Sciences Physiques BAC Série D 2011 Madagascar – Sujet

N.B. : Les DEUX exercices et le Probleme sont obligatoires. Machine a calculer scientifique NON programmable autorisee.

EXERCICE 1 (4 points)

Considerer l’equation (E) : z² – (1 – i)z – i + 1 + i = 2i = 0

1. Verifier que (E) admet une solution imaginaire pure z₀ ou on est un entier non nul que l’on determinera (0,5 pt)

2. Montrer que (E) peut s’ecrire sous la forme : z² – (1 – i)z – 2(z₀ – 1) = 0, z₀ etant soi (0,25 pt)

Puis factoriser dans C l’expression z² – (1 – i)z – 2 (0,75 pt)

3. Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonorme direct (O, i, j) d’unite 1 cm,

On reserve les points A, B et C d’affixes respectives z_A = -2, z_B = 1 + i, z_C = 1 – i

Placer les points A, B, C et D d’affixe z_D tel que

4. On pose z₁ = 2

a) Donne la nature du quadrilatere ABCD justifiant vos reponses (0,5 pt)

b) Determiner l’affixe Omega du centre du quadrilatere ABCD puis le parallelogramme

5. Soit S la transformation d’ecriture complexe z’ = (1 – i)z + 2 (0,25 pt)

a) Donner la nature et les elements caracteristiques de S (0,5 pt)

b) Construire l’image A’B’C’ de ABC par S (0,25 pt)

EXERCICE 2 (6 points)

Un groupe contient 8 etudiants et 6 etudiantes. Parmi eux l’encadrement attribue deux boules de l’urne.

1. Calculer la probabilite de chacun des evenements

E₁ : obtenir deux boules de couleurs differentes (0,5 pt)

E₂ : obtenir deux boules dont le produit des numeros est egal a 2 (0,5 pt)

E₃ : obtenir deux boules dont la somme des numeros est superieure a 5 (0,5 pt)

2. On repete 5 fois l’experience dans les memes conditions

Soit X la variable aleatoire egale au nombre de realisation de l’evenement E₁ dans les 5 tirages (0,5 pt)

Calculer E(X) et V(X) (0,5 pt)

N.B. : On donnera les resultats sous forme de fraction irreductible.

B. On donne sur le tableau ci-dessous le nombre d’eleves d’un lycee ayant reussi le Baccalaureat entre 2004 et 2009 :

On approxime 700 eleves. Pour les deux colonnes relatives a l’effectifs des reussis (pour une unite graphique de 1 mm)

1. Representer le nuage des points M_i(x_i, y_i) a montrer la suite statistique ci-dessus (0,5 pt)

Tracer sur les deux droites, une droite pour voir les pourcentages possibles pour l’ecart.

2. Determiner par calcul une equation de la droite de regression de y en x (1 pt)

3. Estimer a l’aide de la droite de regression le nombre d’eleves qui auront reussi le Baccalaureat en 2011 (0,5 pt)

N.B. : Les resultats seront donnes a 10^-2 pres.

PROBLEME (10 points)

On considere la fonction numerique f definie sur ]0, +infini[ par :

f(x) = x + 1/x²

On note (C_f) sa courbe representative dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1 cm et d’orientation positive et les deux droites d’equations respectives y = x et y = 0

1.

a) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation (1 pt)

b) Montrer que f'(x) = (x³ – 2)/x³ (0,5 pt)

2.

a) Calculer f”(x) (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f’ (0,5 pt)

3.

a) Determiner que l’equation f(x) = 2 admet une solution unique a₁ et que a₁ est au voisinage de m^-1 (0,5 pt)

b) En etudiant les signes de l’inegalite f(x) – 2 > 0, preciser l’intervalle I₁ ou l’on a f(x) > 2 (0,5 pt)

4. Determiner les coordonnees des points de tangentes a (C_f) au point d’abscisse 1 (0,5 pt)

5.

a) Montrer que f(x) = x est du signe de 1/x² (0,25 pt)

b) Determiner le sens de variation de f par rapport a y = x (0,25 pt)

6. Tracer (C_f) et les deux droites dans le meme repere (1 pt)

7.

a) Montrer que f'(x) = (1/x² – 2) = 0 resultat (0,5 pt)

b) Determiner le tableau de variation de f’ (0,5 pt)

c) En utilisant les signes de l’inegalite f(x) > 2, preciser l’intervalle I₁ ou l’on a f(x) > 2 (0,5 pt)

8. Calculer en cm², l’aire de la partie du plan limitee par la courbe (C_f), l’axe des abscisses et les droites d’equations x = 1 et x = 2 (1 pt)

Donnee : Cube racine de 2 = 1,26

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