Sujets de Mathématiques — Concours Agro ESSA Tana (1998-2007)

CONCOURS D’ENTRÉE À L’ESSA — SCIENCES AGRONOMIQUES, AGRO TANA (ANKATSO), ANTANANARIVO

Sujets de Mathématiques

Sessions 1998 à 2007 — 10 sujets, énoncés transcrits

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Énoncé — session 1998 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = 13 x³ − ln x − 15.

1. Étudier les variations de f et calculer limx → 0 f(x) et limx → +∞ f(x).
2. Soit k un entier tel que 1 ≤ k ≤ n − 1 avec n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
   a) Montrer que 1nf(k + 1n) ≤ ∫(k+1)/nk/nf(t) dt ≤ 1nf(kn).
   b) En déduire les inégalités :

   (1) 1n[f(2n) + … + f(nn)] ≤ ∫11/nf(t) dt ≤ 1n[f(1n) + … + f(n − 1n)]

   qu’on peut aussi écrire sous la forme :

   1n∑k=nk=2f(kn) ≤ I(1n) ≤ 1n∑k=n−1k=1f(kn)

   avec I(x) = ∫1xf(t) dt pour tout x > 0.

3. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose S_n = 1n[f(1n) + … + f(nn)] = 1n∑k=nk=1f(kn).
   a) Déduire des inégalités (1) l’encadrement I(1n) ≤ S_n ≤ I(1n) + 1n f(1n).
   b) À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫1xln t dt et en déduire I(λ) = ∫1λf(t) dt ; λ ∈ ]0 ; 1[.
   c) Déterminer limλ → 0 λ f(λ) et prouver alors que limn → +∞ S_n = 34.

Exercice 2

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v). On note A le point d’affixe Z. Soit φ l’application de P vers P qui à tout point M d’affixe Z associe le point M’ = φ(M) d’affixe Z’ définie par :

Z’ = 3 + i√34 Z + 1 − i√32

1. Déterminer : a. l’affixe du point φ(A), image de A par φ ; b. l’affixe du point P tel que φ(P) = O.
2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de φ.
3. Lorsque le point M est distinct du point A : a. démontrer que le triangle AMM’, où M’ = φ(M), est rectangle en M’ ; b. le point M et le milieu du segment [AM] étant donnés, en déduire une construction au compas du point M’.

Exercice 3

Soit (U_n) la suite définie pour tout entier naturel n par : U₀ = 1 ; U₁ = 1 ; U_n+2 = 4U_n+1 − 4U_n. On note (R) la relation liant U_n, U_n+1 et U_n+2.

1. Calculer U₂, U₃, U₄ et U₅.
2. Démontrer qu’il existe une suite géométrique unique de terme général rⁿ avec r ≠ 0 satisfaisant la relation (R).
3. a. Vérifier alors que, quels que soient les réels α et β, la suite (V_n) définie par V_n = (αn + β) rⁿ, où r est le réel calculé en 2, vérifie la relation (R).
   b. Calculer α et β pour que (V_n) vérifie les conditions initiales V₀ = 1 et V₁ = 1.
   c. On suppose que pour tout entier naturel n, V_n = (2 − n) 2ⁿ⁻¹. Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4 on a 2 − n ≤ −2. En déduire limn → +∞ V_n.

Énoncé — session 1999 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

1. a) Montrer que limn → +∞ ln(n + 3ⁿ)4n = 0.
   b) En déduire que limn → +∞ ln(1 + n3ⁿ)4n = ln 34.
2. Pour tout entier naturel n, on pose U_n = 12 ∫103ⁿ x1 + n3ⁿ x² dx
   a. Calculer U₀.
   b. Calculer U_n pour tout entier n > 1.
   c. Étudier la convergence de la suite (U_n).

Exercice 2

Un tournoi oppose deux joueurs A et B qui jouent trois parties successives d’un même jeu. Le vainqueur du tournoi est le joueur qui a gagné le plus de parties. À chaque partie, le joueur A a une probabilité de 0,5 de gagner et une probabilité de 0,3 de perdre.

1. a. Dresser la liste des tournois sans vainqueur.
   b. Montrer que la probabilité que le tournoi soit sans vainqueur est égale à 0,188.
2. a. Calculer la probabilité que le joueur A gagne exactement une partie du tournoi et remporte le tournoi.
   b. Montrer que la probabilité que le joueur A soit vainqueur du tournoi est 0,560.

