Physique-Chimie BAC Série C 2023 Madagascar : sujet et corrigé

📄 Télécharger le sujet en PDFPDF réservé aux comptes · inscription gratuite

N.B. :
– Les cinq (5) exercices et le problème sont obligatoires
– L’utilisation de la machine à calculer non programmable est autorisée.

CHIMIE ORGANIQUE (3 points)

La combustion complète de 4,4g d’un alcool chiral A à chaîne ramifiée donne 5,6L de dioxyde de carbone et de l’eau.

1-a) Donner la formule brute de A ainsi que sa formule semi-développée. Le nommer (0,75 pt)

b) Représenter en perspective les deux énantiomères de A. (0,25 pt)

2- On fait réagir un mélange équimolaire de 8,8g de 3-méthylbutan-1-ol et de l’acide carboxylique D.
On obtient un composé organique E de masse molaire \(M = 130\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\).

a) Déterminer les formules semi-développées de E et D. Les nommer (1 pt)

b) Sachant que le rendement de la réaction est r = 60%.Déterminer la masse d’acide initiale et en déduire la masse d’acide restante. (1 pt)

On donne : \(M(\mathrm{H}) = 1\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\) ; \(M(\mathrm{C}) = 12\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\) ; \(M(\mathrm{O}) = 16\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\) ; Volume molaire \(V_m = 22{,}4\ \mathrm{L{\cdot}mol^{-1}}\)

CHIMIE GÉNÉRALE (3 points)

1- On étudie une solution d’ammoniac NH₃ de concentration molaire \(C = 6\cdot10^{-3}\ \mathrm{mol{\cdot}L^{-1}}\), son coefficient de dissociation α est tel que \(\alpha = 5\cdot10^{-2}\).

a)- Ecrire l’équation de dissociation de l’ammoniac avec l’eau. (0,5 pt)

b)- Montrer que :

• \(\mathrm{pH} = 14 + \log(C\alpha)\) (0,5 pt)
• \(\mathrm{p}K_A = 14 + \log\left(\dfrac{C\alpha^2}{1-\alpha}\right)\) (0,5 pt)

puis calculer pK_A et pH. A 25°C, \(K_e = 10^{-14}\) (0,5 pt)

2- On considère une solution S₁ d’ammoniac de concentration molaire \(C_1 = 6\cdot10^{-3}\ \mathrm{mol{\cdot}L^{-1}}\) et de volume \(V_1 = 20\ \mathrm{mL}\). On veut obtenir une solution diluée d’ammoniac S₂, de volume V₂, de pH = 10.
On ajoute alors de l’eau distillée, de volume V_e dans S₁. Déterminer V₂ et en déduire V_c (1 pt)

PHYSIQUE NUCLÉAIRE (2 points)

1- Le rubidium \({}^{87}_{37}\mathrm{Rb}\) est radioactif ; il se désintègre en strontium \({}^{87}_{38}\mathrm{Sr}\).
Ecrire l’équation de la désintégration de \({}^{87}_{37}\mathrm{Rb}\).
De quel type de radioactivité s’agit – il ? (0,5 pt)

2- La demi-vie radioactive (ou période) du \({}^{87}_{37}\mathrm{Rb}\) est \(T = 49\cdot10^{9}\) années. Un échantillon de \({}^{87}\mathrm{Rb}\) a pour masse \(m_0 = 1\ \mathrm{g}\) à l’instant t = 0.
Calculer l’activité de cet échantillon à l’instant \(t = 14{,}7\cdot10^{10}\) années. (0,5 pt)

3- Au moment de sa formation, des roches contenant des fossiles, ne contiennent pas de strontium.
A l’instant t, un géologue constate que le rapport \(\dfrac{N(\mathrm{Sr})}{N(\mathrm{Rb})} = 1{,}8\cdot10^{-2}\) où N(Sr) désigne le nombre de noyaux de strontium formés et N (Rb) désigne le nombre de noyaux de rubidium restants à l’instant t.

a) Exprimer \(r = \dfrac{N(\mathrm{Sr})}{N(\mathrm{Rb})}\) en fonction de λ et t où λ est la constante radioactive de \({}^{87}\mathrm{Rb}\). (0,5 pt)

b) Déterminer la date t (0,5 pt)

On donne : \(N_A = 6{,}02\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\) ; \(M(\mathrm{Rb}) = 87\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\)

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE (2 points)

On considère une lentille mince convergente L₁ de distance focale \(f_1^{\prime} = 20\ \mathrm{cm}\) et de centre optique O₁.

Un objet AB est placé à 40cm devant L₁ et placé perpendiculairement à l’axe optique. Le point A se trouve sur l’axe optique et B au dessus de A. On donne AB = 2cm

1- Déterminer les caractéristiques (position, nature, sens et grandeur) de l’image A₁B₁ de AB par L₁. (1 pt)

2- On place derrière L₁ une lentille L₂ divergente de centre optique O₂ et de distance focale \(f_2^{\prime} = -20\ \mathrm{cm}\). Les axes optiques de deux lentilles sont confondus.

a) Calculer la distance O₁O₂ séparant les deux lentilles L₁ et L₂ pour que l’image finale A₂B₂ de AB donnée par le système optique (L₁, L₂) soit deux fois plus petite et renversée (0,5 pt)

b) Faire la construction graphique (0,5 pt)
Echelle : suivant l’axe optique : \(\dfrac{1}{10}\)
suivant l’objet en vraie grandeur

ÉLECTROMAGNÉTISME (4 points)

Les deux parties A et B sont indépendantes

PARTIE A (2 points)

Un cadre carré HJKL de côté a est constitué d’un seul tour de fil conducteur rigide de masse m.
Ce cadre est mobile autour de son côté HJ horizontal. On néglige les frottements sur l’axe (HJ). Le cadre est plongé dans un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\) vertical dirigé vers le haut et de valeur B. Initialement, le cadre est dans un plan vertical. Lorsqu’il est parcouru par un courant d’intensité I, il s’incline d’un angle α par rapport à la verticale (Figure 1)

Attention : sur le scan d’origine, la figure 1 porte des marques grises ajoutées au crayon. Ce sont les vecteurs notés V et F près de H et les petites flèches sur le côté HL (figure 1a) et sur le côté vu de profil (figure 1b). Elles ne font pas partie de l’énoncé et ne donnent pas la réponse : n’en tenez pas compte. Le sens du courant est justifié dans le corrigé.

1) Représenter sur la figure 1a le sens du courant et sur la figure 1b la force électromagnétique agissant sur le côté LK. (0,75)
Indication : les forces électromagnétiques sur les côtés HL, HJ et KJ n’ont aucun effet sur la rotation du cadre.

2) Exprimer B en fonction de I, α, g et µ puis calculer sa valeur. (1,25)
µ : masse linéique du fil constituant le cadre

On donne : I = 1,5A ; α = 21° ; \(g = 9{,}8\ \mathrm{N{\cdot}kg^{-1}}\) et \(\mu = 2\cdot10^{-3}\ \mathrm{kg{\cdot}m^{-1}}\)

PARTIE B (2 points)

On place en série, entre deux points A et B, une bobine d’inductance L et de résistance interne \(r = 80\ \Omega\) et un condensateur de capacité C (Figure 2). L’ensemble est soumis à une tension sinusoïdale u(t) tel que \(u(t) = U\sqrt{2}\,\sin(\omega t + \varphi)\) où \(U = 100\ \mathrm{V}\) et \(\omega = 100\pi\ \mathrm{rad{\cdot}s^{-1}}\).
L’intensité efficace du courant traversant le circuit vaut I = 0,5A. La tension efficace aux bornes du condensateur est \(U_C = 120\ \mathrm{V}\).

1- Sachant que la pulsation ω du circuit est supérieure à la pulsation \(\omega_0\) à la résonance.

a) Tracer le diagramme de Fresnel relatif à la tension efficace de ce circuit. (0,5 pt)

b) Déterminer la phase φ de la tension u(t) par rapport à i(t) (0,5 pt)

2- Dans la suite du problème, on prendra \(\varphi = 1{,}16\ \mathrm{rad}\)

a) En utilisant le diagramme de Fresnel, déterminer \(\varphi_B\), phase de la tension \(u_B(t)\) aux bornes de la bobine par rapport à l’intensité du courant i(t) (0,5 pt)

b) Déterminer l’inductance L de la bobine. (0,5 pt)

MÉCANIQUE (6 points)

Les parties A et B sont indépendantes. On prendra \(g = 10\ \mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\)

PARTIE A (3 points)

