Sciences Physiques BAC Série D 2007 Madagascar – Sujet

N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le PROBLEME. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee.

EXERCICE 1 (5 points)

1. Resoudre dans l’equation : z² – (1 + i)z + 2 + 2i = 0 (1,25 pt)

2. Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonorme (O, u, v) (Unite 1 cm), on donne les points A, B, C et D d’affixes respectives :

z_A = 1 + i ; z_B = 1 ; z_C = 2i et z_D = 4 + 6i

a) Placer les points A, B, C et D (0,25 pt)

b) Ecrire l’expression complexe de la similitude directe S telle que S(O) = A et S(C) = B (0,75 pt)

c) Donner les elements caracteristiques de la similitude S (0,75 pt)

3. A tout point M d’affixe z (M ≠ O), on associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ = (2 – 4i)/(z – 6) (0,5pt)

a) Montrer que OM’ = 2OM

b) Determiner et representer graphiquement les ensembles (T) et (T’) tels que :

– (T) est l’ensemble des points M d’affixe z tels que : |z’| = 2

– (T’) est l’image de (T) par la similitude S (0,5pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Une urne contient 2 boules rouges et 4 boules vertes. Les boules rouges portent respectivement les numeros 0 et 1. Les boules vertes portent respectivement les numeros 2, 3, 4 et 5. L’epreuve (E) consiste a tirer simultanement 3 boules de l’urne ; on appelle « succes » l’obtention de 3 boules de meme couleur.

1. On effectue une fois l’epreuve (E)

Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :

A : avoir un succes (0,75 pt)

B : avoir 3 boules dont la somme des numeros est egale a 6 (0,75 pt)

2. A chaque epreuve (E), on designe par X la variable aleatoire qui prend comme valeur le plus grand des numeros portes sur les 3 boules tirees.

a) Donner l’univers image de X (0,5 pt)

b) Donner la loi de probabilite de X (1 pt)

3. On repete n fois de suite, d’une maniere independante l’epreuve (E). On note l’evenement C : obtenir au moins un succes lors des n epreuves (E)

a) Calculer la probabilite p_n de l’evenement A_n (0,5 pt)

b) Determiner le nombre minimal d’epreuves (E) qu’on doit effectuer pour que p_n > 0,99 (0,5 pt)

PROBLEME (10 points)

1. g est la fonction numerique definie et continuee sur [-1, +∞[ par g(x) = xe^x + 1 ou e^x = exp(x)

a) Donner le tableau de variation de g sur [-1, +∞[ (0,5pt)

b) Montrer qu’il existe un reel unique c dans ]0, +∞[ tel que g(c) = 0 (0,5pt)

c) Etudier le signe de g(x) suivant les valeurs de x (0,5pt)

2. On considere maintenant la fonction numerique f definie sur ]0, +∞[ par :

f(x) = (e^x + x) / (x² – 1) – 1/x

On designe par (C_f) sa courbe representative dans le plan (P) muni d’un repere orthonorme direct (O, i, j) d’unite 4 cm.

a) Montrer que f'(x) = g(x) / (x²(x – 1)) pour tout reel x de ]0, +∞[ et f’ est la fonction derivee de f (0,5pt)

b) En deduire que f'(x) et de meme signe que g(x) pour tout reel x de ]0, +∞[ – {1} (0,5pt)

c) Calculer les limites de f aux bornes de I (0,5pt)

d) Dresser le tableau de variation de f (0,5pt)

e) Calculer g(1) et en deduire le signe de g(x) pour tout x de IR (0,5pt)

3.

a) Montrer que lim (x→+∞) f(x) = +∞ et lim (x→0⁺) f(x) = -∞ (0,5+0,5pt)

b) Montrer que pour tout x de ]0, c[, la derivee est strictement negative (0,5 pt)

c) Montrer que le point A d’abscisse 1 est un point d’inflexion de (C_f) (0,5pt)

d) Donner une equation de la tangente (T₁) a la courbe (C_f) au point A (0,5pt)

e) Montrer que la droite (D) d’equation y = x est une asymptote oblique a (C_f) (0,5pt)

4. Tracer (T), (D) et (C_f) dans le meme repere (1pt)

5.

a) A l’aide d’une double integration par parties, calculer l’integrale : I = ∫₀¹ x² e^x dx (0,5pt)

b) En deduire l’aire geometrique en cm² du domaine plan limite par la courbe (C_f), la droite (D) sur les droites d’equations : x = 0,5 et x = 1 (1 pt)

On donne : e = 2,7 ; e^-1 = 1 ; e^0,5 = 0,4

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