, l’autre extrémité est accrochée à un petit solide de masse m’ (masse ponctuelle) qui peut glisser sans frottement sur un plan incliné d’angle α (voir figure 1).

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

1. Déterminer l’angle θ₀ que fait l’axe de la tige AB avec la verticale du point O pour que le système soit en équilibre. Note : on étudiera séparément l’équilibre de l’ensemble (roue + tige AB + masse m) d’une part et celui du solide m’ d’autre part.
2. À l’instant t = 0, on coupe le fil reliant le solide de masse m’ à la roue.
   a) Étudier la nature du mouvement du solide m’ sur le plan incliné.
   b) La distance CD étant de 0,5 m, calculer : la durée du mouvement de m’ sur [CD] ; la vitesse et l’énergie cinétique de m’ au point D.
3. On s’intéresse maintenant au mouvement pris par le système (roue + tige AB + masse m) après que le fil a été coupé et en négligeant tout frottement.
   a) Montrer que le système est animé d’un mouvement sinusoïdal autour de (Δ), d’amplitude θ₀.
   b) Déterminer au passage à la verticale du point O : la valeur absolue de la vitesse angulaire θ’ ; l’énergie cinétique du système.

A.N. : m = 150 g, m’ = 125 g, r = 5 cm, α = 30°, g = 10 m/s², OB = OA = l = 20 cm.

Exercice II

Une poulie P₁ de diamètre d₁ = 100 mm, fixée à l’arbre d’un moteur électrique, met 20 secondes pour atteindre la vitesse de régime de 1 200 tr/mn.

1. Déterminer : a) l’accélération angulaire, supposée constante, de P₁ pendant la période de démarrage ; b) le nombre de tours que la poulie P₁ a fait avant d’atteindre la vitesse de régime.
2. On relie la poulie P₁ avec une autre poulie P₂ par l’intermédiaire d’une courroie. On suppose qu’il n’y a pas de glissement entre les poulies et la courroie ; de plus on néglige tout frottement. Déterminer le diamètre d₂ de la poulie P₂ pour qu’elle tourne à la vitesse de 480 tr/mn (la poulie P₁ tourne à 1 200 tr/mn).

Figure 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice III

Un projectile M est lancé d’un point O, à l’instant t = 0 avec une vitesse v₀ inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal, vers un mur AB de hauteur H, situé à une distance L du point O (voir figure 3).

1. Écrire l’équation de la trajectoire de M.
2. Déterminer l’angle α_m = (v₀, Ox) pour que le projectile atteigne le mur au point A.
3. Déterminer l’angle α_M = (v₀, Ox) pour que la flèche de la trajectoire, c’est-à-dire l’ordonnée maximale coïncide avec le point B.

On donne : v₀ = 2√5 m/s, H = 0,75 m, L = 1 m, g = 10 m/s².

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2001 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 17-18 octobre 2001 (année 2001-2002) — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures

Documents non autorisés. Tous les exercices sont obligatoires.

Exercice 1

On prend g = 9,81 m/s². Un solide de masse m est lancé du point A vers le haut suivant la ligne de plus grande pente d’un plan incliné de α = 30° par rapport à l’horizontale, avec une vitesse initiale v₀ = 10 m/s (voir figure 1). Les frottements sont équivalents à une force parallèle à la trajectoire, de sens contraire à la vitesse et d’intensité constante égale à µP avec µ = √310 et P = poids du solide. On prend comme origine des temps (t = 0) l’instant de départ en A.

1. À quel instant t₁ le solide atteint-il le point le plus haut de sa trajectoire ? Calculer la distance d ainsi parcourue.
2. À quel instant t₂ il repasse au point A ? Déterminer sa vitesse à cet instant.
3. Quelle est l’énergie cinétique du solide à l’instant t₂ sachant que sa masse est de 50 g ?

Exercice 2

On prend g = 10 m/s² et on néglige tous les frottements. Deux billes assimilables à des points matériels, l’une A de masse m₁ = 4m, l’autre B de masse m₂ = 3m, sont placées aux extrémités d’une tige rigide T de masse négligeable mobile autour d’un axe horizontal (Δ) perpendiculaire à T au point O (voir figure 2). On prend OA = 2l, OB = l.

1. Déterminer la position du centre d’inertie G du système (la tige T et les masses m₁ et m₂) par rapport à O.
2. Le système étant dans sa position d’équilibre stable, on l’écarte dans un sens choisi comme positif d’un petit angle θ₀ = 8° et on l’abandonne sans vitesse initiale à t = 0. On donne m = 10 g, l = 12 cm.
   a) Établir l’équation différentielle régissant le mouvement du système et en déduire sa nature, ainsi que sa période T.
   b) Donner l’expression instantanée de l’élongation angulaire θ = f(t) (θ exprimé en radian).
   c) Établir la relation qui lie l’élongation angulaire θ et la vitesse angulaire θ̇. En déduire la vitesse angulaire du système lorsque θ = θ₀2.
3. Calculer la longueur du pendule simple synchrone de ce pendule composé.

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

Un disque circulaire de 80 cm de diamètre peut tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal perpendiculaire au plan du disque et passant par son centre O (voir figure 3). Son moment d’inertie par rapport à cet axe est de 48 kg·m². On applique au niveau de l’axe un couple moteur qui provoque la rotation du disque. Quand la vitesse de rotation atteint 90 tr/min, on coupe l’alimentation du moteur et l’on exerce sur le disque un couple résistant constant. On constate qu’après 25 tours, la vitesse de rotation est réduite à 30 tr/min.