Exercice 3

1. Étudier les variations des fonctions f et g définies par :

   f(x) = ln(1 + x) − ln x − 1x + 1

   g(x) = ln(1 + x) − ln x − 1x

2. En déduire que pour tout entier naturel p > 0, on a :

   1p + 1 < ln(p + 1) − ln p < 1p

3. Soit la suite (U_n) définie pour n ≥ 1 par U_n = 1 + 12 + 13 + … + 1n. Montrer que limn → +∞ U_n = +∞.
4. Soit la suite (V_n) définie pour n ≥ 1 par V_n = 1 + 12 + 13 + … + 1n − ln n.
   a. Montrer que pour n ≥ 1, V_n > 0.
   b. Montrer que (V_n) est une suite décroissante.
   c. Conclure.

Énoncé — session 2000 transcrit depuis le sujet scanné

I.

Un sac contient cinq boules blanches : deux portent le numéro 0, deux le numéro 1 et une le numéro 3 ; et cinq boules noires dont une porte le numéro 0 et quatre le numéro 3. Chaque boule a la même probabilité d’être tirée.

1. On tire simultanément trois boules du sac au hasard. Quelle est la probabilité des événements suivants : B « les boules sont différentes » ; A « les numéros des boules sont impairs » ?
2. Maintenant on tire une boule au hasard et on la remet dans le sac. On effectue ainsi deux tirages successifs. On désigne par « a » le numéro apparu sur la première boule tirée et par « b » celui sur la deuxième boule. On associe à cette épreuve la suite (U_n) définie par son premier terme non nul U₀ et la relation : pour tout n de ℕ, U_n+1 = aU_n + b. Calculer la probabilité des événements : N : « (U_n) est une suite géométrique non constante » ; T : « (U_n) est une suite arithmétique non constante ».
3. Cette fois-ci, on tire une boule du sac. Si on obtient le numéro 1, on s’arrête ; sinon on remet la boule dans le sac et on recommence le tirage. On procède ainsi jusqu’à ce qu’on obtienne le numéro 1. On désigne par k le nombre de tirages qu’il a fallu faire pour obtenir la boule numérotée 1. Déterminer la probabilité de l’événement : « le nombre k > 3 ».

II.

1. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = ln(x + 1) − ln x + xx + 1.
   a. Calculer limx → +∞ ln(1 + 1x) puis limx → +∞ g(x).
   b. Dresser le tableau de variation de g. En déduire le signe de g(x) pour tout réel x strictement positif.
2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(0) = 0 et f(x) = x[ln(x + 1) − ln x] si x > 0.
   a. Étudier la continuité puis la dérivabilité de f en 0.
   b. Calculer f’(x), ∀x > 0, et déterminer le signe de f’(x).
   c. Déterminer limx → +∞ f(x) (on pourra écrire f(x) = x ln(1 + 1x)).
   d. Dresser le tableau de variation de f.
3. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité : 4 cm).
   a. Soit (T) la tangente à (C) au point d’abscisse 1. Déterminer l’intersection de (T) et de l’axe y’y.
   b. Construire (C) et (T).

Énoncé — session 2001 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

La fonction f est définie sur ℝ par : f(x) = |1 − e^−x| − 2x.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x₀ = 0.
2. a. Étudier les variations de f.
   b. Étudier les branches infinies de la courbe représentative C de la fonction f.
   c. Tracer C.

Exercice 2

Soit g l’application de E = ℂ − {−2i} dans ℂ définie par : z → g(z) = iz + 4 − 2iz + 2i.

1. a. Résoudre dans ℂ l’équation g(z) = iz + 1 − 2i. On notera z₁ et z₂ les deux solutions, avec |z₁| < |z₂|.
   b. Déterminer les entiers naturels n pour lesquels (z₂)ⁿ est un entier négatif.
2. Soit M le point d’affixe z. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que π2 soit une mesure de l’argument de g(z).

Exercice 3

Les statistiques montrent que dans une région agricole X, si la production de riz est bonne une année, la probabilité qu’elle soit encore bonne l’année suivante est 0,7 et que si elle est mauvaise une année, la probabilité qu’elle reste mauvaise l’année suivante est 0,6.

1. La production de riz de cette région a été bonne en 1999. Calculer la probabilité qu’elle soit bonne en l’an 2001.
2. Si la production est mauvaise en l’an 2000, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une année de bonne récolte avant l’année 2003.

