Concours ENI 2002 mathématiques (Fianarantsoa) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie du concours d’entrée à l’École nationale d’informatique (ENI) de Fianarantsoa : tous les sujets de maths du concours ENI.

EXERCICE 1 : (5 pts)

Soit la fonction f définie par :

\(f_m(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 4m}{x^2 + (5m + 1)x + 3}\)

où x est la variable et m un paramètre. On désigne par \((C_m)\) la courbe représentative de toutes les fonctions \(f_m\).

1) Montrer que les courbes \((C_m)\) passent par 3 points fixes dont on déterminera les coordonnées. (2 pts)

2) Déterminer m pour que le point P d’intersection de \((C_m)\) et de l’asymptote parallèle à \((x^{\prime}x)\) ait pour abscisse \(3/2\). (1 pt)

3) Construire la courbe \(C_0\) (2 pts)

EXERCICE 2 : (5 pts)

Un ordinateur supposé de présenter un défaut est testé pour le localiser. On procède successivement à n tests \(T_1, T_2, \dots, T_n\). Une fois le défaut découvert, on met fin au testage.

La probabilité de la localisation du défaut au premier test est égale à \(P_1\) ; la probabilité conditionnelle de la localisation du défaut au deuxième test, s’il n’a pas été localisé au premier, est égale à \(P_2\) ; la probabilité conditionnelle de la localisation du défaut au i-ème test, si les premiers \((i - 1)\) tests ne l’ont pas localisé, est égale à \(P_i\) \((i = 1, 2, \dots, n)\).

Trouver la probabilité des événements suivants :

A = { réalisation pas moins de 3 tests } (1pt)
B = { réalisation pas plus de 3 tests } (1pt)
C = { défaut localisé exactement au quatrième test } (1pt)
D = { défaut non localisé en n tests } (1pt)
E = { tous les n tests réalisés } (1pt)

EXERCICE 3 : (2 pts)

Résoudre dans le corps des nombres complexes C l’équation suivante :
\(z^6 + 4z^3 + 3 = 0\)

EXERCICE 4 : (4 pts)

On pose \(I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx\), n désignant un entier naturel.

a) En déduire \(I_n\) en fonction de \(I_{n-2}\) en établissant la relation pour \(n \geq 2\).

\(I_n = (n - 1)I_{n-2} - (n - 1)I_n\)   (2 pts)

b) Calculer \(I_0\), puis, en appliquant le résultat de la question précédente, calculer \(I_2\), \(I_4\) et \(I_6\). (2 pts)

EXERCICE 5 : (4 pts)

a) Calculer le déterminant suivant (2 pts)

\(U = \begin{vmatrix} \sin^2 x & \cos 2x & \cos^2 x \\ \sin^2 y & \cos 2y & \cos^2 y \\ \sin^2 z & \cos 2z & \cos^2 z \end{vmatrix}\)

b) Résoudre l’équation présentée sous forme matricielle (2 pts)

\(X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 3 & 0 \\ -5 & 9 & 0 \\ -2 & 15 & 0 \end{pmatrix}\)

Notes de transcription. Le sujet écrit « >= » pour \(\geq\). À l’exercice 3, l’exposant de la première puissance est peu net sur le scan (6 ou 8). On lit \(z^6\) : c’est la seule lecture qui donne une équation résoluble en Terminale (voir le corrigé).