1. a) Calculer la valeur du moment du couple de freinage.
   b) Le disque tournant à raison de 30 tr/min, on supprime le couple de freinage. Quelle est la nature du mouvement du disque ? Déterminer son équation horaire et la vitesse linéaire d’un point de sa circonférence.
2. Au cours du mouvement de la phase précédente (phase sans couple résistant), un fragment de métal supposé ponctuel se détache du disque à l’instant où il passe par la verticale AB en B. Les frottements sont négligeables et on prend g = 9,8 m/s².
   a) Déterminer la position du point C (point de rencontre du fragment avec le sol) par rapport à la verticale passant par AB, si l’axe de rotation du disque se trouve à 0,60 m du sol.
   b) Évaluer le vecteur-vitesse v_C au point C en précisant l’angle que fait v_C avec l’horizontale.

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2002 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 03-04 décembre 2002 (année 2002-2003) — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 minutes

Documents non autorisés.

Exercice I

L’équation d’état pour les gaz réels est de la forme : (P + an²V²)(V − nb) = nRT, où a et b : des constantes dépendant de la nature du gaz ; V : volume du gaz ; p : pression du gaz en [N/m²] ; T : température du gaz en [K] (degré Kelvin) ; n : nombre de mole(s) en [mole] ; R : constante molaire des gaz parfaits en [J/mole·K]. Donner les unités de a et b, dans le système international.

Exercice II

Une bille assimilable à une masse ponctuelle M = 250 [g] est suspendue en un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur l = 1,0 [m]. Au départ la bille se trouve au point B tel que le segment [OB] fait un angle θ₀ = 60° par rapport à la position d’équilibre et on le lance avec une vitesse |v₀| = 5 [m/s] (v₀ ⊥ OB). Pour les applications numériques, on prendra g = 10 S.I.

Schéma du pendule (O, B, M, A ; sol à 2 m sous A ; repère Axy) — voir le scan ci-dessous.

1. Donner l’expression de V_M, vitesse au point M, prise par la bille en fonction de v₀, θ₀, g, l et θ (angle entre la droite (OM) et la verticale). Calculer la vitesse V_A au point A (position d’équilibre).
2. Donner l’expression T_M, tension du fil en M, en fonction de m, g, l, v_M et θ. Calculer la tension T_A au point A.
3. Arrivée en A, la bille de masse m heurte une autre bille de masse m’ = 135 [g], au repos. On suppose que le choc est parfaitement élastique.
   a) Exprimer les vitesses v’_A vitesse de la bille (m) et v’ celle de la bille (m’) après le choc, en fonction de m, m’ et V_A.
   b) Calculer modules de v’_A et v’.
   c) Donner l’expression littérale de la trajectoire de la bille (m’) dans le repère Axy.
   d) Le point A étant situé à une altitude 2 [m] par rapport au sol horizontal, calculer l’abscisse x_I du point d’impact I de la bille sur le sol.
   e) Déterminer la valeur de θ₀ pour que l’abscisse x_I soit égale à 5,5 [m].

Exercice III

Un volant, de diamètre d = 60 [mm] et dont la masse m = 50 [kg] est supposée uniformément répartie sur sa circonférence, tourne à une vitesse constante N = 600 [tr/mn]. On prendra g = 10 SI et π² = 10.

1. Calculer son moment d’inertie.
2. Calculer l’énergie cinétique du volant à ce régime (N = 600 [tr/mn]).
3. Le volant ralentit sous l’effet de résistances passives et s’immobilise au bout de 2 minutes.
   a) Quelle est la nature du mouvement du volant ?
   b) Écrire les équations du mouvement.
   c) Représenter en fonction du temps t : l’élongation angulaire, la vitesse angulaire, l’accélération angulaire.

Exercice IV

Un ressort, de masse négligeable et de raideur k, est fixé à une extrémité et l’autre extrémité est liée à un fil inextensible souple qui s’enroule sur un cylindre de diamètre d. Sur un autre cylindre de diamètre D, solidaire et coaxial au premier cylindre, s’enroule un autre fil inextensible auquel est suspendue à l’autre bout une masse M (voir figure ci-contre). On néglige les masses des deux cylindres.

Schéma des deux cylindres coaxiaux, du ressort et de la masse M — voir le scan ci-dessous.

1. À l’équilibre, en supposant que l’allongement du ressort est égal à Δl, exprimer la masse M en fonction de k, Δl, d, D et g (accélération de la pesanteur).
2. On écarte le système de sa position d’équilibre en déplaçant la masse M vers le bas (suivant la verticale), puis on l’abandonne sans vitesse initiale. On suppose que les frottements sont négligeables et qu’il n’y a pas de glissement entre les fils et les cylindres.
   a) Établir l’équation différentielle du mouvement de M.
   b) En déduire l’impulsion [sic : pulsation] du mouvement.
   c) Donner la période du mouvement.
   d) Donner l’élongation horaire du mouvement.

Énoncé — session 2003 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2003-2004 · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 mn

Les trois exercices et le problème sont obligatoires.

Exercice 01 : Électromagnétisme

Un solénoïde de longueur l = 40 cm, comportant 1 250 spires par mètre, de rayon R = 2 cm, est parcouru par un courant d’intensité I = 5 A.

1. Calculer le champ magnétique créé au centre O du solénoïde par le passage du courant.
2. En supposant le champ magnétique uniforme à l’intérieur du solénoïde, calculer le flux propre de ce solénoïde, en déduire son inductance.
3. Le solénoïde est à présent parcouru par un courant d’intensité variant en fonction du temps comme l’indique la figure ci-dessous (I croît de 0 à 1 A entre 0 et 2 ms, reste à 1 A jusqu’à 5 ms, décroît à 0 à 6 ms). Déterminer la force électromotrice d’auto-induction « e » qui apparaît aux bornes de la bobine pour chacune des trois phases. Tracer e = f(t) pour t ∈ [0 ; 6 ms]. On donne µ₀ = 4π·10⁻⁷ et π² = 10.

Graphe I(t) — voir le scan ci-dessous.

