Sciences Physiques BAC Série D 2006 Madagascar – Sujet

SUJET

N.B. : Les DEUX exercices et le probleme sont obligatoires. Machine a calculer autorisee.

EXERCICE 1 (5 points)

1. Resoudre dans l’equation : z² – (1 + i)z + 2 + 2i = 0 (1,25 pt)

2. Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonorme (O, u, v) (Unite 1 cm), on donne les points A, B, C et D d’affixes respectives :

z_A = 1 + i ; z_B = 1 ; z_C = 2i et z_D = 4 + 6i

a) Placer les points A, B, C et D (0,25 pt)

b) Ecrire l’expression complexe de la similitude directe S telle que S(O) = A et S(C) = B (0,75 pt)

c) Donner les elements caracteristiques de la similitude S (0,75 pt)

3. A tout point M d’affixe z (M ≠ O), on associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ = (2 – 4i)/(z – 6)

a) Montrer que OM’ = 2OM (0,5 pt)

b) Determiner et representer graphiquement les ensembles (T) et (T’) tels que :

– (T) est l’ensemble des points M d’affixe z tels que : |z’| = 2

– (T’) est l’image de (T) par la similitude S (0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Une urne contient 2 boules rouges et 4 boules vertes. Les boules rouges portent respectivement les numeros 0 et 1. Les boules vertes portent respectivement les numeros 2, 3, 4 et 5. L’epreuve (E) consiste a tirer simultanement 3 boules de l’urne ; on appelle « succes » l’obtention de 3 boules de meme couleur.

1. On effectue une fois l’epreuve (E)

Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :

A : avoir un succes (0,75 pt)

B : avoir 3 boules dont la somme des numeros est egale a 6 (0,75 pt)

2. A chaque epreuve (E), on designe par X la variable aleatoire qui prend comme valeur le plus grand des numeros portes sur les 3 boules tirees.

a) Donner l’univers image de X (0,5 pt)

b) Donner la loi de probabilite de X (1 pt)

3. On repete n fois de suite, d’une maniere independante l’epreuve (E). On note l’evenement C : obtenir au moins un succes lors des n epreuves (E)

a) Calculer la probabilite p_n de l’evenement A_n (0,5 pt)

b) Determiner le nombre minimal d’epreuves (E) qu’on doit effectuer pour que p_n > 0,99 (0,5 pt)

PROBLEME (10 points)

Partie A

Soit g la fonction definie sur R par : g(x) = e^x – x – 1

1. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation (0,75 pt)

2. En deduire que pour tout x reel : e^x ≥ x + 1 (0,25 pt)

Partie B

Soit f la fonction numerique definie sur R par :

f(x) = x + 1 – e^-x

On note (C) la courbe representative de f dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 2 cm.

1.

a) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de definition (0,5 pt)

b) Montrer que la droite (D) d’equation y = x + 1 est une asymptote oblique a (C) (0,5 pt)

2.

a) Calculer f'(x) et etudier son signe (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f (0,5 pt)

3.

a) Etudier la position de (C) par rapport a (D) (0,5 pt)

b) Determiner l’equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse 0 (0,5 pt)

4. Construire (D), (T) et (C) dans le meme repere (1 pt)

5.

a) Montrer que f realise une bijection de R sur un intervalle J a determiner (0,5 pt)

b) Soit f^-1 la fonction reciproque de f. Calculer (f^-1)'(0) (0,5 pt)

6. Calculer en cm² l’aire A de la partie du plan limitee par (C), (D) et les droites d’equations x = 0 et x = 1 (1 pt)

On donne : e = 2,7 ; e^-1 = 0,37

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