et seulement x ≥ e
Remarque : = = e f’ est strictement croissante sur] o, e ]
et strictement décroissante sur [e ,+ ∞[
Tableau de variation de f’
b) signe de f’(x)
L’examen du tableau de variation de nous permet de conclure que pour tout x de [o, +∞[:f’(x)
≤
Or ˂ ˂ 0, donc f’(x) ˂ 0
3-) f(x)=1- X –
Etude de variation de f
Df = ] 0,+∞ [
.lim f(x) = 1-0-=+∞
X→0+
.lim f(x)=1-∞-0=-∞
x→+∞
On sait que pour tout x de [ :f’(x)˂0, f et donc strictement décroissante sur]0,+∞[.
4-) lim f(x)- – x +1 = lim – = 0
La droite (D) : y = – X+1 est donc asymptote oblique à (ﻉ)
Position de (ﻉ) par rapport à (D) sur ]0,+∞[.
On étude le signe de f(x) – -x +1 . on a f(x)- – x +1 =
-Pour x ] 0,1[ :la courbe (ﻉ) est au-dessus de (D)
-Pour x=1 : la courbe (ﻉ) coupe la droite (D)
-Pour x] 1,+∞ [ : la courbe (ﻉ) est au -dessous de (D)
5-) Soit A un point de (ﻉ) d’abscisse xo et (T) la tangente à (ﻉ) au point A. (T) : y = f’( xo) (x -xo )+f(xo) (D) : y = – x +1
(T) est parallèle à(D) si et seulement si elles ont le même coefficient directeur si et seulement si f’(xo) = –
—
1- Inxo = 1d’ou xo = e
Il existe donc un point Ade (ﻉ) d’abscisse xo = e ou la tangente (T) à (ﻉ) est parallèle à (D)
6) tracés de (D). (T)
7-) Soit A l’aire géométrique du domaine plan limité par la courbe (ﻉ), la droite (D) et les droites d’équations respectives x = 1 et x = e Puisque la courbe (ﻉ) est au-dessous de la droite (D) sur l’intervalle [1. e], on a:
A= cm2
😎 Soit la fonction définie sur [3,+∞[ par : g(x) = x + 1-f(x)
g(x) = – x+1- 1-x – =
Pour tout x [3,+∞[: g’(x)=
g’(x) a le même signe que 1-In x.
pour x ≥ 3,on a In x ≥ In 3 donc- In x ≤ -In 3 d’ou 1-In x ≤ 1-In 3
Comme 1 — 1n3 b) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 et soit x tel que n s x s n ≤ x ≤ n +1 Comme g est strictement décroissante sur [3, +∞,[on a: g (n) ≥ g(x) ≥ g(n+1) Or g (n+1) = > 0, car In (n+1) ≥ In 4 > 0 Donc g(n) ≥ g(x) > 0 Autrement dit on a: O < g(x) ≤ g(n). c) Soit la suite (Un) n≥3 définie par Encadrement de Un On sait que si n ≤ x ≤ n+1, avec n ≥ 3 alors O < g(x) ˂ g(n) • En passant à la limite on a: EXERCICE 1 1- Résoudre dans C l’équation d’inconnue z. z2 -(4+5i) z-1+7i= 0 2- Le plan complexe (p) est muni d’un repère orthonormé,) (unité 1cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives: ZA =1+I ; ZB =3+4i et ZC=4-i. a) Déterminer l’expression complexe associée à la similitude plane directe S telle que S(A)= B et S(B)=C. b) Préciser les éléments caractéristiques de S. 3- On note par I le milieu du segment [BC]
s) Calculer l’affixe z1 de I. b) Placer les points A, B, C et I dans le plan complexe (ﻉ). c) Déterminer et construire l’ensemble (ﻉ) des points M d’affixe z vérifiant : z – = Déterminer et construire l’ensemble (ﻉ) image de (ﻉ) par S. EXERCICE 2 Une urne U1 contient six boules: tine boule numérotée O, deux boules numérotées I et trois boules numérotées 2. Une autre une U2 contient cinq boules : deux boules numérotées O, une boule numérotée 1 et deux boules numérotées 2. Les boules sont indiscernables au toucher. 