Exercice 02 : Électricité

Un circuit comporte en série un condensateur de capacité C et une bobine de résistance R et d’auto-inductance L. Il est alimenté par un générateur qui délivre une tension alternative sinusoïdale u(t) d’amplitude constante mais de fréquence variable f. On mesure les tensions efficaces respectives aux bornes du générateur, du condensateur et de la bobine : on trouve la même valeur.

1. Exprimer L et C en fonction de R et f.
2. Le circuit est parcouru par un courant d’intensité instantanée i(t) = I_m sin ωt. Calculer le déphasage φ entre u(t) et i(t).
3. On modifie la fréquence f jusqu’à ce que le déphasage φ devienne nulle.
   a) Interpréter le phénomène.
   b) Calculer la fréquence correspondante en prenant f = 50 Hz comme fréquence de départ de la tension alternative sinusoïdale.

Exercice 03 : Optique géométrique

Soit une lentille mince convergente L₁ de distance focale 15 cm. Un objet AB de 5 cm de hauteur perpendiculaire à l’axe optique est placé à 20 cm de la lentille.

1. Déterminer par calcul les caractéristiques de l’image A’B’ (position, sens, grandeur, nature).
2. Vérifier par construction graphique ces caractéristiques (échelle : 1/5).
3. Une lentille mince divergente L₂ de distance focale 50 cm est placée derrière la lentille L₁ à la distance de 35 cm, les axes optiques étant confondus.
   a) Déterminer par calcul les caractéristiques de l’image finale de l’objet AB placé à 20 cm en avant de L₁.
   b) Faire la construction graphique.

Problème — les parties A et B sont indépendantes et on prendra g = 10 m·s⁻²

Partie A. Une bille assimilable à un point matériel M de masse m = 50 g est abandonnée sans vitesse initiale en un point A d’une gouttière ABCD. Cette gouttière est constituée : d’un tronçon rectiligne AB incliné d’un angle α = 30° par rapport au plan horizontal et de longueur AB = 1,5 m ; d’un tronçon horizontal BC ; d’un tronçon circulaire CD de centre O et de rayon r = 60 cm et telle que OC est perpendiculaire à BC (voir figure 1). Les frottements qui ne s’exercent qu’entre B et C sont équivalents à une force F parallèle au déplacement et d’intensité constante égale à 0,4 N.

1. Quelle est la nature du mouvement de la bille sur la portion BC ?
2. Quelle doit être la longueur de BC pour que la bille arrive en C avec une vitesse nulle ?
3. La bille M part du point C avec une vitesse pratiquement nulle et aborde la partie circulaire CD. La position de la bille M est repérée par l’angle θ = (OD, OE) en un point E de CD.
   a) Exprimer en fonction de g, r et θ la vitesse V_E au point E.
   b) Donner en fonction de m, g, r et θ l’intensité de la réaction R de la gouttière sur la bille au point E.
   c) Calculer la valeur de l’angle θ pour laquelle la bille M quittera la gouttière.

Partie B. Dans cette partie on néglige les forces de frottement et on supprime la partie CD. La bille M de masse m = 50 g est abandonnée sans vitesse initiale au point A de la gouttière. En C elle heurte une autre bille M’ ponctuelle de masse m’ = 200 g initialement au repos (voir figure 2).

1. Juste après le choc supposé parfaitement élastique, la vitesse de la bille M’ est égale à 1,6 m·s⁻¹. En admettant que toutes les vitesses sont colinéaires avant et après le choc, calculer : a) la vitesse V₀ de la bille M juste avant le choc ; b) la vitesse V de M juste après le choc.
2. Après le choc, la bille M’ quitte la gouttière.
   a) Quelle est la nature du mouvement ultérieur de M’ ?
   b) Écrire l’équation cartésienne de sa trajectoire dans un repère d’axes orthonormés (Cx, Cy).
   c) Calculer la distance de la verticale du point C au point d’impact K de la bille M’ sur le sol horizontal situé à h = 80 cm de C.

Figures 1 et 2 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2004 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 02-03 novembre 2004 (année 2004-2005) — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 min

Documents non autorisés. Les quatre exercices sont obligatoires.

Exercice 1

Sur une piste d’essai rectiligne de longueur A₁A₄ = 4 km, une voiture expérimentale, partant du point A₁ sans vitesse initiale se déplace le long de A₁A₂A₃A₄ selon les phases suivantes : phase 1 : A₁ – A₂ : phase de démarrage d’accélération a₁ = 0,2 m/s² ; phase 2 : A₂ – A₃ : mouvement uniforme ; phase 3 : A₃ – A₄ : phase de ralentissement d’accélération |a₂| = 0,1 m/s². La vitesse de la voiture est nulle en A₄.

1. Donner l’expression de la vitesse pour chaque phase.
2. Le temps mis par la voiture pour parcourir le tronçon A₂-A₃ est 3 minutes. Calculer la vitesse en chaque point A₁, A₂, A₃, A₄.
3. Calculer le temps mis par la voiture pour atteindre ces 4 points.
4. Calculer la distance parcourue pour chaque phase.
5. Construire les diagrammes de vitesse et d’accélération en fonction du temps.

Exercice 2

Un circuit électrique comporte en série une résistance R, une bobine d’inductance L de résistance négligeable et un condensateur C. Il est alimenté par une source de tension sinusoïdale u(t), d’amplitude constante 12 volts et de fréquence N variable. On donne R = 10 [Ω], L = 1 [Ω] [ainsi sur le scan], C = 5 [µF].

