Mathématiques : session 2012

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PARTIE A : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN  (20,5 points)
L’unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle rectangle en A tel que et BC=6.
1. Le point O est le centre du cercle (C) de diamètre [BC]. Déterminer, en degré la mesure de l’angle
2. Justifier que le triangle AOC est équilatéral.
3. En utilisant le  calculer AC.
4. La droite (L) passant par O et parallèle à la droite (AC) coupe (AB) en E. Justifier que le point E est milieu du segment [AB].
5. Soit D l’image de A par la symétrie de centre O. Justifier que ACDB est un rectangle. 

6. On donne la figure ci-dessous :
Recopier la figure et, à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas, construire le point M sur [Ax) et le point N sur [Ay) tels que le point I est le milieu du segment [MN].
NB : Le candidat doit rédiger le programme de construction et justifier.

II- GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE : (7 points)
1. A, B et C sont trois points du plan vérifiant la relation : Que représente le point B pour le segment  [AC] ?
2. (D) est la droite d’équation y = -2 x + 3. Justifier que le point E (2 ; -1) appartient à (D).
3. Sans calcul, écrire l’équation de la droite (L) passant par E et parallèle à (D). Justifier votre réponse.

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE : (5points)
Le FRAM d’un collège veut construire une salle de classe dont les caractéristiques sont données sur la figure ci-dessous :

1. Calculer la surface des tôles nécessaires pour toiture.
2. Calculer le volume total d’air contenu dans la salle.
On donne

PARTIE B : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (27,5 points)
VI- ALGÈBRE (20,5 points)
1. Après calcul, écrire le nombre sous forme d’une fraction irréductible.
2. On donne . Justifier que B est un entier.
3. Soit le polynôme C(x) = 4 x2 – 81 + (x+3)(2x + 9). Factoriser C(x).
4. Résoudre l’équation (2 x + 9)(x-2) = 0.
5. L’application affine f vérifie : l’image de 2 par f est égale à 0, et l’antécédent de 5 est égale à 0. Déterminer f.
6. Deux voitures relient deux villes A et B. Elles partent de A à la même heure. La première roule à 80Km/h et arrive en B à 11 heures. La deuxième roule à 60Km/h et arrive en B à 13 heures. Les vitesses sont supposées constantes. Calculer l’heure de départ des deux voitures.

VI- ORGANISATION DES DONNÉES :  (7 points)
Le tableau ci-après indique la consommation en riz des familles d’un village par semaine :

Consommation de riz (en kg) [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[
Nombre de famille 15 20 6 9 …

1- Compléter le tableau par le nombre convenable.
2- Tracer l’histogramme des effectifs de cette série statistique.
3- Calculer le nombre de familles qui consomment moins de 30 kg de riz par semaine.

Corrigés

I- CONFIGURATION DU PLAN

1. La mesure de l’angle AOC est :
*Démonstration :
ABC est inscrit au cercle (C) parce que le cercle passe par tous les côtés du triangle (schéma).
Théorème de l’angle inscrit : la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié (1/2) de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Or, sur le schéma, l’angle qui intercepte le même arc (arc CA en rouge) que l’angle AOC est l’angle ABC.
*Application numérique :
Théorème de l’angle inscrit : (angle ABC) = ½ (angle AOC) or (angle ABC) = 30°
donc (angle AOC) = 2 x (angle ABC) = 2 x 30° = 60 °

2. Justifions que le triangle AOC est équilatéral :
Théorème du triangle équilatéral : Un triangle est équilatéral quand il a 3 côtés de même longueur ou quand il a 2 angles de 60°.
Or, on sait que (angle AOC) = 60°. Il est difficile de calculer l’angle CAO mais on peut facilement trouver l’angle ACO.
*Démonstration :
On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc (angle BAC) = 90°
Théorème d’un triangle rectangle : Somme des angles des 3 côtés = 180°
*Application numérique :
somme des angles de ABC = 180°
(angle ABC) + (angle BAC) + (angle ACB) = 180°
30° + 90° + ( angle ACB) = 180 °
Donc (angle ACB) = 180° – 120° = 60°
Comme (angle ACB) = 60° et (angle AOC) = 60° appartiennent au triangle AOC, donc AOC est équilatéral.

3. Calcul de AC en utilisant sin (angle ABC) :
 

4. Justifions que le point E est le milieu du segment [AB] :
Théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de 2 côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Or, on sait que la droite (L) passe par O qui est le milieu du côté [BC] du triangle ABC. On sait aussi que (L) est parallèle au côté [AC] du triangle ABC.
Donc, (L) passe par E : le milieu de [AB] qui est le troisième côté du triangle ABC.

5. Justifions que ACDB est un rectangle :
Théorème : un quadrilatère (figure à 4 côtés) qui a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur est un rectangle.
On sait que D est l’image de A par O. Alors, O est le milieu de [AD] avec OA = OD.
Or, OC est un rayon du cercle (L). Comme O est le milieu de [BC], alors OB = OC = OA. Ainsi, OB et OA = OD sont aussi des rayons du cercle (L).
Maintenant, on sait que le quadrilatère ACDB a des diagonales qui se coupent en O (leur milieu) et qui sont de même longueur. Donc, ACDB est un rectangle.

6. Schéma

II- GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE :

1. B représente le milieu du segment [AC] parce que si AB = ½ AC, donc AB = BC.

2. Justifions que E (2 ; -1) appartient à (D) : y = -2x + 3
Théorème : E (2 ; -1) appartient à (D) si y(E) = 0
E (2 ; -1) signifie que : 2 représente x sur l’axe des abscisses et -1 représente y sur l’axe des ordonnées) : E (Xe ; Ye) = E (2 ; -1)
y(E) signifie qu’on remplace x et y de l’équation de (D) par les cordonnées de E.
(D) : y = -2x + 3
(D) : -1 = -2(2) + 3
(D) : -1 = -4 + 3
(D) : -1 = -1
(D) : -1 + 1 = 0, donc E (2 ; -1) appartient à (D).

3. L’équation de la droite (L) passant par E et parallèle à (D) est : y = -2 x + 3
Justification:
Théorème : deux droites confondues ont la même équation
(L) et (D) sont parallèles, donc elles ont le même coefficient directeur x = -2. Or, (L) et (D) passent par le même point E (2 ; -1). Donc, ce sont des droites confondues.