Sciences Physiques BAC Série D 2013 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux exercices et le probleme sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee.

EXERCICE 1 (5 pts)

Les Parties A et B sont independantes

A. On dispose d’un de cubique a faces numerotees de 1 a 6 parfaitement equilibre et de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher et de deux couleurs.

• L’urne U1 contient 3 boules vertes et 5 boules rouges
• L’urne U2 contient 6 boules vertes et 4 boules rouges

On lance ce de une fois et on tire une boule dans l’une des urnes :

• Si le numero n apparu sur la face superieure du de est tel que n < 3, on tire une boule dans U1
• Sinon, on tire une boule dans U2

a) Calculer P(V) la probabilite de l’evenement V : on tire une boule verte (0,5 pt)

b) Le chiffre 6 apparu et on obtient une boule blanche (0,25 pt)

c) On tire une boule dans U2 sachant qu’on a tire une boule verte (0,25 pt)

d) On a tire la boule rouge sachant que le de a donne 5 ou 6. Etudier la loi de probabilite de X (0,25 pt)

B. Etablir sans calcul que a est une racine a deux decimales (x1, x2) dont la droite de regression de y en x est y = 1,125x – 0,75

Sachant que la moyenne de X et Y et le coefficient de correlation r = 0,92

a) Determiner les moyennes arithmetiques x et y (0,5 pt)

b) Determiner les variances V(X) et V(Y) (0,5 pt)

c) Determiner une equation de la droite de regression X en Y (0,5 pt + 0,75 pt)

EXERCICE 2 (5 pts)

Soit P(z) = z³ + (1 – 5i)z² – (6 + 2i)z + 2i + 6 = 0 un polynome

1.

a) Determiner que l’equation P(z) = 0 admet deux solutions reelles dont l’un est le nombre 3 (0,75 pt)

b) En deduire la resolution de l’equation P(z) = 0 (0,5 pt)

2. Construire les images des points associes aux solutions de P(z) = 0 dans un repere orthonorme direct (O, e) d’unite graphique 1cm. Les points A, B et C affixes respectives zA = 2i, zB = -2 + i et zC = 3 (0,25 pt)

3.

a) Donner la forme algebrique du nombre complexe Z = (zA – zC)/(zB – zC) puis en deduire la valeur de arg(Z) (0,5 pt)

b) En deduire ABC (0,5 pt)

4. Le triangle ABC est-il un parallelogramme ? On note R le point S le symetrique de D par S et son affixe zS (0,5 pt)

5. Determiner l’expression complexe de S le processus ses elements caracteristiques (1 pt)

PROBLEME (10 points)

On considere la fonction f, a variable reelle x, definie par :

f(x) = (xe^x + e^x – 1) / e^x

On designe par (C) la courbe representative dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite graphique 2cm.

1. Etudier les variations de la fonction f(x) = xe^x + e^x – 1 (0,5 pt)

2. Determiner que lim (x tend vers -infini) f(x) = +infini et lim (x tend vers +infini) f(x) = +infini (0,25 pt + 0,75 pt)

3. Calculer la derivee f'(x) de la fonction f(x) en precisant :

a) Determiner que pour tout x reel : f'(x) = (1 – x)/(1 + e^-x) (0,75 pt)

b) En deduire les variations de f ; dresser son tableau de variation (0,5 pt)

4.

a) Determiner que pour tout x negatif : f(x) < 0 (0,5 pt)

b) Determiner que l’equation f(x) = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle ]0, 1[ (0,5 pt)

c) Verifier que : 0,35 < a < 0,4 (0,25 pt)

d) Calculer f(a) + f(1 – a), la restriction de la fonction f a I = ]-infini, 1] (0,25 pt)

5. Etudier, dans le meme repere que (C), la courbe representative (C’) (1 pt)

6. Calculer, en fonction de a, l’aire A du domaine plan limite par la courbe (C), l’axe (Ox) et les droites d’equations x = 0 et x = a (0,75 pt)

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