1. Faire le schéma du circuit.
2. Le circuit est parcouru par un courant d’intensité i(t) = I_m sin(2πN)t.
   a) Donner l’expression de la tension aux bornes de R, de L et de C.
   b) Calculer l’impédance Z du circuit pour une fréquence N = 100 Hz.
   c) Construire le diagramme de Fresnel pour obtenir l’impédance Z.
3. Calculer la valeur des fréquences notées N_R mettant le circuit en résonance.
4. Le circuit parcouru par le courant i(t) dissipe de l’énergie par effet Joule notée dE_J. Calculer E_J pendant une période de résonance T_R.
5. Le circuit LC emmagasine de l’énergie que l’on appelle énergie électrique totale. Donner l’expression de l’énergie emmagasinée par le condensateur notée E_C et par l’inductance notée E_L. Montrer que l’énergie électrique totale notée E = E_J + E_C = 12LI_m².

Exercice 3

On étudie l’image d’un objet lumineux AB placé perpendiculairement sur l’axe optique d’une lentille mince convergente de distance focale f₁ = 10 cm.

1. L’objet AB de 5 cm de hauteur est placé à 30 cm de la lentille. Déterminer par calcul la position, la nature, le sens et la grandeur de l’image, puis vérifier les résultats par une construction géométrique.
2. Mêmes questions qu’en 1) pour le même objet placé à 5 cm de la lentille.
3. À quelle distance de l’objet faut-il placer la lentille pour obtenir une image A’B’ 5 fois plus grande que l’objet ?
4. On étudie ensuite un système optique constitué de 2 lentilles minces convergentes non accolées. La lentille L₁ de distance focale f₁ = 10 cm et la lentille L₂ de distance focale f₂ = 20 cm. Distance O₁O₂ = 20 cm.
5. Déterminer par calcul et par construction géométrique l’image finale de l’objet placé à 15 cm de la lentille L₁.

Exercice 4

Un système est constitué par 3 cylindres homogènes C₁, C₂ et C₃ de même nature et de même épaisseur. Les 3 cylindres sont solidaires sur un même axe. C₁ a une masse M et de rayon R, C₂ et C₃ ont une masse M’ et de rayon R2.

1. Calculer la masse des cylindres C₂ et C₃.
2. Montrer que le moment d’inertie de l’ensemble est J = 9MR²16.
3. On réalise avec le système un pendule de torsion d’axe OO’ vertical (fig. 1).
   a) On fait tourner le système d’un angle θ₀ à partir de sa position d’équilibre et on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Donner l’équation différentielle régissant le système et en déduire l’expression de sa période.
   b) La période des oscillations est 5 s. Calculer la constante de torsion OO’ du fil pour M = 100 g et R = 8 cm.
4. Les 3 cylindres sont maintenant placés à une extrémité d’un ressort vertical de constante de raideur k = 30 N·m⁻¹. Le système est d’abord en équilibre. On écarte les cylindres vers le bas et on les abandonne à eux-mêmes. Ils prennent un mouvement oscillatoire. Établir l’équation différentielle de ce mouvement et calculer la période des oscillations.

Fig. 1 (pendule de torsion) et schéma du ressort vertical — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2006 (année 2006-2007) transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2006-2007 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 min

Documents non autorisés. Les quatre exercices sont obligatoires.

Exercice 1/4

On considère un oscillateur élastique horizontal de raideur K = 4 N·m⁻¹ et de masse m = 200 g. L’amplitude des oscillations est de 2,5 cm. Les frottements sont négligés ; l’origine sur l’axe horizontal est la position de l’extrémité libre du ressort lorsqu’il a sa longueur à vide.

1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle élastique de cet oscillateur.
   b) Déterminer l’énergie potentielle maximale.
   c) En déduire la valeur de l’énergie mécanique.
2. a) Quelle est la valeur maximale de l’énergie cinétique de cet oscillateur ?
   b) Calculer la valeur maximale de la vitesse.
   c) Pour une élongation de 2 cm, calculer : l’énergie potentielle élastique ; l’énergie cinétique ; la valeur de la vitesse.
3. Les frottements ne sont plus négligés.
   a) Comment varie l’amplitude en fonction du temps ?
   b) À quelle condition la pseudo-période des oscillations est-elle peu différente de la période propre de l’oscillateur non amorti correspondant ?
   c) Représenter alors l’allure de l’évolution de l’élongation en fonction du temps.

Exercice 2/4

On considère un dipôle constitué d’une résistance R non inductive et d’une bobine d’inductance L en série. On l’alimente par un courant électrique sinusoïdal de fréquence N = 50 Hz. La mesure a donné les résultats suivants : wattmètre : puissance moyenne dissipée : 36 W ; voltmètre : 120 V efficace ; ampèremètre : 0,6 A efficace.

1. a) Calculer le facteur de puissance (cos φ) de l’ensemble et en déduire φ [degrés].
   b) Calculer l’impédance Z.
   c) Calculer les éléments R et L.
2. On monte en série avec le dipôle un condensateur de capacité variable C pour former un circuit résonant. L’ensemble est alimenté avec la même tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 120 V.
   a) Déterminer à cette fréquence la valeur de la capacité C pour qu’il y ait résonance.
   b) Donner l’expression de la puissance absorbée à la résonance.
   c) Pour quelles fréquences la puissance moyenne consommée est-elle égale à la moitié de celle absorbée à la résonance ?
   d) En déduire la valeur du facteur de qualité Q.

Exercice 3/4

1. Une lentille mince convergente (L₁), de centre optique O₁, donne d’un objet AB haut de 5 cm et situé à 20 cm en avant de la lentille, une image réelle A₁B₁ située à 60 cm après la lentille. A est situé sur l’axe principal et AB est perpendiculaire à l’axe. Calculer la distance focale de la lentille (L₁) et sa vergence C₁.
2. L’objet AB est placé à 10 cm en avant de la lentille (L₁).
   a) Déterminer par calcul les caractéristiques de l’image A₁B₁ (position, sens, grandeur, nature).
   b) Vérifier par construction graphique ces caractéristiques (échelle 1/5).
3. La lentille (L₁) est maintenant placée entre l’objet AB et un écran (E). Soit d la distance entre l’objet AB et l’écran (E). On désigne par x la distance entre l’objet et la lentille (L₁).
   a) Donner la condition sur d pour que l’on ait une image réelle A₁B₁ renversée de même taille que l’objet. En déduire x.
   b) On enlève ensuite l’écran (E). On accole la lentille (L₁) à une lentille (L₂) de vergence C₂. Calculer C₂ pour que l’on ait une image renversée A₁B₁ de même taille que l’objet AB et située à 1 m de ce dernier.

