Mathématiques : Session 2016

BACCALAURÉAT DE L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL

SESSION 2016

Série A ; Épreuve de : Mathématiques
Durée : 02 heures 15 minutes ; Coefficient : A1=1 ; A2=3

NB : – Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

Exercice 1 (05 points)

Soit (U_n)   une suite arithmétique de premier terme U_o = 1 et de raison r = -2.

1) Exprimer U_n en fonction de n

2) -a) Déterminer l’entier naturel n tel que U_n = – 99

b) Soit S = U_o + U₁ +…… + U₅₀. Prouver que S= —2499

3) soit (V_n)_{n ∈ IN} la suite définie par : pour tout n ∈ V_n =

a) Démontrer que (V_n)_n∈IN est une suite géométrique de raison

b) Exprimer U_n en fonction de V_n. En déduire

Exercice 2 (05 points)

Une boîte contient 10 crayons indiscernables au toucher dont :

• 3 rouges numérotés : 1 ; 2 ; 3
• 3 blancs numérotés : 1 ; 1 ; 2
• 4verts numérotés : 1 ; 2 ; 4 ; 4.

Chaque crayon a la même probabilité d’être tiré.

1) Un enfant prend, au hasard et d’un seul coup, 3 crayons de la boîte.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Obtenir 3 crayons de couleurs différentes »

B : « Obtenir exactement 2 crayons blancs »

2) Un autre enfant prend au hasard, un à un avec remise, 3 crayons de la boîte.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

C : « Obtenir, dans l’ordre, un crayon rouge et deux crayons verts »

D : « Obtenir 3 crayons dont la somme des numéros est égale à 5 »

E : « Obtenir 3 crayons dont le produit des numéros est égal à 8 ».

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Problème (10points)

Soit f la fonction numérique d’une variable réelle x définie par : f (x) = x — lnx où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O;i;j d’unité 1 cm, (A₁ A₂)

1) Déterminer l’ensemble de définition D_f de f.

2) -a) Vérifier que pour tout x > 0 ;

b) On admet que Calculer

c) Calculer Qu’en déduit-on pour la courbe (C) ?

3-a) Démontrer que pour tout x > 0, (f ‘ est la fonction dérivée première de f ).

b) Etudier le sens de variations de f sur puis dresser son tableau de variations.

4) Reproduire puis compléter le tableau suivant :

On donnera les résultats à 10^-2 près.

5) Tracer la courbe (C).

Pour A2 seulement

6) Soit F la fonction définie par : pour tout x > 0.

a- Démontrer que F est une primitive de f sur

b- Calculer, en cm et à 10^-2 près, l’aire A du domaine plan délimité par la courbe (C ), l’axe (x’Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = e