BACCALAURÉAT DE L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL
SESSION 2003
Série D ; Épreuve de : MATHEMATIQUES
Durée : 04h ;
N.B. : Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Exercice 1 (5 points)
On considère deux des cubiques D et D’. Le dé D numéroté de 1 à 6 est pipé de telle sorte que les probabilités pi 1≤ i ≤ 6 d’apparition de la face numérotée i vérifient les conditions suivantes :
– p1 = p2 = p3
– p4 = 3p1
– p6 = 2p5 = 4p4
Le dé D’est non pipé, numérotée 1, 1, 1, 2, 2, 4. On note p’1, p’2, p’4 les probabilités d’apparition respectives des faces numérotées 1, 2 et 4.
Montrer que p1 = . En déduire pi 2 ≤ i ≤ 6.
On lance quatre fois de suite le dé D d’une façon indépendante. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la face numérotée 5.
Donner la loi de probabilité de X
Calculer l’espérance et la variance de X
On lance simultanément les dés D et D’. Calculer les probabilités des événements suivants :
A : « La somme des numéros obtenus est égale à 5 »
B : « La somme des numéros obtenus est inférieur ou égale à 7 »
C : « Les numéros obtenus sont identiques »
Exercice 2 (5 points)
Soit la polynôme complexe P définie par :
Résoudre dans l’équation P(z) = 0
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (, on considère les points M d’affixe = et d’affixe . sont des réels.
Soit S la similitude plane directe qui à tout point M associe le point telle que :
Ecrire l’expression complexe de S
Donner ses éléments caractéristiques
Donner l’image par S des points A (0,2) et I (1,2)
Soit R la rotation de centre A et d’angle . Donner la nature et les éléments géométriques de S’= R o S où o est la composition des applications.
Quel est l’ensemble (E) des points M d’affixe z vérifiant =
PROBLEME
Soit f la fonction telle que . On note (φ) la courbe de représentative de f dans un repère orthonormé ( d’unité 1 cm.
Calculer f ‘ et f ” dérivées première et seconde de f.
a- Etudier la variation de f ‘
b- En déduire le signe de f ‘(x) suivant les valeurs de x.
Etudier la variation de f.
Montrer que le droit (D) d’équation est asymptote oblique à (φ) et étudier la position de (φ) par rapport à (D) sur ]0, + [
Montrer qu’il existe un point unique A de (φ) où la tangente (T) à (φ) est parallèle à (D)
Tracer (D), (T) et (φ)
Calculer en cm² l’aire géométrique du domaine plan, limité par la courbe (φ), le droit (D) et les droites d’équations respectives et
On considère la fonction g définie sur ]3, + [par
Monter que g est décroissante
En déduire que si alors où n est un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On définit la suite (Un) n ≥ 3 par
Donner un encadrement de Un, puis en déduire limite Un
On donne : e-3 0,05 e-1 ≃ 0,37
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Corrigé disponible