Concours ENI 2008 mathématiques (Fianarantsoa) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie du concours d’entrée à l’École nationale d’informatique (ENI) de Fianarantsoa : tous les sujets de maths du concours ENI.

Exercice 1 : (4 points)

Soit l’équation en la variable complexe \(z\) :

\(z^2 - (\alpha + 3i + 4)z + 2\alpha i - 1 = 0\) avec \(\alpha\) complexe.

a) Déterminer le paramètre \(\alpha\) pour que l’équation admette deux racines complexes conjuguées et calculer ces racines.

b) Dans un autre cas, si une des racines est \(i\), calculer le paramètre \(\alpha\) et l’autre racine.

Exercice 2 : (4 points)

Mahitsy et Toky sont des chasseurs de canards sauvages. Ils aperçoivent ensemble un gibier et tirent simultanément.

1°) Sachant que Mahitsy atteint et tue d’habitude 3 canards sur 4 et Toky 3 sur 5, quelle est la probabilité pour que le gibier soit tué ?

2°) En fait, Toky a tiré le premier.

a) Quelle est la probabilité pour que Mahitsy tue le canard sachant que si Toky tire et manque, les chances normales pour Mahitsy d’atteindre le canard se trouvent diminuées de moitié ?

b) Dans ces conditions, Toky a tiré le premier, puis Mahitsy. Quelle est la probabilité pour le canard d’en réchapper sain et sauf ?

Exercice 3 : (4 points)

1) Résoudre le système d’équations suivant :

\[\begin{cases} \dfrac{1}{\mathrm{Ln}(x)} + \dfrac{1}{\mathrm{Ln}(y)} = \dfrac{7}{3} \\ \mathrm{Ln}(xy) = \dfrac{7}{2} \end{cases}\]

avec \((x, y) \in \mathbb{R}^{*}_{+}\), \(\mathrm{Ln}(x)\) et \(\mathrm{Ln}(y)\) désignant des logarithmes népériens.

2) Calculer l’intégrale \(J = \displaystyle\int_1^3 \dfrac{(x + 3)\,dx}{(x + 1)^3}\)

Exercice 4 : (4 points)

Soit \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x} \sin(x)\,dx\)

1) Calculer \(I_n\) en fonction de \(n\).

2) Montrer que la suite \((I_n)\) \(n \in \mathbb{N}\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

3) Montrer que cette suite converge et préciser sa limite.

4) On pose \(S_n = I_0 + I_1 + \dots + I_n\), \(n \in \mathbb{N}\). Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\) puis lim \(S_n\) quand \(n\) tend vers l’infini.

Exercice 5 : (4 points)

I) Soient \(P(z) = z^2 - 4z + 5\) et \(Q(z) = z^3 - (1 + 2i)z^2 - 3z + (2i - 1)\)

a) Diviser \(Q\) par \(P\) suivant les puissances décroissantes
b) Vérifier qu’ils ont une racine commune.
c) Résoudre les équations \(P = 0\) et \(Q = 0\).

II) On pose \(a = e^{2i\pi/7}\), \(S = a + a^2 + a^4\), \(T = a^3 + a^5 + a^6\).

1) Calculer \(S + T\) et \(ST\).
2) En déduire \(S\) et \(T\). Un dessin pourra aider à distinguer \(S\) et \(T\).

Notes de transcription. Exercice 1 : dans \((\alpha + 3i + 4)\), le signe devant 4 est pâle sur le scan ; au fort agrandissement, on voit bien un « + ». Exercice 3 : les bornes de \(J\) sont 1 (en bas) et 3 (en haut) ; « Ln » désigne le logarithme népérien.