Mathématiques-Statistiques

UNIVERSITÉ D’ANTANANARIVO
FACULTÉ DEGS
Département Economie

2012

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE

Exercice 1 :

Ecrire le D.L au voisinage de 0 à l’ordre 3 de

Exercice 2 :

Soient les deux séries et telles que pour tout n ∈ Ν  avec Un ≥0

On se propose de démontrer que ces deux séries sont de même nature.

1) On suppose que est convergente :

a- Montrer que pour tout n ∈ Ν, Un ≥Vn

b- En déduire la nature de

2) On suppose que est convergente

a- Calculer la . Exprimer Un en fonction de Vn. En déduire

b- Calculer

c- En déduire la nature de la série

Exercice 3 :

1) Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que pour tout n ∈ Ν*

2) Montrer en utilisant la question 1) que pour tout n ∈ Ν* et pour tout k ∈ Ν*

3) En déduire

Exercice 4 :

Soient E un espace vectoriel sur un corps K, F et G deux sev de E tels que :. Soient  une base de E et une base de G

Montrer que est un système libre de E.