Une piste est constituée de :

• Une partie rectiligne AO incliné d’un angle α = 30° par rapport à l’horizontale.
• OB : partie rectiligne horizontale
• BD : un quart de cercle de centre I et de rayon R = 30cm (Figure3)

1- Un solide ponctuel (S) de masse m = 100g part sans vitesse initiale en A et arrive en O avec une vitesse \(V_0 = 2\ \mathrm{m{\cdot}s^{-1}}\).
Au cours de la descente, les frottements équivalents à une force unique \(\vec{f}\), s’opposent à tout instant au vecteur vitesse \(\vec{V}\).
Déterminer l’intensité f de la force de frottement \(\vec{f}\) sachant que AO = 1m. (0,5 pt)

2- Arrivé en O avec la vitesse V₀ précédente, le solide (S) continue sa course sur le plan horizontal OB rugueux. La force de frottement \(\vec{f}\) est proportionnelle au vecteur vitesse tel que \(\vec{f} = -k\vec{V}\) où k est une constante positive.
Montrer que :

a) Sa vitesse à chaque instant peut s’écrire sous la forme : \(V = V_0\,e^{-\frac{k}{m}t}\) et que son équation horaire : \(x = \dfrac{mV_o}{k}\left[1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right]\) (1 pt)

b) Au cours d’un temps infiniment long, le solide arrive en B avec une vitesse quasiment nulle.
Déterminer la distance OB parcourue par (S) (0,5 pt)
On donne k = 1USI

3- Le solide, partant sans vitesse en B, glisse sans frottement sur la partie circulaire BD.
A l’instant t, lorsqu’il est en M, il est repéré par l’angle \(\theta = \left(\overrightarrow{ID}, \overrightarrow{IM}\right)\).

a) Exprimer l’intensité N de la réaction normale du support exercé par la piste sur le solide (S) en fonction de m, g, R et θ. (0,5 pt)

b) Le solide quitte la piste en E à une hauteur d du sol horizontal. Déterminer d. (0,5 pt)

Les traits fins en trait plein partant de M (vers l’axe IB et vers le sol) et de E (vers l’axe IB) semblent ajoutés au crayon sur le scan d’origine. Ils ne font pas partie de l’énoncé.

PARTIE B (3 points)

Un système (S) est constitué:

• d’un cerceau de centre I, de rayon R et de masse m.
• d’une tige de masse négligeable de longueur 2R fixé en deux points A et B du cerceau diamétralement opposés.
• de deux solides ponctuels de masses respectives m et 2m placés respectivement en A et B (figure 4a)

Le système (S) peut tourner autour d’un axe horizontal (Δ) passant par un point O de la tige tel que \(OI = \dfrac{R}{2}\)

1- Montrer que :

a)- La distance OG où G est le centre d’inertie du système (S) est tel que \(OG = \dfrac{3R}{4}\) (0,5 pt)

b)- le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (Δ) est \(J_\Delta = 6mR^2\) (0,5 pt)

2- On écarte (S) d’un angle \(\theta_m\) faible de sa position d’équilibre puis on l’abandonne sans vitesse initiale.
Etablir l’équation différentielle régissant le mouvement de (S) et montrer que sa période d’oscillation est \(T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}}\) (1 pt)

3- On fixe au système (S) précédent au point O deux fils de torsion de même caractéristique. On note C la constante de torsion de chaque fil (figure 4b)

Les autres extrémités de deux fils sont fixés respectivement aux points J et F.
On écarte le système (S’) ainsi constitué de même angle \(\theta_m\) faible de sa position d’équilibre.

a)- En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, établir l’équation différentielle régissant le mouvement de (S’) (0,5 pt)

b)- Montrer que sa période d’oscillation est \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{6mR^2}{2C + 3mgR}}\) (0,25 pt)

4- Sachant que \(T_0 = 2T_1\), établir l’expression de C, en fonction de m, g et R puis calculer. (0,25 pt)
On donne : m= 100g, R = 20cm, \(g = 10\ \mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\)

• On prendra comme origine des altitudes et comme plan de référence pour l’énergie potentielle de pesanteur la position G₀ du centre d’inertie du système (S’) à l’équilibre.
• Pour θ faible : \(\sin\theta \approx \theta\ (\mathrm{rad})\) et \(\cos\theta \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2}\)