Sciences Physiques BAC Série D 2009 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux Exercices et le Probleme sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee.

EXERCICE 1 (5 points)

Le plan complexe (P) est muni d’un repere orthonorme (O, u, v) ; d’unite : 1 cm

1. f est le polynome a variable complexe defini par : P(z) = z³ – 10z² + 40z – 4 – 8i (0,25pt)

a) Calculer P(-2i)

b) Montrer que l’equation P(z) = 0 admet une solution reelle z₀ que l’on determinera (0,5pt)

c) Determiner la solution complexe Z de telle que P(z) peut s’ecrire sous la forme :

P(z) = (z + 2i)(z – 2 + i)(z – 2 – i) (0,5pt)

d) Resoudre dans C l’equation P(z) = 0 (0,5pt)

2. Dans le plus complexe (P) muni d’un repere orthonorme (O, u, v) on considere les points A, B, C d’affixes respectives z_A = 2 + i, z_B = -2i et z_C = 1

a) Determiner l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que : |z – 1| / |z + 2i| = 1 (0,5pt+0,5pt)

b) Montrer que (A) passe par A, Achever alors la construction de (E)

3. On considere la similitude plane directe S definie par : (zM’ – 8) / (zM – 8) = …

Preciser les elements caracteristiques de S (0,5+0,5+0,5)

EXERCICE 2 (5 points)

On dispose d’un de cubique D truque dont les faces sont numerotees : 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3

On lance une fois ce de. Chaque face a la meme probabilite d’apparition.

On note P la probabilite d’apparition de la face portant le numero i.

1.

a) Calculer les probabilites P₁, P₂ et P₃ (0,5pt x 0,25 x 0,25)

2. Les faces d’un deuxieme de cubique normal D’ sont numerotees de 1 a 6.

On lance en meme temps les deux des D et D’.

Chaque face a toujours la meme probabilite d’apparition.

a) Calculer la probabilite de l’evenement

A : la somme des deux chiffres apparents est egale a 5 (0,5pt)

b) On designe par X la variable aleatoire definie par la somme des deux chiffres apparaissant lors d’un lancer

– Donner la loi de probabilite de X (1pt)

– Calculer l’esperance mathematique E(X)

3. On arrondit les fois de suite et d’une maniere independante le de D.

On note Y la variable aleatoire egale au nombre d’apparitions de la face portant le numero 1

a) Donner la loi de probabilite de Y (1 pt)

b) Calculer la variance V(Y) (0,5 pt)

N.B. : Tous les resultats seront exprimes sous forme de fraction irreductible.

PROBLEME (10 points)

On considere la fonction numerique f de la variable reelle x definie par :

f(x) = x – ln|x| ; (x ≠ 0) et f(0) = x + 1 et x = 0

ou ln designe la fonction logarithme neperien.

On appelle (C) sa courbe representative dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1 cm

1.

a) Montrer que f realise la definition de l’et que I = ] … ; +∞ [ (0,25 pt)

b) Etudier la continuite de f en 0, soit a < 0 (0,25 pt)

c) Determiner que pour tout x de ]0, +∞[ : f(ln x + 1)/(x – 1) + 1 et I’ designe la fonction derivee premieres de f (0,5 pt)

d) Apres avoir preciser le sens de variation de f’, dresser son tableau de variation (0,25+0,5 pt)

2. Tracer la courbe (C) (2 pts)

3. Soit a un reel appartenant a l’intervalle [1, +∞[

a) Calculer, a l’aide de deux integrations par parties, calculer l’integrale : I = ∫ f(x) dx (1,5 pts)

4. Soit A₁ l’aire du domaine plan delimite par l’axe (O, i), les droites d’equations x = e et x = a et la courbe (C)

a) Calculer en cm² A₁ en a et en ln a puis A₁ (0,25+0,5 pt)

b) Soit la restriction a [1, e] de f

i) Determiner que g admet une application reciproque notee g^-1 puis en preciser l’ensemble de definition

ii) Tracer dans le meme repere que (C) la courbe representative (T) de g^-1 (1 pt)

On donne : e = 2,7 ; e^-1 = 0,36 ; e² = …

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