Physique-Chimie BAC Série C 2012 Madagascar : sujet et corrigé

Texte établi à partir d’une version dactylographiée du sujet (aucun scan officiel disponible).

N.B. :
– Les CINQ (05) exercices et le problème sont obligatoires.
– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

CHIMIE ORGANIQUE (3 points)

1- Un monoalcool saturé A chiral, à chaine ramifiée, contient 18,18% d’oxygène en masse. L’oxydation ménagée de A par une solution acidifiée de permanganate de potassium KM_nO₄ conduit à un acide carboxylique B.

a- Déterminer la formule brute, la formule semi-développée et le nom de A. (1 pt)

b- Donner la représentation en perspective des énantiomères de A. (0,5 pt)

2- On fait réagir 5,1g d’acide 2-méthyl butanoïque avec 4,4g de 2-méthyl butan-1-ol.

a- Ecrire l’équation bilan de la réaction et nommer le produit organique obtenu. (1 pt)

b- Calculer la masse d’ester obtenu sachant que le rendement de la réaction est de 66,7%. (0,5 pt)

CHIMIE GÉNÉRALE (3 points)

On dispose d’une solution S d’acide propanoïque \(\mathrm{CH_{3}CH_{2}COOH}\) de concentration \(C_A = 0{,}2\ \mathrm{mol{\cdot}L^{-1}}\). Le \(\mathrm{p}K_a\) du couple \(\mathrm{CH_{3}CH_{2}COOH/CH_{3}CH_{2}COO^{-}}\) est 4,8.

1- a- Montrer que la concentration en ion \(\mathrm{H_{3}O^{+}}\) de la solution S vérifie l’équation :

\([\mathrm{H_{3}O^{+}}]^2\) \({}+ 1{,}6\cdot10^{-5}\,[\mathrm{H_{3}O^{+}}] - 3{,}2\cdot10^{-6} = 0.\) (1 pt)

(on admet que : \([\mathrm{OH^{-}}] \ll [\mathrm{H_{3}O^{+}}]\))

b- En déduire \([\mathrm{H_{3}O^{+}}]\) et le pH de la solution (S). (0,75 pt)

2- Dans un volume \(V_A = 20\ \mathrm{cm^3}\) de cette solution, on verse une solution d’hydroxyde de sodium obtenue en dissolvant 4g de pastille de soude dans \(200\ \mathrm{cm^3}\) d’eau distillée.
(On négligera la variation de volume).

a- Ecrire l’équation bilan de la réaction. (0,25 pt)

b- Calculer le volume \(V_B\) de la solution d’hydroxyde de sodium pour que le pH du mélange soit égal à 4,8. (1 pt)

On donne : \(\log 1{,}6\cdot10^{-5} \approx -4{,}8\)
\(M(\mathrm{Na}) = 23\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\) ; \(M(0) = 16\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\) ; \(M(\mathrm{H}) = 1\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\)

PHYSIQUE ATOMIQUE ET NUCLÉAIRE (2 points)

Le nucléide \({}^{211}_{85}\mathrm{At}\), un des isotopes radioactifs de l’astate, est un émetteur \(\alpha\).

1- Ecrire l’équation de désintégration correspondante. (0,25 pt)

2- A une date origine t = 0, on dispose d’un échantillon contenant \(N_0\) noyaux de \({}^{211}_{85}\mathrm{At}\) radioactif ; à une date t, on détermine le nombre N de noyaux non désintégrés.
On obtient le tableau suivant :

Tracer dans le document A la courbe \((\mathcal{C})\) : \(-\ln\left(\dfrac{N}{N_0}\right) = f(t)\) et en déduire la valeur de la constante radioactive \(\lambda\) du nucléide \({}^{211}_{85}\mathrm{At}\). (1,25 pts)

Echelle :

• en abscisse : 1 cm \(\longrightarrow\) 2h
• en ordonnée : 1 cm \(\longrightarrow\) 0,2

3- A l’instant initial t = 0, un échantillon contient une masse \(m_0 = 10^{-2}\ \mathrm{mg}\) de \({}^{211}_{85}\mathrm{At}\) radioactif.
Calculer l’activité \(\mathcal{A}\) de cet échantillon à l’instant t = 1h, sachant que la période radioactive de \({}^{211}_{85}\mathrm{At}\) est T = 7h. (0,5 pt)

On donne : Nombre d’Avogadro : \(\mathcal{N} = 6\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\) ;
\(\ln 2 = 0{,}7\) ;
Masse molaire du noyau \({}^{211}_{85}\mathrm{At}\) : \(M = 211\ \mathrm{g{\cdot}mol^{-1}}\).

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE (2 points)

Une lentille mince convergente L₁ de centre O₁ et de distance focale \(f_1^{\prime} = 20\ \mathrm{cm}\) donne d’un objet réel AB, une image réelle A’B’ quatre fois plus grande.

