Concours ENI mathématiques (Fianarantsoa) : exercices 4 et 5, sujet et corrigé

Ce sujet fait partie du concours d’entrée à l’École nationale d’informatique (ENI) de Fianarantsoa : tous les sujets de maths du concours ENI.

Exercice 4 (5 points) :

Le plan E est orienté et rapporté au repère orthonormé \((O, u, v)\).

1) Déterminer le module et l’argument du nombre complexe \(a = 3(1 - i)\)
Déterminer le module et l’argument de \(a^n\) où n est un entier naturel.
Pour quelles valeurs de n le nombre \(a^n\) est-il réel ?

2) On désigne par \(f_1\) l’application de E dans lui-même qui, à tout point M d’affixe \(z = x + iy\) associe le point \(M_1\) d’affixe \(z_1 = x_1 + iy_1\) défini par :
\(z_1 = 3(1 - i)z - 5 + i\)
Reconnaître l’application réciproque de \(f_1\) ?

3) On pose \(f_1^2 = f_1 \circ f_1\), \(f_1^3 = f_1^2 \circ f_1\), …, \(f_1^n = f_1^{n-1} \circ f_1\), \(n \in \mathbb{N}\)

a) Pour tout M de E, on désigne par \(M_n\) l’image de M par \(f_1^n\).
Déterminer l’affixe \(z_n\) de \(M_n\) en fonction de l’affixe z de M. On pourra noter que \([z_1 - (1 + i)] = a[z - (1 + i)]\)

b) Pour quelles valeurs de n l’application \(f_1^n\) est-elle une homothétie.
Précisez le rapport de cette homothétie.

4) Résoudre dans le corps C des nombres complexes l’équation :

\((1 - i)z^2 + 2(1 + 2i)z + \dfrac{1}{2} - \dfrac{7i}{2} = 0\)

On trouve deux racines, chacune étant de la forme \(a + bi\) (a et b réels). Soit \(z^{\prime}\) celle pour laquelle \(a = b\) et \(z^{\prime\prime}\) l’autre.

Exercice 5 (3 points)

Calculer les 3 déterminants suivants :

\(D1 = \begin{vmatrix} (a + 1)^2 & a^2 + 1 & a \\ (b + 1)^2 & b^2 + 1 & b \\ (c + 1)^2 & c^2 + 1 & c \end{vmatrix}\)

\(D2 = \begin{vmatrix} \sin^2\alpha & 1 & \cos^2\alpha \\ \sin^2\beta & 1 & \cos^2\beta \\ \sin^2\gamma & 1 & \cos^2\gamma \end{vmatrix}\)

\(D3 = \begin{vmatrix} \sin^2\alpha & \cos 2\alpha & \cos^2\alpha \\ \sin^2\beta & \cos 2\beta & \cos^2\beta \\ \sin^2\gamma & \cos 2\gamma & \cos^2\gamma \end{vmatrix}\)

Note de transcription. À la question 4, les traits de fraction sont tracés sous « +1 » et sous « −7i », avec 2 au-dessous : on lit \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{7i}{2}\). Cette lecture donne bien une racine telle que \(a = b\).