Sciences Physiques BAC Série D 2014 Madagascar – Sujet

N.B. : L’exercice et les deux problemes sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee.

EXERCICE (4 points)

1. On considere, dans C, l’equation definie par :

(E) : z³ – 7z – 6 = 0

a) On note par z1 la solution de cette equation (0,25 pt)

b) Montrer que z1² + bz1 + 2 = 0 (0,25 pt)

c) En deduire une solution particuliere de l’equation (E) (0,25 pt)

d) Resoudre alors dans C l’equation (E) (0,5 pt)

e) Trouver un couple (a, b) verifiant : 1 + i = a + bi (0,25 pt)

2. On dispose d’un de cubique parfait a six faces numerotees 2, 3, 4 dont une face marquee 2, trois faces marquees 3 et deux faces marquees 4.

On lance trois fois de suite ce de. On note chaque fois le numero apparu sur la face superieure, on n’ecrivant dans l’ordre le premier a droite pour former un nombre entier naturel.

Calculer la probabilite de chaque evenement suivant :

A : Le nombre forme ne contient que des chiffres premiers (0,5 pt)

B : Le chiffre apparu au moins une fois dans le nombre forme (0,5 pt)

C : Le nombre forme est divisible par 3 (0,5 pt)

D : La somme des chiffres du nombre forme est N = 9 (0,5 pt)

N.B. : On donnera les resultats sous forme de fraction irreductible

PROBLEME 1 (7 points)

On considere dans le plan P un triangle rectangle en C, notons ABC tel que AB = AC = 2.

On designe par G le milieu du segment [BC] et par O celui de [AC]. On met les axes A sur Ox et Oy dont les demi-droites horizontales.

Partie A

a) Determiner et construire le barycentre E des points A, B et C affectes respectivement des coefficients 1, -1 et 2 (0,25 + 0,25 pt)

b) Determiner et construire l’ensemble (E) des points M du plan P tel que : 2|MA – MB + MC| = |2MA – MB – MC| (0,75 + 0,25 pt)

PROBLEME 2 (9 points)

On considere la fonction numerique f d’une variable reelle x definie sur R⁺ – {1} par :

f(x) = (x² – 1 + ln x) / (x – 1)

On designe par (C) la courbe representative de f dans le repere orthonormal direct (O, i, j).

1.

a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de definition (0,5 pt)

b) Calculer lim (x tend vers 1) f(x), en deduire que (C) admet une branche parabolique (0,5 pt)

2. On considere une deuxieme fonction numerique g definie sur R^+* par g(x) = x² – 2

a) Calculer g'(x), x appartient a R^+* (0,25 pt)

b) Etudier le signe de g (0,5 pt)

c) Determiner qu’il existe un nombre reel unique c tel que g(c) = 0 (0,75 pt)

d) Donner le signe de g (0,25 pt)

3. Dresser le tableau de variation de f. On prend c = 2,5 et f(c) = 1,12 (1 pt)

4. Determiner une equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x1 = -1 (0,5 pt)

5. Tracer dans le meme repere la tangente (T) et la courbe (C) (1 pt)

6.

a) Calculer, en fonction de m et en cm², l’aire generalisee du domaine plan limite par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’equations x = 2 et x = m (m > 2) (0,5 pt)

b) Sachant que x ln x – x est une primitive de ln x, determiner la valeur de l’integrale (1 pt)

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