Concours ENI 2004 mathématiques (Fianarantsoa) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie du concours d’entrée à l’École nationale d’informatique (ENI) de Fianarantsoa : tous les sujets de maths du concours ENI.

Exercice 1 : (3 points)

Soient \(U_0 = 0\) ; \(U_{n+1} = \sqrt{6 + U_n}\)

1) Démontrer que \((U_n)\) est croissante (1 point)

2) Démontrer que \(3 - U_{n+1} < \dfrac{3 - U_n}{3}\) (0,5 point)

En déduire : \(3 - U_{n+1} \leq \dfrac{1}{3^n}\) (0,5 point)

3) Démontrer que \((U_n)\) admet une limite. Préciser cette limite. (1 point)

Exercice 2 : (5 points)

I. On considère les deux intégrales :

\(A = \displaystyle\int_0^x e^t \cos(t)\,dt\)    et    \(B = \displaystyle\int_0^x e^t \sin(t)\,dt\)

a) Établir deux relations entre A et B. (1 point)

b) En déduire les expressions de A et B (0,5 point)

On pose :

\(I = \displaystyle\int_0^x e^t \cos^2(t)\,dt\)    et    \(J = \displaystyle\int_0^x e^t \sin^2(t)\,dt\)

c) Calculer \((I + J)\) et \((I - J)\). En déduire les expressions de I et J. (2 points)

II. Établir la formule de récurrence permettant le calcul de

\(I_n = \displaystyle\int_0^x \mathrm{tg}^n(x)\,dx\)

Calculer \(I_0\) et \(I_1\) ; donner l’expression de \(I_n\). (1,5 points)

Exercice 3 : (3 points)

Soit la fonction f définie sur R par

\(\begin{cases} f(x) = x\,\mathrm{Log}\,\dfrac{1}{|x|} & \text{si } x \neq 0\,; \\ f(0) = 0. & \end{cases}\)

1) f est-elle continue au point \(x = 0\) ? (0,5 point)

2) Étudier les variations de f et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
Donner un équation de la tangente au point A d’abscisse 1. (1,5 point)

3) À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de f. En déduire l’aire du domaine défini par \(0 \leq x \leq 1\) et \(0 \leq y \leq f(x)\). (1 point)

Exercice 4 : (4 points)

On considère un groupe de 20 ouvriers d’une usine.
Un enquêteur s’adresse à ces ouvriers au sujet de leurs loisirs. 8 ouvriers de ce groupe s’intéressent au football, 10 ouvriers à la pêche et que 3 ouvriers à la fois à la pêche et au football.

a) Combien d’ouvriers dans ce groupe ne s’intéressent ni à la pêche ni au football ? (1 point)

b) L’enquêteur interroge au hasard un ouvrier du groupe. Calculer :

1) la probabilité p1 pour qu’un ouvrier s’intéresse au football ; (1 point)
2) la probabilité p2 pour qu’un ouvrier s’intéresse à la pêche ou au football ; (1 point)

c) L’enquêteur choisit au hasard dans le même groupe de 20 ouvriers un échantillon de 4 ouvriers distincts. On suppose que tous les échantillons possibles de 4 ouvriers distincts ont la même chance d’être choisis.

Quelle est la probabilité pour que, dans l’échantillon choisi, il se trouve exactement 3 ouvriers s’intéressant à la pêche et un ouvrier s’intéressant au football. (1 point)

Exercice 5 : (5 points)

A) Soit P un plan muni d’un repère orthonormé direct \((0, u, v)\), \(\beta\) est un nombre réel donné élément de \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]\).

À tout réel t sont associés les points \(M_t\) et \(N_t\) du plan dont les coordonnées respectives sont :
\(M_t(1 + t\cos\beta\,,\ 0)\)   et   \(N_t(-1\,,\ t\sin\beta)\).

1) Soit \(G_t\) le milieu du segment \([M_tN_t]\). Montrer que l’ensemble des points \(G_t\), lorsque t décrit R, est une droite ; (1 point)

2) Soit S l’application de P dans P qui au point M d’affixe \(z = x + iy\) associe le point \(M^{\prime}\) d’affixe

\(z^{\prime} = x^{\prime} + iy^{\prime}\) définie par son expression complexe : \(z^{\prime} = iz\,\mathrm{tg}\beta - (1 + i\,\mathrm{tg}\beta)\)

a) Montrer que S admet un unique point invariant K dont on calculera les coordonnées dans le repère ; (1 point)

b) Reconnaître l’application S. Calculer pour tout réel t, \(S(M_t)\) ; (1 point)

c) Soit \((C_t)\) le cercle de diamètre \([M_tN_t]\). Donner l’équation de ce cercle. (1 point)

B) Soit P un polynôme défini dans l’ensemble des nombres complexes C par :

\(P(z) = z^4 - 4iz^3 + (3 - 12i)z^2 - (24 + 14i)z + 12 - 36i\)

Montrer que l’équation \(P(z) = 0\) admet 2 racines imaginaires pures z1 et z2 avec \(\mathrm{Im}(z1) < \mathrm{Im}(z2)\). (1 point)

Notes de transcription. Exercice 2 : sur le scan, les noms des intégrales \(I\) et \(J\) sont tapés par-dessus d’autres lettres (on devine un A et un B) ; la question c) les appelle \(I\) et \(J\). Exercice 3 : le sujet écrit « x # 0 », c’est-à-dire \(x \neq 0\) ; « Log » désigne le logarithme népérien. Le sujet écrit « <= » pour \(\leq\).