Énoncé — session 2002 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

1. a. Calculer pour tout réel x différent de −1, la somme : S_n(x) = 1 − x + x² − x³ + … + (−1)ⁿ⁻¹ xⁿ⁻¹, (n ≥ 1).
   b. En déduire les inégalités ∫10(−x)ⁿ1 + x dx = ln 2 − [1 − 12 + 13 − 14 + … + (−1)⁽ⁿ⁻¹⁾].
2. a. Montrer que pour tout n ≥ 1, pour tout x ∈ [0 ; 1] :

   −(xⁿ) ≤ (−x)ⁿ1 + x ≤ xⁿ

   b. En déduire les inégalités

   −1n + 1 ≤ ∫10(−x)ⁿ1 + x dx ≤ 1n + 1

   c. Calculer la limite, quand n → +∞, de la suite (U_n), n ∈ ℕ*, définie par

   U_n = 1 − 12 + 13 − 14 + … + (−1)⁽ⁿ⁻¹⁾n

3. a. Calculer en fonction de n et x, la somme e^x S_n(e^x).
   b. Calculer l’intégrale (−1)ⁿ ∫10e^(n+1)x1 + e^x dx.

Exercice 2

1. On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ce dé est pipé, de telle sorte qu’à chaque face portant le chiffre x, on associe par une application p le nombre réel p(x) = ln α^x, α > 0 ; x ∈ {1, 2, …, 6}, ln = logarithme népérien.
   a. Déterminer α pour que p soit une probabilité.
   b. On lance une fois ce dé. Donner la probabilité d’apparition de chacune de ses faces.
2. On considère maintenant deux dés cubiques discernables et non pipés D₁ et D₂. Chacun de ces deux dés porte sur ses faces les numéros de 1 à 6. On jette simultanément les 2 dés et on attend qu’ils s’immobilisent, et on observe les numéros marqués sur la face supérieure des deux dés. On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables. Soit l’univers Ω = {(i, j) / i ∈ D₁, j ∈ D₂} où i, j ∈ {1, 2, …, 6}.
   a. Calculer la probabilité pour que Inf(i, j) = 4 où Inf(i, j) désigne le plus petit des deux numéros i et j.
   b. Calculer la probabilité pour que le produit i.j = 25 soit obtenu exactement deux fois, si on jette 3 fois et indépendamment les deux dés.

Exercice 3

Soit la fonction f définie par f(0) = 0 et f(x) = x|ln|x|| si x différent de zéro.

[Les questions de cet exercice sont absentes du recueil : la page s’arrête à la définition de f.]

Énoncé — session 2003 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

I. Un jeu forain utilise une roue divisée en dix secteurs identiques : sept sont verts, trois sont rouges. On fait tourner la roue, et lorsqu’elle s’arrête, un index désigne un secteur, chaque secteur ayant la même probabilité d’être obtenu.

1. On lance une fois la roue. Préciser l’ensemble E des résultats possibles. Déterminer la probabilité de chacune des éventualités de E. On dit que l’on a déterminé la loi de probabilité de E.
2. Jouer une partie est l’expérience aléatoire consistant à faire tourner la roue trois fois de suite, de façon indépendante, en notant à chaque arrêt la couleur obtenue. Soit Ω l’ensemble des résultats obtenus.
   a. Donner les éléments de Ω.
   b. Montrer que la probabilité d’obtenir trois fois vert est égale à 0,343.
   c. Calculer la probabilité de : A « obtenir au moins une fois rouge » ; B « obtenir exactement deux fois rouge ».

II. On partage un cake rectangulaire contenant n raisins secs en 8 parts égales. On suppose que les raisins sont répartis au hasard.

1. On suppose que n = 10. Quelle est la probabilité pour qu’une part donnée contienne exactement 2 raisins ?
2. Étant donné l’entier k tel que 0 ≤ k ≤ n :
   a. Quelle est la probabilité pour qu’une part donnée contienne exactement k raisins ?
   b. Calculer en fonction de n la probabilité pour qu’une part donnée contienne au moins un raisin.

Exercice 2

1. Calculer le PGCD des deux nombres 138 807 et 52 089.
2. Montrer que les deux nombres entiers 4 312 et 1 755 sont premiers entre eux.
3. Montrer que pour tout n appartenant à ℕ, n³ − n est divisible par 3.

