SECRÉTARIAT GÉNÉRAL — DIRECTION GÉNÉRALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
Direction de l’Enseignement Supérieur — Service du Baccalauréat
Session 2026 — Série Littéraire — Options A1-A2
| Épreuve de : MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES | Coefficient : A1 = 1 ; A2 = 3 |
| Durée : 02 heures 15 mn | Code matière : 009 |
N.B. :
– Les deux exercices et le problème sont obligatoires.
– Calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
(Barème : les points entre parenthèses sont donnés dans l’ordre A1 ; A2.)
On considère la suite numérique \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\(U_0 = 5\)
\(U_{n+1} = \dfrac{U_n + 3}{4}\)
1. Calculer \(U_1\), \(U_2\). (0,5 ; 0,5)
2. On pose la suite \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) tel que \(V_n = U_n – 1\)
a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme \(V_0\) (1 ; 1)
b) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\). (1 ; 1)
c) En déduire l’expression de \(U_n\) en fonction de \(n\) (0,75 ; 0,75)
3. Soit \(S_n = V_0 + V_1 + \ldots + V_n\) et \(T_n = U_0 + U_1 + \ldots + U_n\)
a) Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\) (1 ; 1)
b) En déduire l’expression de \(T_n\) en fonction de \(n\) (0,75 ; 0,75)
Le tableau ci-dessous consigne l’évolution de l’effectif des élèves inscrits aux candidats de l’examen baccalauréat durant six années consécutifs :
| ANNÉE | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Rand de l’année \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Nombre d’élèves \(y_i\) | 340 | 310 | 325 | 380 | 365 | 395 |
⚠️ Remarque Laza-Adina : « Rand de l’année » est une coquille du sujet pour « Rang de l’année » : \(x_i\) est le rang de l’année (1 pour 2019, 2 pour 2020, …, 6 pour 2024). C’est cette lecture que nous retenons.
1. Construire le nuage des points associé à cette série statistique dans un repère orthogonal d’Échelle : (1 ; 1)
– Sur l’axe d’abscisses : 1 cm pour 1 unité
– sur l’axe des ordonnées : placé 300 à l’origine puis 1 cm pour 10 élèves
2. Déterminer les coordonnées du point moyen \(G\) (1 ; 1)
3. On partage cette série en deux sous-groupes d’effectifs égaux. Le premier partie est composé des trois premiers années et le second est compose des trois derniers années.
a) Calculer les coordonnées respectives des points moyen \(G_1\) et \(G_2\) de ces deux sous-groupes. (1 ; 1)
b) Établir l’équation de la droite d’ajustement \((G_1G_2)\) par la méthode de Mayer. (1 ; 1)
4. En utilisant cette droite, estimer l’effectif des élèves inscrits au baccalauréat en 2030 (1 ; 1)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(f(x) = -\dfrac{1}{x} – 2x + \ln(x)\).
On désigne par \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})\) d’unité graphique 1 cm.
1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. (1 ; 1)
2.
a) Pour tout \(x \in \left]0\,;\,+\infty\right[\), calculer \(f'(x)\) où \(f’\) la fonction dérivée de \(f\) (2 ; 1,5)
b) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{-2x^2 + x + 1}{x^2}\), \(\forall x > 0\) (1 ; 0,75)
c) En déduire le signe de \(f'(x)\), pour tout \(x \in \left]0\,;\,+\infty\right[\) (1 ; 0,5)
3. Dresser le tableau de variation de \(f\) (2 ; 1,5)
4. Écrire une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\) (1 ; 0,75)
5. Tracer \((\mathcal{C})\) et \((T)\) sur l’intervalle \(\left]0\,;\,4\right]\) (2 ; 1,5)
POUR A2 SEULEMENT
6. Soit \(F\) la fonction définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(F(x) = -\ln x – x^2 + x(\ln x – 1)\)
a) Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) (1)
b) Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan délimité par la courbe \((\mathcal{C})\) l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives \(x = \dfrac{1}{e}\) et \(x = 1\) (1,5)
On donne \(e = 2{,}7\) et \(e^2 = 7{,}4\)