Mathématiques : Session 2017

EXERCICE 1

1- a- Résolution dans  de l’équation (E₁):
(E₁) :
(z – 1)² + 1 = 0
(z – 1)² = i²
z – 1 = –i ou z – 1 = i
z = 1 – i ou z = 1 + i
D’où S = { 1 – i ; 1 + i }

b- Module et argument de chacune des solutions de ((E₁)
|1 – i| = |1 + i| =  
Arg ( 1 – i) = et Arg (1 + i) =

c- Déduction des solutions dans  de l’équation (E₂)
(E₂) : (–iz + 3i + 3)² – 2(–iz + 3i + 3) + 2 = 0
Posons Z = –iz +3i + 3
Alors z² – 2Z + 2 = 0
–iz + 3i + 3 – 1 = i ou –iz + 3i + 3 – 1 # i
–iz = –2 – 4i ou –iz = –2 – 2i
z = 4 – 2i ou z = 2 – 2i
D’où S = { 4 – 2i ; 2 – 2i }

2- Le plan complexe est rapporté à un repère direct d’unité 1cm.
On donne les points A, B, et C d’affixes respectives : z_A = 1 + i , z_B = 1 – i et z_C = 2 – 2i
a) On place les points A, B, et C
FIGURE

b) On donne la forme trigonométrique de avec E d’affixes z_E = 3

Donc, U =

c) Déduction de la nature du triangle AEC
On a
Donc |U| = 1
et  
Alors AEC est un triangle isocèle et rectangle en E

3- On considère la transformation R du plan dans  qui à tout point M d’affixe
z = x + iy associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ tel que :

a) Expression complexe de R
z’ = x’ + iy’ = –y + i(x – 4) = ix + i²y – 4i = i(x + iy) – 4i = iz – 4i
D’où z’ = iz – 4i

b) Nature et éléments caractéristiques de R
R : z’ = iz – 4i
– Rapport : |a| = 1
– Centre :
Angle :  
D’où R est une rotation de centre C(2 – 2i) et d’angle

Soit le cercle de centre E et de rayon
Détermination et construction de l’image de par R dans le repère précédent.
On a alors                        
E’(3i – 4i = –i)
et passent par A et C

EXERCICE 2

A-
1- On tire au hasard et successivement sans remise 3 boules de l’urne U₁.
Calcul de la probabilité de chacun des évènements suivants :
– E1 : « Les numéros des 3 boules tirées sont pairs ».
p(E1) =
– E2 : « Avoir 3 boules dont la somme des numéros tirés est égale à 6 »
E2 = {024 ou 222 ou 033}
p(E2) =

2- On tire au hasard et simultanément 2 boules de U2 et 1 boule de U1.
On suppose que les évènements élémentaires sont équiprobables.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules portant le numéro 2.
a) La loi de probabilité de X.

L’ensemble des résultats obtenus à partir de cette épreuve est =
D’où l’univers image de X est X() = {0, 1, 2, 3}
p(X = 0) =
p(X = 1) =
p(X = 2) =  

p(X = 3) =  

b- Calcul de l’espérance mathématique E(X) de X.
E(X) =

B- Lors d’une épreuve facultative d’EPS, on donne pour 4 élèves les points bonus x_i
obtenus en épreuve de « course de fond » et y_i obtenus en épreuve de « saut » :

1- Calcul de coefficient de corrélation linéaire :

Interprétation :
Il y a une forte corrélation linéaire car

2- Détermination par la méthode des moindres carrés de l’équation de la droite de régression de y en x.
(D) : y = ax + b avec
et b =
D’où

3- Estimation de bonus en épreuve de saut pour un élève ayant 9 points de bonus en course de fond.
Pour x = 9 :
D’où y = 6 points

PROBLÈME

On considère la fonction  définie sur  par :

On note par  sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1cm.
1- Étude de continuité de f en x₀ = 0.

Alors f = 0
D’où f est continue en 0

2- a) Montrons que

D’où

b) Interprétation graphique de ces résultats.
D’après ces résultats, admet un point anguleux
– à gauche de 0 : tangente de coefficient directeur –1.
– à droite de 0 : tangente verticale

c) Calcul des limites de f en

3- a) Pour x > 0, calcul de f'(x) et étude de son signe.
On a f(x) = x(-1+lnx)
Alors, f'(x) = (x)'(-1+ lnx) + x(-1 + lnx)’
Soit f'(x) = 0, donc lnx = 0, d’où x = 1 

b) Pour , calcul de f'(11) et étude de son signe
On a f(x) = -1 – e^x alors f'(x) < 0

c) On dresse le tableau de variation de f :

4- On donne l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse x₀ = e^x
 (T) : y = f'(e)(x – e) + f(e)
y = x – e

5- a) Calcul de f(e²)
f(e²) = e²(-1 + lne²) = e²(-1 + 2) = e²

b) Étude des branches infinies de (C)
– Comme , alors (C) admet une asymptote horizontale d’équation y = 1
– Comme , alors (C) admet une branche parabolique suivant l’axe (Oy)
au voisinage de .

6) Traçage de la tangente (T) et de la courbe (C) en précisant les demi-tangentes au point O.

7) Soit g la restriction de f sur l’intervalle
a) Montrons que g admet une fonction réciproque g^-1 définie sur l’intervalle J que l’on précisera
D’après la variation de f, la restriction g de f à l’intervalle
est continue et strictement croissante sur . Alors g est une bijection de
sur , donc g admet une fonction réciproque g^-1 définie sur .

b) Tableau de variation de g^-1

c) Traçage de la courbe de g^-1 dans le même repère que (C)
La courbe représentative de g^-1 se déduit de celle de g par symétrie par rapport
à la droite d’équation y = x.
Voir la représentation graphique de g^-1 sur le repère précédent.

d) Calcul de (g^-1)’(e²)

8- En utilisant une intégration par parties, calcul en cm² de l’Aire A du plan limité
par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = e et x = e²