Exercice 4/4

Un treuil assimilé à un cylindre homogène de rayon R, de masse M, tourne autour d’un axe fixe horizontal sans frottement et passant par son centre de gravité à une vitesse constante de 300 tr/mn. On donne R = 10 cm et M = 20 kg.

1. Calculer son moment d’inertie J.
2. Si on lui applique un couple de freinage constant M_f = 0,13 N·m, déterminer la durée de freinage et le nombre de tours effectués.
3. On monte sur l’axe du treuil une manivelle de longueur L. On enroule un fil inextensible de masse négligeable, sans glisser sur le cylindre et dont le bout est accroché à un corps A de masse m = 10 kg. Quelle est la condition sur F pour que le treuil soit en rotation uniforme lors de la montée du corps A ? (F est perpendiculaire à la manivelle.)
4. On enlève la manivelle et on abandonne le système sans vitesse initiale. Les frottements sont négligés. Déterminer la nature du mouvement au tout premier instant. Donner l’expression littérale et la valeur numérique de l’accélération angulaire du treuil et de l’accélération du corps A. (Prendre g = 10 N/kg.)

Schéma du treuil, de la manivelle et du corps A — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2007 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 05-06 décembre 2007 (année 2007-2008) · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 mn

Documents non autorisés.

Exercice I (4 points)

Un doublet formé de deux lentilles minces de distances focales f’₁ et f’₂, situées à la distance e est tel que :

1. Un objet placé à 40 cm en avant de l’une des lentilles L₁ a une image réelle située à 12 cm de l’autre lentille L₂ et de grandissement γ₁ = −1,2.
2. Un objet placé à 60 cm en avant de cette même lentille L₂ donne une image de grandissement γ₂ = −12.

Calculer f’₁, e, f’₂.

Exercice II (4 points)

La masse suspendue M d’une voiture automobile peut être considérée comme divisée en deux masses ponctuelles M₁ et M₂ liées par une traverse rigide A₁A₂ de masse négligeable. M₁ repose sur la suspension avant figurée par le ressort R₁ parfaitement élastique, de raideur k₁, de masse négligeable. M₂ repose sur la suspension arrière (ressort R₂, de raideur k₂). Le centre de gravité des masses M₁ et M₂ est en G, à la distance l₁ de A₁ et l₂ de A₂. L’expérience montre qu’un tel système peut prendre deux types d’oscillations pendulaires : a) oscillations de translation verticale (1), avec une période dite de rebondissement vertical : T_v ; b) oscillations de rotation autour d’un axe (Δ) perpendiculaire au plan de la figure, donc à A₁A₂, et passant par G (flèche (2)). La période est dite période de galop : T_g. On désignera par ρ le rayon de giration du système des masses (M₁, M₂) autour de l’axe (Δ).

Schéma de la traverse A₁A₂, des ressorts R₁, R₂ et de l’axe (Δ) — voir le scan ci-dessous.

1. Déterminer T_v et T_g.
2. Pour assurer aux passagers le meilleur confort, on cherche à obtenir : T₁ = T₂ = T_v = T_g = T (période unique). Montrer que cela entraîne : ρ² = l₁·l₂.

Exercice III (4 points)

Aux bornes d’une distribution d’énergie en courant alternatif à 50 périodes, entre lesquelles on maintient une tension efficace de 120 volts, on place en série une capacité de 4 µF, une inductance de 0,25 H ayant une résistance de 500 ohms (voir fig.). Calculer :

1. L’intensité efficace.
2. Le déphasage de l’intensité sur la tension.
3. La différence de potentiel aux bornes de la capacité et aux bornes de la self.

Schéma du circuit (C = 4 µF ; L = 0,25 H, R = 500 Ω ; U = 120 V) — voir le scan ci-dessous.

Problème (8 points)

Sur la gorge d’une poulie de masse négligeable, mobile sans frottement autour d’un axe horizontal, passe un fil fin inextensible et de masse négligeable, dont les extrémités supportent deux corps A et B de masses M_A et M_B.

1. Dans une première expérience, les deux brins de fils sont verticaux M_A = 0,539 kg et M_B = 0,441 kg. Calculer : a) l’accélération du système ; b) l’espace parcouru par chaque corps ; la vitesse et l’énergie cinétique de chaque corps, 3 secondes après avoir abandonné le système à lui-même.
2. Dans une deuxième expérience, le brin de fil supportant B est parallèle à la plus grande pente d’un plan incliné (sur lequel B peut glisser sans frottement) formant un angle de 30° avec le plan horizontal.
   a) Quelles valeurs doit-on donner à M_A et M_B dont la somme a toujours la même valeur 0,980 kg pour que la vitesse du système, 3 secondes après l’avoir abandonné à lui-même, soit la même que précédemment, le corps B remontant le plan ?
   b) Quelle est la tension du fil au cours du mouvement ?
3. Dans la deuxième expérience, à l’instant t = 3 s le fil se casse.
   a) Quel est le mouvement pris par le corps B ?
   b) Trouver la position et la vitesse du corps B 1,2 s après la rupture du fil. On prendra g = 9,80 m/s².

