UNIVERSITÉ D’ANTANANARIVO
FACULTÉ DE DROIT, D’ECONOMIE, DE GESTION ET DE SOCIOLOGIE
DÉPARTEMENT ECONOMIE
Test d’accès en 1ère année-jeudi 28 février 2013
Épreuve : MATHS-STAT
(Durée : 2 heures)
Dans une Faculté, en 1ère année filière E, l’année A, 80% des étudiants n’atteignent pas la note moyenne (10/20) dont 20% de (de ces 80%) possèdent une moyenne \(m\) : \(7 \leq m < 10\) .
Parmi ceux qui ont eu une moyenne en dessous de 7/10, 80% changent de filière (filière F) dont 25%( de ces 80%) seulement ont réussi par la suite dans cette filière F.
Si ces 25% sont au nombre de 128, calculer le nombre d’étudiants en 1ère année filière E, l’année A.
Si \(Q_i\) désigne la quantité observée l’année \(A_i\), on appelle variation moyenne annuelle de la quantité Q sur la période \(A_1\) à \(A_n\) le réel \(\tau_m\) définie par \((1+\tau m)^{n-1}=\frac{Qn}{Q1}\) et on lit (100x \(\tau_m\)) %.
A Ambohisompitra, le volume rizicole Q sur la période \(A_1\) à \(A_5\)
Vérifie \(\frac{5}{Qi}=\frac{6}{Qi+1}\), tandis que sur la période \(A_5\) à \(A_{11}\), il vérifie \(\frac{2}{Q1}=\frac{3}{Qi+1}\).
1) Calculer, à l’unité prés, le volume rizicole annuel moyen sur la période \(A_1\) à \(A_{11}\). On donne \(Q_5=259.20\) tonnes.
2) Déterminer, en pourcentage, la variation moyenne annuelle du volume rizicole dans ce lieu sur la période \(A_1 0A_{11}\)
Calcule \(I_n=\int_0^1 xe^{ax^2}\,dx\)
1) Déterminer \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R}\) tels pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}\)
2) Soit \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\)
a) Montre que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) \(A_n=1-\frac{1}{n+1}\)
b) En déduire \(\lim\limits_{n\to\infty} S_n\)