Mathématiques : Session 2018

Durée : 03 heures 15 minutes
Coefficient : 4

EXERCICES 1 : (5 points)
Soit P le polynôme à variable complexe z défini par :
P(z) = z³ + (1 – 9i)z² – (24 + 6i)z – 14 + 18i

1- a- Déterminer le nombre complexe Z₀ tel que :
P(z) = (z – z₀) (z² – 4iz – 4 – 2i)
b- En déduire des solutions dans  de l’équation P(x) = 0.

2- Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct  d’unité 1 cm,
on considère les points A, B, et C d’affixes respectives :
Z_A = –1 + 5i ; Z_B = 1 + 3i ; Z_C = –1  + i

a- Placer les points A, B, et C.
b- Calculer les distances AB et BC et déterminer une mesure de l’angle .
En déduire la nature du triangle ABC.
c- On note I le milieu du segment [AC]. Déterminer l’affixe Z_I du point I.
d- Déterminer puis construire l’ensemble des points M d’affixe z tel que | z + 1 – 3i | = 2.

3- Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme le point C en B.
a- Déterminer l’expression complexe ainsi que les éléments caractéristiques de S.
b- Déterminer et construire l’ensemble image de par S.

EXERCICES 2 : (5 points)

1- On lance une fois un dé tétraédrique à quatre faces numérotées : 1, 2, 3, et 4.
On s’intéresse au numéro de la face cachée. Pour k  {1; 2; 3; 4}, on note P_K la probabilité pour que
le numéro de la face cachée soit égal à k.
Le dé est truqué de sorte que les probabilités P₁, P₂, P₃ et P₄ vérifient les conditions suivantes :

Démontrer que  . En déduire les probabilités P₂, P₃, et P₄.

2- On lance deux fois de suite ce même dé.
a- Calculer la probabilité de l’évènement :
A : « le produit des deux numéros des deux faces cachées est égal à 4 ».
b- On désigne par le numéro de la face cachée au premier lancer et par  le numéro de la face cachée du deuxième.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre .
– Donner la loi de probabilité de X.
– Calculer l’espérance mathématiques de E(x) de X.

3- On lance quatre fois de suite et d’une manière indépendante ce dé.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face n°1 est cachée.
a- Calculer la probabilité de l’évènement
b- Calculer E(Y) et V(Y).

PROBLÈME : (10 points)

On considère la fonction numérique définie sur : par :

On note par sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct d’unité 1 cm.

1- Soit  la fonction définie sur par : g(x) = x² – 2 + lnx
a- Étudier le sens de variation de g sur .
b- Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution réelle unique telle que 
c- En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

2- a- Calculer Interpréter graphiquement le résultat.
b- Calculer
c- Montrer que la droite (D) d’équation y = –x + 3 est asymptote oblique à .
d- Étudier la position relative de par rapport à (D).

3- a- Montrer que, pour tout
b- Démontrer que  
c- Dresser le tableau de variation de la fonction f sur .

4- a- Déterminer les coordonnées du point A de où la tangente (T) est parallèle à (D).
b- Construire (T), (D), et . (On prendra pour la construction).

5- Calculer en cm², l’aire A du domaine plan limité par la courbe , la droite (D) et les droites d’équation x = 1 et x = e.

On donne :