Énoncé — session 2008 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 26-27 novembre 2008 (année 2008/2009) — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Exercice 1 (4 points)

On considère une lentille L convergente mince, de centre optique O et de distance focale f = 15 cm. Un objet lumineux AB est placé perpendiculairement à l’axe optique qui contient les points A et A’ image de A. Pour obtenir une image nette de l’objet, on déplace la lentille, le long de son axe optique, entre l’écran d’observation E et cet objet. Soit D = 80 cm la distance entre l’écran E et AB. On demande de :

1. déterminer les positions de la lentille pour lesquelles on observe une image nette de AB sur l’écran ;
2. donner les caractéristiques de l’image obtenue pour chacune des positions précédentes.

Exercice 2 (8 points)

La figure 1 représente la trajectoire d’une voiture qui est composée d’une partie horizontale (AB) et d’une côte (BCD) de pente 3 %. La voiture part sans vitesse initiale de A pour aller en D. À l’intérieur de cette voiture est accroché au plafond un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur l = 40 cm au bout duquel est fixée une petite boule assimilable à un point matériel. La masse de la voiture chargée est M = 1 000 kg. Soit F_f = 200 N la résultante de toutes les forces de frottement qui est constante et parallèle au déplacement. L’accélération de la pesanteur est g = 10 m/s².

1. Calculer la vitesse V_B en B de la voiture lorsqu’elle parcourt la route AB = 2 km avec une accélération constante a = 0,1 m/s².
2. Le chauffeur garde jusqu’en C cette vitesse acquise en B pour monter la côte. Calculer la force F_m et la puissance P_m que le moteur de cette voiture doit développer pour maintenir cette vitesse.
3. À l’arrivée en C, le chauffeur débraye (annule l’action du moteur) et freine en même temps pendant que la voiture continue à monter la côte jusqu’à l’arrêt en D tel que CD = 200 m. Calculer : a) la force de freinage F_r ; b) la quantité de chaleur dégagée Q résultant du freinage (en joules) ; c) l’angle d’inclinaison β du pendule par rapport à la verticale au cours du freinage ; d) la période T des oscillations du pendule lorsque la voiture s’arrête en D. On néglige la résistance de l’air.

Figure 1 : route A–B horizontale, côte B–C–D — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3 (8 points)

On considère le montage (Fig. 2a) formé par deux rails (AB) et (CD) parallèles, horizontaux de résistance négligeable, reliés aux bornes d’un générateur de force électromotrice E = 10 V, de résistance intérieure r = 1 Ω. Une tige homogène conductrice (MN) de résistance r₁ = 1 Ω est disposée perpendiculairement aux rails et qui peut glisser sans frottement sur ces rails. Pour créer un champ magnétique uniforme d’intensité B = 0,4 T, on place autour de la tige (MN) un aimant en U de largeur l = 10 cm.

1. Représenter sur la tige (MN) la force électromotrice F, le champ magnétique B et le sens du courant I qui circule dans la tige.
2. Calculer l’intensité I du courant.
3. Déterminer l’intensité F de la force électromagnétique.
4. Calculer la valeur de la masse m à suspendre au bout d’un fil non conducteur, souple, inextensible, de masse négligeable attaché au milieu de la tige pour immobiliser celle-ci. On prendra g = 10 m/s².
5. On remplace la masse par un ressort de raideur k = 10 N/m et de masse négligeable pour limiter le déplacement de la tige (Fig. 2b). Calculer la variation Φ du flux magnétique à travers le circuit qui a lieu entre le début et la fin de ce déplacement dû à ce ressort lorsque le circuit est fermé.

Figures 2a et 2b — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 2009 transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 2009/2010 · Option : Toutes · Durée : 2 heures 30 minutes

Exercice 1

Un canon éjecte ses obus avec une vitesse v₀ = 200 m/s. On désire atteindre un objectif situé au sommet d’une montagne de hauteur h = 1 000 m. On pose x_m la distance horizontale entre le canon et l’objectif et g l’accélération de la pesanteur. En négligeant la résistance de l’air, ainsi que les effets dus à la rotation de la terre :

1. Trouver la relation entre x_m, v₀, g et h. Pour g = 10 S.I., calculer x_m.
2. Chercher, en fonction de l’angle α, les points de coordonnées (X, Y) qui peuvent être atteints par l’obus.
3. On se place à la moitié de la distance x_m qui vient d’être déterminée et on appelle α l’angle que doit faire l’axe du canon avec l’horizontale pour atteindre l’objectif. Trouver la relation entre x_m, h, v₀, g et α. Calculer la ou les valeurs de α en degrés et en minutes.
4. Calculer la vitesse de l’obus au moment de l’impact avec l’objectif.

Schéma : parabole de sûreté, montagne, angle α, distance x_m — voir le scan ci-dessous.

Exercice 2

Un objet AB est observé à travers une lentille mince L₁ convergente, de distance focale 4 cm. L’objet AB a une hauteur de 1 cm et est situé à 2 cm de la lentille L₁.

1. Déterminer les caractéristiques de l’image (position, nature, grandeur et sens par rapport à l’objet).
2. Devant la lentille L₁ est placée une autre lentille mince convergente de distance focale 4 mm. Les deux lentilles sont axiales et la longueur optique Δ = F’₂F₁ = 3 cm. Le doublet donne à un objet AB une image A’B’ observée par un œil situé au foyer principal F’₁.
   • Construire l’image donnée par le doublet.
   • Montrer que pour une vision à l’infini de l’image A’B’ la puissance de ce doublet s’exprime par P = Δ / f₁f₂. Justifier l’unité de dioptrie utilisée pour la puissance. Calculer sa valeur.
   • En déduire la longueur d’un objet vu à travers ce doublet sous un angle α = 5’.

Exercice 3

Considérons le système oscillateur de la figure (ressort K₁, masse m₁, ressort K₁₂, masse m₂, ressort K₂, entre deux supports fixes).

Système oscillateur à deux masses — voir le scan ci-dessous.

