Concours ENI 2007 mathématiques (Fianarantsoa) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie du concours d’entrée à l’École nationale d’informatique (ENI) de Fianarantsoa : tous les sujets de maths du concours ENI.

Exercice 1 (2 points)

Soit la matrice \[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.\] Calculer \(A^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 2 (4 points)

Soit la suite réelle \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par son premier terme \(U_0\) et la relation de récurrence :

\(\forall n \in \mathbb{N} \quad 3U_{n+1} = 2U_n + 1\) ;

1° Montrer qu’il existe une valeur de \(U_0\) pour laquelle la suite \((U_n)\) est stationnaire.

2° On pose dorénavant \(U_0 = 2\) et on définit la suite \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) par : \(\forall n \in \mathbb{N} \quad V_n = U_n - 1\).
Montrer que \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique dont on calculera le premier terme et la raison.

3° Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\).

4° La suite \(U_n\) est-elle convergente ?

5° Soit \(S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_n\) et \(S^{\prime}_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_n\).
Déterminer \(S_n\) et \(S^{\prime}_n\) ainsi que leurs limites lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\)

Exercice 3 (4 points)

1° Linéariser l’expression \(\sin^4 x \cos 2x\).

2° Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante \((Z - 2)^n = (Z + 2)^n\).

3° Comment choisir le nombre complexe \(z\) pour que \(Z = \dfrac{2z - 4}{z - i}\) soit réel.

Exercice 4 (4 points)

1° Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une intégration par parties :

\(I = \displaystyle\int_0^{\pi/8} x\sin(4x)\,dx\) et \(J = \displaystyle\int_0^{-1} (4t + 4)e^{-7t}\,dt\)

2° On considère les deux intégrales :

\(A = \displaystyle\int_0^{x} e^t \cos 2t\,dt\) et \(B = \displaystyle\int_0^{x} e^t \sin 2t\,dt\)

A l’aide de la formule d’intégration par parties appliquée à \(A\) et à \(B\), établir deux relations entre A et \(B\). En déduire les expressions de \(A\) et \(B\).

Exercice 5 (3 points)

1° Factoriser le polynôme suivant : \(P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6\)

2° Résoudre \[\begin{cases} e^x + e^y = \dfrac{7}{2} \\ e^{x+y} = \dfrac{5}{2} \end{cases}\]

Exercice 6 (3 points)

Un appareil fabriqué en très grande série peut être défectueux à cause de deux défauts seulement désignés par A et B.
Dans un lot de 1000 appareils prélevés, on a constaté que 100 appareils présentaient de défaut A (et peut être aussi le défaut B), 50 appareils présentaient le défaut B (et peut être aussi le défaut A) et 40 présentaient simultanément les défauts A et B.
Un client achète un des appareils produits. Calculer

1° La probabilité pour qu’il ne présente aucun défaut.
2° La probabilité pour qu’il présente le défaut A seulement.
3° La probabilité pour qu’il présente le défaut B seulement.

Notes de transcription. Scan de qualité moyenne. Exercice 3, 1° : l’argument du cosinus est en partie masqué par une tache ; nous lisons \(\cos 2x\), mais \(\cos^2 x\) n’est pas exclu (les deux cas sont traités dans le corrigé). Exercice 3, 2° : les deux exposants sont lus \(n\). Exercice 4 : les bornes de \(J\) sont lues 0 (en bas) et \(-1\) (en haut), et l’exposant \(-7t\). Exercice 6 : l’effectif du défaut B est lu 50.