Concours ENI 2006 mathématiques (Fianarantsoa) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie du concours d’entrée à l’École nationale d’informatique (ENI) de Fianarantsoa : tous les sujets de maths du concours ENI.

Exercice 1 (4 points)

1° On considère la matrice \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). Calculer \(A^n\).

2° On considère deux matrices \(X\) et \(Y\) telles que l’on ait :

\(XY = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}\) et \(YX = \begin{bmatrix} u & 2 \\ 0 & v \end{bmatrix}\)

Déterminer \(u\) et \(v\).

Exercice 2 (4 points)

1° Calculer la somme \(S_n = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + \cdots + 111\ldots1\).

Le dernier terme de cette somme étant formé de \(n\) chiffres de 1.

2° On considère la suite

\(u_1 = a\), \(u_2 = b\), \(u_3 = \dfrac{1}{2}(u_1 + u_2)\), … ; \(u_n = \dfrac{1}{2}(u_{n-1} + u_{n-2})\)

Démontrer que la suite de terme général \(v_n = u_n - u_{n-1}\) est une progression géométrique.

En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(a, b, n\), puis la limite de \(u_n\) quand \(n \to \infty\)

Exercice 3 (3 points)

1° Exprimer sous la forme trigonométrique \([\rho, \theta]\) le nombre complexe \(z = -\sin(2\alpha) + 2i\cos^2(\alpha)\)

2° Déterminer \(\alpha\) pour que \(z\) et \(1 - z\) aient même module.

3° Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) :

\(z^6 + z^3(2i - 1) - 1 - i = 0\)

Exercice 4 (4 points)

Calculer les intégrales suivantes :

1° \(I = \displaystyle\int_1^3 \dfrac{|x - 2|}{(x^2 - 4x)^2}\,dx\)

2° \(I = \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin^4 x}\)

3° \(J = \displaystyle\int \cos^2 x\cos 2x\,dx\) et \(J = \displaystyle\int \sin^2 x\cos 2x\,dx\)

Exercice 5 (3 points)

Soit \(f\) f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\), par \[f(x) = \begin{cases} x\,\mathrm{Log}\dfrac{1}{|x|} \quad \text{si } x \neq 0 \\ 0, \text{ si } x = 0 \end{cases}\]

1° \(f\) est-elle continue au point \(x = 0\) ?

2° Etablir les variations de \(f\) et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Donner une équation de la tangente au point A d’abscisse 1.

3° A l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de \(f\). En déduire l’aire du domaine défini par :
\(0 \leq x \leq 1\) et \(0 \leq y \leq f(x)\).

Exercice 6 (2 points)

Une urne contient \(a\) boules blanches et \(b\) boules noires \((a \geq 2\,;\,b \geq 2)\). On tire de l’urne deux boules à la fois. Quel évènement est plus probable

\(A = \{\text{boules de même couleur}\}\)
\(B = \{\text{boules de couleur différente}\}\) ?

Notes de transcription. Scan de qualité moyenne. Exercice 3, 3° : le symbole qui suit « dans » est illisible, nous lisons \(\mathbb{C}\). Exercice 4 : au 1°, les bornes sont lues 1 (en bas) et 3 (en haut) ; l’exposant du dénominateur chevauche la parenthèse, nous lisons 2 (3 n’est pas exclu, voir le corrigé) ; au 2°, l’exposant est lu 4. Exercice 5 : l’ensemble de définition est lu \(\mathbb{R}\).