1. Donner les équations différentielles des mouvements de m₁ et m₂.
2. Donner l’équation des pulsations.
3. En considérant la masse m₂ immobile, déterminer la pulsation propre du système m₁, et ensuite en considérant m₁ immobile, la pulsation propre du système m₂.
4. En posant m₁ = m₂ = m ; K₁ = K₂ = K : déterminer les sens du mouvement du système, en étudiant les signes des amplitudes ; calculer la période de m₁ et m₂.

Exercice 4

Un fil de cuivre de longueur totale δ est enroulé autour d’un cylindre creux isolant. Il constitue ainsi un solénoïde de longueur l = 50 cm, de diamètre 8 cm et comportant N = 500 spires. Un Tesla-mètre, réglé sur la sensibilité 10 V → 0,5 T, est inséré au centre.

1. Le Tesla-mètre indique 26,1 mV, quelle est la valeur du champ magnétique ?
2. Calculer la perméabilité du vide.
3. Calculer l’inductance du solénoïde.
4. Calculer le flux propre à travers le solénoïde s’il est parcouru par un courant continu de I = 1 A.
5. Calculer la f.é.m. auto-induite lorsque l’intensité du courant varie linéairement de 1 A à 0 A, en 70 ms. Interpréter son signe.
6. Une aiguille aimantée horizontale est placée au centre du solénoïde. Elle est perpendiculaire à l’axe du solénoïde lorsque I = 0 A. Quelle est l’intensité du courant pour que l’aiguille tourne d’un angle de 70° ? (Composante horizontale du champ géomagnétique B₀ = 2·10⁻⁵ T.)

Exercice 5

La broche d’un tour à bois est entraînée par un moteur de puissance P = 500 W, à deux fréquences de rotation N₁ = 1 500 tr/mn et N₂ = 3 200 tr/mn. Le tournage s’effectue avec prise de pièce entre pointes. La pointe fixe exerce sur la pièce une action mécanique dont la projection, sur l’axe Ox passant par les pointes, du moment résultant vaut M = 0,5 N·m. Les dimensions de la pièce de bois à usiner sont : L = 600 mm (longueur) et D = 95 mm (diamètre). La densité du bois est supposée égale à 1. Le rotor de la perceuse est assimilé à un solide de moment d’inertie égal à I_rot = 2·10⁻⁴ kg·m².

1. Déterminer le couple moteur C.
2. Déterminer le moment d’inertie de la pièce de bois.
3. Calculer la vitesse angulaire nominale acquise à la date T.

Énoncé — session 2011 transcrit depuis le sujet scanné

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Session du 23-24 février 2011 (année 2010/2011) — Ingéniorat · Option : Toutes · Durée : 2 h 30 mn

Exercice 1 (4 points)

On considère un système optique accolé L, de centre optique O, formé de deux lentilles minces L₁ et L₂ de vergences respectives : C₁ = 203 δ et C₂ = −5 δ. Devant ce système, à une distance 30 cm de O, un objet lumineux AB de hauteur 10 cm est placé perpendiculairement à l’axe optique qui contient les points A et A’ image de A.

1. Calculer la distance focale f du système.
2. Donner les caractéristiques de l’image A’B’ de AB.
3. Construire l’image A’B’ (échelle : 1 cm ↔ 10 cm).

Exercice 2 (8 points)

La figure 1 représente une résistance r = 20 Ω branchée en série avec une bobine de résistance R et d’inductance L. Trois voltmètres (V), (V₁) et (V₂) indiquent respectivement les valeurs efficaces : U = 110 V ; U₁ = 36 V ; U₂ = 81 V des trois différences de potentiel u = v_A − v_B ; u₁ = v_A − v_C ; u₂ = v_C − v_B. Soit f = 50 Hz la fréquence et i la valeur instantanée de l’intensité du courant. On demande de calculer :

1. l’impédance de la bobine ;
2. les valeurs de R et L ;
3. le déphasage entre u₂ et i ;
4. la puissance moyenne consommée par l’ensemble formé par la bobine et la résistance r.

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3 (8 points)

Une bille B de masse m, assimilable à un point matériel, est attachée aux points A et C d’un axe de rotation vertical (D) par deux fils inextensibles AB et BC de même longueur l et de masses négligeables. L’ensemble tourne autour de (D) à une vitesse angulaire constante ω₁ permettant aux deux fils de former un angle α avec (D) (Fig. 2).

1. Déterminer les tensions T₁ et T₂ respectives des fils AB et BC en fonction de ω₁, m, l, α et g (g est l’accélération de la pesanteur).
2. Quelles sont les expressions de T₁ et T₂ dans le cas où AC = AB = BC = l ?
3. La bille et les fils précédents sont remplacés par une bille M de masse m suspendue à un ressort de raideur k et de longueur l₀ et pouvant glisser sur une tige articulée en A. La rotation de l’ensemble à la vitesse angulaire constante ω autour de (D) permet d’obtenir l’angle θ indiqué par la figure 3. En négligeant les frottements et les masses du ressort et de la tige, déterminer : a) l’allongement x du ressort correspondant à cette position angulaire θ ; b) la vitesse angulaire minimale ω_min pour que le système (M ; tige ; ressort) s’écarte de (D).

Figures 2 et 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1995 (année 1995-1996) transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1995-1996 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

Documents non autorisés.

Exercice n° 1

Dans tout le problème, on prendra g = 1 m/s² [ainsi sur le scan] et l’on néglige les frottements.

A°) Un solide (S), que l’on assimilera à un point matériel de masse M = 200 g, peut glisser en suivant la ligne la plus grande pente d’un plan incliné qui forme un angle α = 30° avec le plan horizontal. Le solide (S) est lâché sans vitesse initiale du point A. Il parcourt la distance AB = l = 2,50 m sur le plan incliné (figure 1).