1- On tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne U1. Calculer les probabilités des événements suivants: A: « La somme des numéros notés est égale à 4 » B: « Parmi les trois boules tirées, deux boules exactement sont numérotées par 2 » C: « Le produit des numéros notés sur les trois boules tirées, est différent de O » D: « Les trois boules obtenues portent le même numéro » 2- On remet l’urne U1 à sa condition initiale. On tire une boule de l’urne U1, puis on tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne U2. On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque éventualité, associe le produit des numéros notés sur les trois boules obtenues. a) Vérifier que l’univers image de X est égal à l’ensemble 0, 2, 4, 8. b) Montrer que P (X = 0) = et P (X ≥ 4) = . c) Calculer la probabilité de l’événement: (X = 2). d) Compléter le tableau des valeurs ci-dessous: e) Montrer que E(X) = E(X) étant l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. f) Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition F de X. On utilisera pour la représentation graphique de F un repère orthogonal (o, i, j). (On prendra comme unités: 1 cm sur l’axe des abscisses et 6 cm sur l’axe des ordonnées) (N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible). PROBLEME Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle] O, +∞ [par: f(x) =. eX. Inx + On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j) (unité: 2cm). 1) On donne la fonction numérique g définie sur l’intervalle) O, +∞ [par: g(x)=Inx + – . a) Calculer lim g(x) et lim 9(x). x→0+x→+∞ b) Pour tout x > O, calculer g’(x) et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variation de g. d) Montrer qu’il existe un et un seul nombre réel cx vérifiant g(o) = O avec < o < 1. 2) a) Pour tout x > O, calculer f’(x). b) Pour tout x > O, montrer l’égalité f ‘(x) = ex g(x). C) Calculer f’ (). d) Calculer lim f(x) et lim f(x). On pourra utiliser l’égalité f(x) = (xlnx + 1) x→0+ x→+∞ e) Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3) a) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1. b) Construire (C) et (T) dans un même repère. 4) On pose pour tout x >o, h(x)=ex lnx. Montrer que h est une primitive de f sur l’intervalle ] O, +∞[ 5) Soit I = f(x)dx où est le réel défini à la question 1)d). a) Montrer que I= ea – b) Interpréter géométriquement l’intégrale I. On donne ln2 ≈ O,7 ≈ O,6 f(a)2,1 e ≈ 2,7 EXERCICE I 1-) Résolution de l’équation z²-(4+5i)z-1+7i=0 Δ=-5+12i Soit δ=x+yi une racine carrée de Δ =-5+12i x²-y²=-5 On a : x²+y²===13 xy>0 il résulte : δ=2+3i ou δ=-2-3i z’==3+4i z’’==1+i L’ensemble des solutions est S ={3+4i ; 1+i} 2-a) Expression complexe de S z’=az+b, où a,b € S(A) = B azA+b=zB S(B) = C équivaut à azB+b=zC Donc : 3+4i=(1+i)a+b 4-i=(3+4i)a+b Il resulte : a=-1-i et b=3+6i D’où z’=(-1-i)z+3+6i b) Eléments caractéristiques de S Centre Ω : zΩ===+i Rapport k:k=|a|=|-1-i|= Angle :=arg(a)=arg(-1-i) Cos = Sin = 3-a) Affixe de I milieu de [BC] ZI===+i b) Voir placement des points A, B, C. I sur la figure ci-contre Exercice 2 1-) Urne U1 : ‘1N°0—2N°1—3N°2 Tirage simultané de trois boules de U1 Calcul de probabilités: A: « La somme des numéros notés est égale à 4 »« 1 N°0 parmi 1 et 2 N°2 parmi 3» ou «2 N°1 Parmi 2 et 1N°2 parmi 3» B: « Parmi les trois boules tirées, deux boules Exactement sont numérotées par 2 » « 2N°2parmi3 et 1N°2 parmi 3 » C: « Le produit des numéros notés sur les trois boules tirées, est différent de 0 » « 3N°0 parmi 5 » D: « Les trais boules obtenues portent le même numéro » « 3 N°2 parmi 3» 2-)UrneU1 : 1N°0—2N°1—3N°2 UrnetJ2:2N°O—1N°1—2N°2 Tirage d’une boule de U1 et tirage simultané de deux boules de U2. a) L’univers image de X est bien X(Ω) = 0, 2. 4. 8 b)-Calcul de P(X=0) Considérons l’événement contraire à (X = 0), (X = 0) : (1N° 0 parmi 5 de U1) et (2N° 0 parmi 3 de U2) C) Calcul de P(X = 2) P (x=2)= 1-(p(x=0) + p(x ≥ 4)) = = d) loi de probabilité de e) Espérance mathématique E(x) de x E (x) = 0. . + 2 + 4 + 8. E (x) = = = = 1,07 f) Fonction de répartition F de X F : R [0,1]