Exercice 3

1. Soit la fonction définie sur l’intervalle J = [1 ; 3] telle que f(x) = 1 − x + ln(1 + x).
   a. Dresser le tableau de variation de f.
   b. Montrer que f est une bijection de I vers J que l’on déterminera.
   c. En déduire qu’il existe un seul nombre réel α ∈ ]1 ; 3[ tel que f(α) = 0.
2. Soit (U_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par U₀ = 1 et pour tout n de ℕ, U_n+1 = g(U_n) avec g la fonction définie pour tout x de I = [1 ; 3] par g(x) = 1 + ln(1 + x).
   a. Montrer que g est une fonction croissante.
   b. En déduire que : i. pour tout x de I, g(x) appartient à I ; ii. pour tout n de ℕ, U_n appartient à I.
3. a. Montrer que pour tout x de I, 14 ≤ g’(x) ≤ 12.
   b. Démontrer que pour tout x de I, on a |g(x) − α| ≤ 12|x − α| où α est défini dans 1).
   c. En déduire que pour tout n de ℕ, on a |U_n+1 − α| ≤ 12|U_n − α|.
4. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul, on a |U_n − α| ≤ (12)ⁿ⁻¹.
   b. En déduire que (U_n) est convergente et calculer sa limite.
   c. Déterminer le plus petit entier n₀ ∈ ℕ tel que pour tout n de ℕ, n ≥ n₀, on a |U_n − α| < 10⁻². On donne ln 2 ≈ 0,7 ; ln 3 ≈ 1,1 ; ln 10 ≈ 2,3.

Énoncé — session 2004 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

Une urne contient 5 jetons identiques portant les chiffres 1, 2, 3, 4, 5.

1. On extrait au hasard, un à un, les cinq jetons et on obtient un nombre de 5 chiffres. Quelle est la probabilité des événements suivants : a. obtenir un nombre pair ; b. obtenir un nombre divisible par 15 ?
2. Maintenant on extrait simultanément deux jetons de l’urne. On demande à un joueur de faire deux essais de suite. Quelle est la probabilité pour que le joueur obtienne deux fois le couple (pair, impair) ou (impair, pair) ?

Exercice 2

1. Résoudre dans ℂ l’équation : z³ + iz² + (1 − i)z + 2 − 2i = 0 sachant qu’elle admet une racine réelle z₀ et une racine imaginaire pure z₁. On notera z₂ la troisième racine.
2. a. Donner la forme trigonométrique de z₀, z₁, z₂.
   b. Déterminer les entiers naturels n pour lesquels z₂ⁿ est un réel négatif.
3. Dans un plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v), on considère les points A, B et M d’affixes respectives 1 + i ; −2i et z, avec z ≠ −2i. On pose : Z = z − 1 − iz + 2i. Sans écrire l’équation, déterminer et tracer :
   a. l’ensemble (E₁) des points M tels que Z soit réel ;
   b. l’ensemble (E₂) des points M tels que |Z| = 1 ;
   c. l’ensemble (E₃) des points M tels que arg(Z) = π2.

Exercice 3

Soit la fonction f définie par f(x) = x − 14 − 2 ln x où ln est la fonction logarithme népérien.

1. a. Montrer que l’équation f(x) = 0 possède deux solutions et deux seulement, dont l’une entière et l’autre x₀ ∈ [3 ; 4] (on ne demande pas de calculer x₀).
   b. Montrer que x₀ = √1 + 8 ln x₀.
2. Soit h la fonction définie sur [3 ; +∞[ par h(x) = √1 + 8 ln x.
3. Montrer que h(x) ≥ 3 et que 0 ≤ h’(x) ≤ 49.
4. Soit (U_n) la suite définie par U₀ = 3 et U_n+1 = h(U_n) = √1 + 8 ln U_n. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, U_n ≥ 3.
5. a. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, |U_n+1 − x₀| ≤ 49|U_n − x₀|.
   b. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, |U_n − x₀| ≤ (49)ⁿ. En déduire la convergence de (U_n).
   c. Trouver un entier n₀ tel que |U_n − x₀| < 10⁻².

Énoncé — session 2005 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

1. Calculer (1 − 2i)⁴.
2. a. Quelles sont les racines quatrièmes de (−7 + 24i) ?
   b. Placer dans un repère orthonormé les images de ces racines.
3. Calculer les racines quatrièmes de (7 − 24i).

Exercice 2

A. Dans un lycée comptant 1 600 élèves : 640 ont déclaré aimer la S.V.T., 960 les mathématiques et 240 la S.V.T. et les mathématiques. On rencontre au hasard un élève de ce lycée. Quelle est la probabilité que cet élève :

• a. aime la S.V.T. mais pas les mathématiques ;
• b. aime les mathématiques mais pas la S.V.T. ;
• c. n’aime ni la S.V.T. ni les mathématiques ?

B. a. Trouver tous les entiers naturels a et b, avec a < b, connaissant leur PGCD 42 et leur PPCM 1 680.
b. Déterminer tous les entiers relatifs x vérifiant : 8x ≡ 7 (modulo 5).

Exercice 3

1. Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ :

   1x(1 + x)² = ax + b1 + x + c(1 + x)²

   Dans toute la suite on prendra a = 1, b = c = −1.