1. Déterminer la nature du mouvement pris par (S) et calculer la durée t₁ du trajet AB.
2. Calculer le module V₁ de la vitesse V₁ de (S) en B. Quelles sont les composantes horizontale et verticale V_1x et V_1y ?

B°) Arrivé en B, le solide (S) animé de la vitesse V₁ tombe sur le plan horizontal situé en contrebas à une distance h de B (figure 1). La chute dure t₂ = 0,5 s.

1. Calculer la distance horizontale a, comprise entre la verticale passant par B et le point d’impact sur le plan horizontal, puis la hauteur h.
2. Calculer l’énergie cinétique du solide (S) à son arrivée sur le plan horizontal.

Figure 1 — voir le scan ci-dessous.

Exercice n° 2

Pour tous les problèmes, on néglige la masse du ressort et le mouvement se fait selon la verticale.

1. Déterminer la période d’oscillations t₁ d’un ressort de constante de raideur k₁ au bout inférieur duquel on a suspendu une masse m.
2. On appelle T₁ et T₂ les périodes respectives des deux ressorts de constante de raideur k₁ et k₂, lorsque la même masse m est suspendue de leur bout respectif. On accroche maintenant bout à bout les deux ressorts comme le montre la figure ci-contre (figure 2). En appelant T la période de l’ensemble lorsqu’on suspend la même masse m au bout du deuxième ressort, exprimer T en fonction de T₁ et T₂.

Exercice n° 3

Entre les deux bornes A et B s’établit une ddp alternative de tension efficace V₀ = 220 V et fréquence constante 50 Hz. Le schéma de la figure 3 est composé de : une résistance R = 25 Ω ; une inductance Lω = 60 Ω ; un condensateur C de capacité variable. L’inductance L ne supporte pas de tension supérieure à V₁ = 120 V, au-delà de laquelle elle sera détruite. Dans la suite, on situe la position du problème à cette valeur limite V₁. On demande :

• le diagramme de Fresnel des tensions ;
• la capacité limite 1/Cω du condensateur ;
• le facteur de puissance maximale.

Figure 3 — voir le scan ci-dessous.

Énoncé — session 1998 (année 1998-1999) transcrit depuis le sujet scanné (2 pages, première page ci-dessous, les autres dans le PDF)

Université d’Antananarivo — École Supérieure Polytechnique — Concours d’entrée en première année · Année universitaire 1998-1999 — Cycle ingénieur · Option : Toutes · Durée : 3 heures

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Exercice n° 1

Un point matériel M décrit les trajectoires suivantes :

• a°) Une trajectoire rectiligne AB horizontale de longueur 1 300 m. En A, la vitesse est égale à zéro. En B, la vitesse atteint 300 km/s [ainsi sur le scan ; la figure porte V_B = 300 km/h]. Le mouvement est uniformément accéléré.
• b°) Une trajectoire circulaire BC de rayon R = 0,5 km. L’angle BOC est égal à 30°. Le mouvement est uniformément accéléré avec la même accélération que sur la trajectoire AB.
• c°) Une trajectoire rectiligne CD inclinée de 30° sur l’horizontale. La différence de cote de C en D est de 8 km. Le mouvement est encore uniformément accéléré mais avec une accélération différente. En D la vitesse est de 800 km/h.

Schéma des trajectoires AB, BC, CD — voir le scan ci-dessous.

Questions. Trajectoire AB : écrire les équations de mouvement et calculer le temps mis par le mobile pour se déplacer de A en B ainsi que la valeur de l’accélération γ du mouvement si on suppose que le mobile est en B quand on fait t = 0.

Trajectoire BC : a°) Calculer la vitesse angulaire ω en B et l’accélération angulaire du mouvement ω’. b°) Écrire les équations angulaires et linéaires du mouvement. c°) Calculer ω_C, V_C et l’accélération normale γ_n et le temps t.

Trajectoire CD : écrire les équations du mouvement, en supposant que le temps t = 0 quand ce mobile est en B. Calculer la valeur du module de l’accélération γ et l’intervalle de temps mis par le mobile entre l’instant où il quitte le point B et celui où il atteint le point D.

Exercice 2

1. Trouver l’expression de la relation entre la vitesse V_M d’un satellite artificiel M, assimilable à un point matériel, et la hauteur h où il se trouve. On considère que la trajectoire est circulaire autour de la terre. La force d’attraction F du satellite par la terre est considérée comme inversement proportionnelle au carré de la distance OM (satellite – centre de la terre) : F = Km(OM)² où m : masse du satellite, K : constante (à déterminer).
2. Calculer à quelle hauteur de la terre en mouvement doit-on libérer le satellite pour que l’on puisse l’apercevoir immobile d’un point A sur la terre. On donne : g = 9,81 m/s² ; R = 6 370 (rayon de la terre) ; ω = 0,0007 rd/s (module du vecteur vitesse angulaire de la rotation de la terre).

Schéma de la terre et du satellite M à la hauteur h — voir le scan ci-dessous.

Exercice 3

On désire déterminer la profondeur d’un grand lac par l’étude du mouvement de descente d’une charge C, assimilable à un point matériel. En laissant descendre une charge C avec une vitesse V₀, elle atteint le fond du lac après un certain temps T. Déterminer l’expression S (chemin de la charge) si la projection sur l’axe des x des seules forces résistantes à considérer de l’eau sur la charge est exprimée par : R = −km ẋ où m : masse de la charge, ẋ : projection de sa vitesse sur l’axe, k : constante positive. L’axe vertical des x est orienté vers le bas. O est l’origine de l’axe correspondant à la position de C au début de sa descente.

Schéma du lac — voir le scan ci-dessous.

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Les autres épreuves du concours :

• Sujets de Chimie
• Sujets de Culture générale
• Sujets d’Électricité
• Sujets de Français
• Sujets de Mathématiques
• Sujets de Résistance des matériaux
• Sujets de Test psychotechnique