F(x) = o si x ˂ o F(x) = = si 0 ≤ x ˂ 2 F(x) = = = si 2 ≤ x ˂ 4 F(x) = = = si 4 ≤ x ˂ 8 F(x) = = = 1si x ≥ 8 EXERCICE I Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé (O, u, v). On note A le point d’affixe i. Résoudre dans C l’équation: =z A tout point M d’affixe z, avec z ≠i, on associe le point M’ d’affixe z’ tel que: Z’ = a) Exprimer z’ – i en fonction de z. b) Montrer que (z’-i)(z-i)= -3+4i. c) En déduire la valeur de lz’-iI.lz-iI. d) Déterminer l’ensemble (C) des points M tels que Iz — il = e) En utilisant les résultats précédents, montrer que si M appartient au cercle de centre A et de rayon Ji3 alors M’appartient à un cercle (C’) de centre A dont on déterminera le rayon. 3- Soit S la similitude plane directe de centre A, de rapport k et d’angle de mesure. a) Ecrire L’expression complexe de S. b) Soit B le point d’affixe I + 3i et B’ = S(B). Déterminer l’affixe dé B’. Montré que B’ appartient au cercle (C), EXERCICE 2 On dispose de deux dés cubiques parfaits et identiques Di et D2. Chaque dé comporte: – trois faces numérotées 1 – deux faces numérotées 2 – une face numérotée & 1- On lance une fois le dé D1 et on note le numéro apparu sur la face supérieure du dé. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants: A: « Le numéro apparu est impair » B: « Le dé donne le numéro I » On lance simultanément les deux dés D1 et 02 et on note les numéros apparus sur les faces supérieures des deux dés, On dit qu’on a effectué ainsi « une épreuve ». Soit l’événement C: « La somme des numéros notés est égalé à 4 ». Montrer que la probabilité de l’événement C: P(C) = b) Calculer la probabilité de l’événement: E : « Les deux dés donnent le m4me numéro » c) Soit X la variable aléatoire réelle qui, à chaque éventualité, associe la somme des numéros apparus sur les faces supérieures des deux dés. Préciser l’univers image de X puis déterminer la loi de probabilité de X. 3- Une partie consiste à effectuer 4 épreuves successives d’une manière indépendante. A chaque épreuve, on note les numéros obtenus. On fait une partie. Soit Y la variable : aléatoire réelle égale au nombre de fois de réalisation de l’événement C lors d’une partie. a) Préciser l’univers image de Y. b) Calculer l’espérance E(Y) et la variance V(Y) de Y. c) Calculer P (Y 3), PROBLEME Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle]-1, +∞ [par: On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, i ,j) (unité : 2 cm). 1-a) Montrer que f est continue en xo = O. b) Montrer que lim = et lim = o x→-1+ X-o x→o+ x-o Que peut-on en conclure sur f? 2-a) Calculer lim f(x) et lim f(x) x→-1+ x→+∞ b) Si x ] – 1, 0 [, calculer f’(x) et étudier son signe. c) Si x ] – O, +∞[, calculer f’(x) et étudier son signe. d) Dresser le tableau de variation de f. 3- Montrer que la droite (D) d’équation y=x-1 est asymptote à (C) au voisinage de +∞ 4-Tracer (C) et (D) dans un même repère (préciser les demi-tangentes à l’origine O du repère). 5- Soit u un nombre réel tel que o> 1. On note A(a) l’aire du domaine plan limité par (C), la droite (D) et les droites d’équations respectives x = 1 et x = a a) Exprimer, en cm2, A(a) en fonction de a. b) Calculer lim A(a). → 6- Pour tout n IN, on pose Un = (En remarquant que si n lN, et x [n,n+1] on a: f(X)= x -1+e-x). a) Exprimer Un en fonction de n. b) Montrer que (Un) nlN est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 7- Soit g la restriction de f à l’intervalle J = [O, +∞ [. a) Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 b) Représenter graphiquement g-1 dans le même repère que (C