2. a. Soit m > 1 ; calculer ∫x1dxx(1 + x)².
   b. Soit la fonction φ définie sur ]1 ; +∞[ par φ(X) = ∫X1ln x1 + x² dx. En intégrant par parties, calculer φ(X) en fonction de X.
   c. Montrer que limx → +∞ ln x1 + x² = 0. En déduire que limx → +∞ φ(x) = 12(ln 2 − 12).

Énoncé — session 2006 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice 1

A. Soit la suite (I_n) définie sur ℕ* par I_n = ∫10e^nx1 + e^x dx.

1. Étudier le sens de variation de I_n.
2. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], on a : 14 ≤ 11 + e^x ≤ 12. En déduire un encadrement de I₁ et la limite de la suite (I_n).

B. On considère les intégrales : I = ∫x0e^t cos² t dt et J = ∫x0e^t sin² t dt pour x réel.

1. Calculer I + J, puis I − J.
2. En déduire I et J.

Exercice 2

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O ; u, v), on note (E) l’ensemble des points M d’affixe z telle que : |(1 − i)z + 4i| = 3√2 (1).

1. On pose z = x + iy ; x et y nombres réels.
   a. Déterminer une équation cartésienne de (E).
   b. Représenter (E).
2. a. Vérifier que l’égalité (1) est équivalente à |z − (2 − 2i)| = 3.
   b. Caractériser géométriquement (E).
3. Soit s la similitude d’écriture complexe : z’ = (1 − i)z + 4i.
   a. Déterminer les éléments géométriques de s.
   b. Quelle est l’affixe du point O’ dont l’image par s est O ?
   c. Calculer O’M lorsque M est un point de (E) et caractériser (E).

Exercice 3

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs. Une urne contient 6 boules numérotées par les 6 premiers nombres premiers. On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne. On note : A l’événement « la somme des numéros des 3 boules tirées est un nombre premier » ; B l’événement « le numéro 2 figure parmi les 3 boules tirées » ; C l’événement « la somme des numéros des 3 boules tirées est paire ».

1. Calculer le nombre de tirages possibles.
2. Calculer P(A), probabilité de A.
3. a. Calculer P(B) et P(C), probabilités respectives de B et C.
   b. Que constate-t-on ? Expliquez.

Énoncé — session 2007 transcrit depuis le sujet scanné

Exercice I

Pour tout n entier naturel, on considère les intégrales suivantes : I_n = ∫π/20e^−nx sin(x) dx et J_n = ∫π/20e^−nx cos(x) dx.

1. Calculer I₀ et J₀.
2. Soit n un entier naturel non nul.
   a. En intégrant par parties I_n puis J_n, prouver que I_n et J_n vérifient le système :

   I_n + nJ_n = 1 ; −nI_n + J_n = e^−nπ/2

   b. En déduire, pour n entier naturel non nul, les expressions de I_n et J_n en fonction de n.

3. Déterminer limn → +∞ (I_n) = 0 et limn → +∞ (J_n) = 0.

Exercice II

1. Calculer le module et l’argument du nombre complexe z = 11 + i·tg α suivant les valeurs de α ; α ∈ ]−π ; π].
2. Placer dans un repère orthonormé (O ; u, v), les images respectives A et B des nombres complexes [formule absente du recueil].
3. Soit l’image du nombre complexe Z = [formule absente du recueil] où x est un réel quelconque. Calculer le module r et l’argument de [formule absente du recueil].

Exercice III

On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 1, où (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.

1. Donner une solution particulière de l’équation (E).
2. Résoudre l’équation (E).
3. Soit k un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a ; b) de nombres entiers vérifiant k = 8a + 1 et k = 5b + 1.
   i) Montrer que le couple (a ; −b) est solution de (E).
   ii) Quel est le reste dans la division de k par 40 ?

Exercice IV

Un élève se présente à un examen, ayant étudié seulement deux des seize chapitres de son cours. L’examinateur [a préparé seize] sujets portant chacun sur un [chapitre] différent [phrase lacunaire dans le recueil]. Il fait tirer au candidat simultanément et au hasard n questions (1 ≤ n ≤ 16) ; on entend par « au hasard » l’équiprobabilité des tirages.

1. Si n = 2, quelle est la probabilité pour que le candidat tire au moins une question qu’il a étudiée ?
2. Pour quelles valeurs de n la probabilité pour que le candidat tire au moins une question qu’il a étudiée est-elle strictement supérieure à [valeur absente du recueil] ?

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Les autres épreuves du concours :

• Sujets de Français
• Sujets de Physique-Chimie
• Sujets de Sciences naturelles