Sciences Physiques BAC Série D 2012 Madagascar – Sujet

N.B. : Les DEUX exercices et le Probleme sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee.

EXERCICE 1 (4 points)

1. Calculer U = (x² – 4x + 1)/x en deduisant la resolution dans C de l’equation (E) : z⁴ – z² + 1 = 0 (0,5 pt + 0,5 pt)

2. Soit P le polynome a variable complexe z defini par : P(z) = z⁴ – 6z³ + 13z² – 12z + 4

a) Montrer que l’equation P(z) = 0 admet une solution reelle positive que l’on determinera (0,5 pt)

b) Determiner les nombres reels a et b tels que : P(z) = (z² – 2z + 2)(z² + az + b) (0,5 pt)

c) Donner la forme exponentielle de z = -1 + i (0,25 pt)

3. Dans le plan complexe muni d’un repere orthonormal direct (O, u, v) on considere les trois points A, B et C d’affixes respectives zA = 2, zB = -1 + i et zC = -1 – i

a) En deduire la nature du triangle OBC (0,75 pt)

4. Soit S la similitude plane directe d’ecriture complexe z’ = (1 – i)z – 2

Determiner l’expression complexe de S⁸ et preciser ses elements caracteristiques (0,75 pt + 0,25 pt)

EXERCICE 2 (6 points)

Une classe de Terminale possede dans 2 cartes, 3 femmes et 9 garcons.

Elle decide un Stand et une camerawoman 3 postes par un tirage au hasard. Chaque personne a la meme probabilite d’etre choisie.

1. Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :

E1 : avoir une femme cameraman (0,75 pt)

E2 : avoir au moins une carte (0,5 pt)

2. On repete quatre fois de suite cette epreuve (d’une maniere independante).

Soit X la variable aleatoire associee au nombre de la realisation de l’evenement E1

a) Determiner la loi de probabilite de X (1,25 pt)

b) Calculer l’esperance mathematique E(X) et la variance V(X) (0,5 pt)

c) Calculer la probabilite P(X = 2) (0,5 pt)

N.B. : On donnera les resultats sous forme de fraction irreductible.

PROBLEME (10 points)

A. Soit g la fonction numerique definie sur R⁺ par : g(x) = x³ – 3x + 2. On note (G) sa courbe representative dans le plan.

1.

a) Calculer g'(x) en etudiant le signe de g’ (0,5 pt + 0,25 pt)

b) En deduire que g est strictement positif sur ]0, +infini[ (0,5 pt + 0,25 pt)

2.

a) Montrer que la droite (D) d’equation y = x – 1 est une asymptote oblique a la courbe (G) (0,5 pt)

b) Etudier la position de (G) par rapport a (D) (0,5 pt)

B. Soit f la fonction numerique definie sur l’intervalle I = ]0, +infini[ par :

f(x) = x – 1 – 2/x

1.

a) Montrer que pour tout x de ]0, +infini[ : f(x) = g(x)/x (0,25 pt)

b) Etudier le signe de f(x), la fonction sur ]0, +infini[ apres avoir calcule ses limites aux bornes de I (0,5 pt)

2. Dresser le tableau de variation de f sur ]0, +infini[ (0,75 pt)

3. Ecrire une equation de la tangente (T) a (G) au point d’abscisse x1 = 1 (0,75 pt)

4. Tracer (G), (D) et (T) dans le meme repere (1 pt)

5. Soit h la fonction definie sur I = ]0, 1] par : h(x) = f(x)

a) Determiner B(1), la derivee de l’expression de h(x) : integrale de f du 1 a x (0,5 pt)

b) Calculer, en cm², l’aire A du domaine plan limite par la courbe (G), l’axe des abscisses et les droites d’equations respectives x = 1 et x = e (0,5 pt)

Voir le document original (image)