Sciences Physiques BAC Série D 2017 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux exercices et le probleme sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisee.

EXERCICE 1 (5 points)

1.

a) Resoudre dans C l’equation (E1) : z2 – 2z + 2 = 0 (0,5 pt)

b) Preciser le module et un argument de chacune des solutions de (E1) (0,5 pt)

c) En deduire les solutions dans C de l’equation (E2) : (-iz + 3i + 3)2 – 2(-iz + 3i + 3) + 2 = 0
(On pourra poser Z = -iz + 3i + 3) (0,75 pt)

2. Le plan complexe (P) est rapporte a un repere orthonorme direct (O, u, v) d’unite 1 cm.

On donne les points A, B et C d’affixes respectives : zA = 1 + i, zB = 1 – i et zC = 2 – 2i

a) Placer les points A, B et C (0,25 pt)

b) Donner la forme trigonometrique de U = (zE – zC)/(zA – zC) avec E d’affixe zE = 3 (0,5 pt)

c) En deduire la nature du triangle AEC (0,5 pt)

3. On considere la transformation R du plan (P) dans (P) qui a tout point M d’affixe z = x + iy associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ tel que :

x’ = -y
y’ = x – 4

a) Donner l’expression complexe de R (0,5 pt)

b) Preciser la nature et les elements caracteristiques de R (0,75 pt)

c) Soit (G) le cercle de centre E et de rayon racine de 5. Determiner et construire l’image (G’) de (G) par R (0,75 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

A. On dispose de deux urnes dont l’une U1 contient 8 boules numerotees : 0, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5 et l’autre U2 contient 5 boules numerotees : 0, 0, 1, 2, 2. Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On tire au hasard et successivement sans remise 3 boules de l’urne U1.

Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :

E1 : Les numeros des 3 boules tirees sont pairs (0,5 pt)

E2 : Avoir 3 boules dont la somme des numeros tires est egale a 6 (0,75 pt)

2. On tire au hasard et simultanement 2 boules de U1 et 1 boule de U2. On suppose que les evenements elementaires sont equiprobables. Soit X la variable aleatoire egale au nombre de boules portant le numero 2.

a) Donner la loi de probabilite de X (0,75 pt)

b) Calculer l’esperance mathematique E(X) de X (0,5 pt)

B. Lors d’une epreuve facultative d’EPS, on donne pour 4 eleves les points bonus xi obtenus en epreuve de course de fond et yi obtenus en epreuve de saut :

1. Calculer le coefficient de correlation lineaire. Interpreter le resultat. (0,75 pt)

2. Determiner, par la methode des moindres carres, l’equation de la droite de regression de y en x. (0,5 pt)

3. Estimer le bonus en epreuve de saut pour un eleve ayant 9 points de bonus en course de fond. (0,25 pt)

PROBLEME (10 points)

On considere la fonction f definie sur R par :

On note par (C) sa courbe representative dans un plan muni d’un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1 cm.

1. Etudier la continuite de f en x = 0 (0,75 pt)

2.

a) Montrer que lim (x tend vers 0+) [f(x) – f(0)]/x = -infini et lim (x tend vers 0-) [f(x) – f(0)]/x = -1 (0,75 pt)

b) Interpreter graphiquement ces resultats (1 pt)

c) Calculer les limites de f en -infini et +infini (0,5 pt)

3.

a) Pour x > 0, calculer f'(x) et etudier son signe (0,75 pt)

b) Pour x < 0, calculer f'(x) et etudier son signe (0,5 pt)

c) Dresser le tableau de variation de f (0,25 pt)

4. Donner l’equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x1 = e (0,5 pt)

5.

a) Calculer f(e²) (0,75 pt)

b) Etudier les branches infinies de (C) (0,75 pt)

6. Tracer la tangente (T) et la courbe (C) en precisant les demi-tangentes au point O (1 pt)

7. Soit g la restriction de f sur l’intervalle I = [e, +infini[

a) Montrer que g admet une fonction reciproque g^-1 definie sur l’intervalle J que l’on precisera (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de g^-1 (0,25 pt)

c) Tracer la courbe (C’) de g^-1 dans le meme repere que (C) (0,5 pt)

d) Calculer (g^-1)'(e²) (0,5 pt)

8. En utilisant une integration par parties, calculer, en cm², l’aire A du domaine plan limite par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’equations x = e et x = e² (1,5 pt)

Donnees : e = 2,7 et e² = 7,4

Voir le document original (image)