1 – Déterminer les positions \(\overline{O_1A}\) de l’objet et \(\overline{O_1A^{\prime}}\) de l’image. (1 pt)

2 – On accole à la lentille L₁, une autre lentille mince divergente L₂ de centre O₂ et de distance focale \(f_2^{\prime} = -30\ \mathrm{cm}\).
Calculer la vergence du système optique ainsi constitué. (0,25 pt)

3- On maintient la lentille L₁ à sa position et on écarte la lentille L₂ de 20 cm vers la droite. On place un objet AB de 10 cm de hauteur, à 40 cm devant la lentille L₁.
Construire, sur le document B, l’image A₂B₂ de l’objet AB donnée par le système optique ainsi constitué. (0,75 pt)

Echelle : \(\dfrac{1}{10}\)

ÉLECTROMAGNÉTISME (4 points)

1- Une bobine de longueur \(\ell = 40\ \mathrm{cm}\), de rayon \(r = 2{,}5\ \mathrm{cm}\) et d’inductance L, comporte \(n = 10^4\) spires par mètre. Montrer que l’inductance L de la bobine s’écrit :
\(L = \mu_0 n^2 \ell \pi r^2\). Calculer L. (1pt)

On donne \(\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\) USI.

2- Un circuit comprend, en série, un conducteur ohmique de résistance \(R = 45\ \Omega\), d’une bobine d’inductance \(L = 0{,}1\ \mathrm{H}\) et de résistance négligeable, un condensateur de capacité \(C = 10\ \mu\mathrm{F}\). L’ensemble est soumis à une tension sinusoïdale de fréquence N variable de la forme \(u(t) = 10\sqrt{2}\,\sin(2\pi N t)\) (V).

a- Pour N = 100Hz, construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit. (0,5pt)

b- Etablir l’expression de l’intensité instantanée i(t) du courant qui traverse le circuit. (0,75pt)

c- On fait varier N, montrer que : \(\dfrac{Z}{R} = \sqrt{1 + Q^2\left(\dfrac{N}{N_0} - \dfrac{N_0}{N}\right)^2}\) (1,25pts)

où Q est le facteur de qualité du circuit ;
\(N_0\) la fréquence à la résonance et Z l’impédance du circuit.

d- Calculer la largeur de la bande passante \(\Delta N\). (0,5pt)

MÉCANIQUE (6 points)

• Les deux parties A et B sont indépendantes.
• On prendra \(g = 10\ \mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\) et on négligera les frottements.

Partie A :

Une glissière est constituée de deux parties :

– une partie rectiligne \(AB = \ell = 1\ \mathrm{m}\), inclinée d’un angle \(\alpha = 30^\circ\) par rapport à l’horizontale,
– une partie circulaire BC de centre O, de rayon \(r = 1\ \mathrm{m}\), d’angle \(\theta_0 = (\overrightarrow{OB}\,;\overrightarrow{OC}) = 60^\circ\).

Un solide ponctuel (S) de masse \(m = 100\ \mathrm{g}\) est lâché du point A sans vitesse initiale. (Voir figure 1).

1- Calculer la vitesse \(V_B\) du solide (S) en B. (0,5pt)

2- Le solide (S) aborde la partie circulaire de la glissière avec cette vitesse \(V_B\).

a- Exprimer, en fonction de \(V_B\), g, r et θ, la vitesse \(V_M\) du solide (S) au point M. (1pt)

b- Exprimer, en fonction de \(V_B\), g, r, θ et m, la réaction exercée par la glissière sur le solide (S) au point M. (1pt)

3- Montrer que le solide (S) quitte la glissière en N. Calculer l’angle \(\theta_1 = (\overrightarrow{ON}\,;\overrightarrow{OC})\). (0,5 pt)

Partie B :

Un cylindre (C) homogène de masse \(M = 300\ \mathrm{g}\) et de rayon \(R = 20\ \mathrm{cm}\) est mobile autour d’un axe horizontal \((\Delta)\) passant par son centre d’inertie O et supporte deux solides (S₁) et (S₂) de masses respectives \(m_1 = 50\ \mathrm{g}\) et \(m_2 = 200\ \mathrm{g}\) par l’intermédiaire d’un fil inextensible. Le solide (S₁) est relié à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives de raideur \(k = 10\ \mathrm{N{\cdot}m^{-1}}\). L’autre extrémité du ressort étant fixe. (Voir figure 2).

1- A l’équilibre, calculer l’allongement du ressort. (1pt)

2- On écarte le solide (S₂) de sa position d’équilibre vers le bas d’une distance \(a = 2\ \mathrm{cm}\) et on l’abandonne sans vitesse initiale à l’instant t = 0s.

a- Etablir l’équation différentielle du mouvement. (1,25pts)

b- Déterminer l’équation horaire du mouvement. (0,75pt)