MQG III

CENTRE NATIONAL DE TÉLÉ-ENSEIGNEMENT DE MADAGASCAR (CNTEMAD)

Année universitaire : 2016/2017

EXAMEN FINAL

MQG III

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Document interdit

 

Une entreprise spécialisée dans la production de confiseries s’engage à respecter certaines normes de fabrication concernant le pourcentage de colorant contenu dans ses produits. Ce pourcentage de colorant est représenté par une variable aléatoire X supposée suivre une loi normale d’écart type σ connu et égal à 1. A la sortie de la chaîne de fabrication on tire un échantillon aléatoire et indépendant de N = 9 mesurés en pourcentage:

 

2.5        3.0        3.2        3.6        2.0        2.1        1.5        1.2        1.0

 

Si la moyenne m du pourcentage de colorant est supérieure ou égale à 3, la marchandise est déclarée non conforme et détruite. Le fabricant souhaite effectuer le test suivant :

H1 : m = 2

H2 : m = 3

1) Calculez une estimation ponctuelle et une estimation par intervalle de confiance de niveau 95% de la moyenne m. Vous détaillerez la construction de l’intervalle de confiance.

2) Commentez le choix du fabricant de l’hypothèse nulle HO.

3) Montrez que le rapport des vraisemblances de l’échantillon sous les hypothèses nulle et alternative peut s’écrire sous la forme suivante :

4) A partir du résultat de la question 3, démontrez que la région critique W du test optimal au sens de Neyman Pearson est de la forme:

Où A est une constante déterminée par le niveau de risque de première espèce.

5) En admettant le résultat de la question 4, (i) construire la région critique W du test optimal pour un niveau de risque de première espèce a = 1%. (ii) Quelle décision doit prendre le fabricant dans ce cas?

6) Pour un seuil de risque de première espèce a = 1%, calculez le risque de deuxième espèce et la puissance du test. Interprétez économiquement ces deux grandeurs.

7) Si le seuil reste fixé à 1%, quelle doit être la taille minimale de l’échantillon N pour que la puissance soit supérieure à 95%. En déduire une solution pour que le test du fabricant soit plus acceptable pour une association de consommateur.