Mathématiques Série D : Session 2006

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MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Direction de l’Enseignement Supérieur Public et Privé — Service d’Appui au Baccalauréat

BACCALAURÉAT DE L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL

Session 2006 — Série D

Code matière : 009 Épreuve : MATHÉMATIQUES
Durée : 3h15 Coefficient : 4

N.B. : Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

EXERCICE I — Nombres Complexes (8 points)

1. Résoudre dans ℂ l’équation :

z² − (1 + i)z + 2 + 2i = 0

2. Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé (O, u⃗, v⃗) avec unité 1 cm, on donne les points A, B, C et D d’affixes respectives :

ZA = −1 + i   ;   ZB = 1 − i   ;   ZC = 2i   ;   ZD = 4 + 6i

  1. Placer les points A, B, C et D.
  2. Écrire l’expression complexe de la similitude directe S telle que S(D) = A et S(C) = B.
  3. Donner les éléments caractéristiques de la similitude S.

3. À tout point M d’affixe z (M ≠ D), on associe le point M₁ d’affixe Z₁ tel que :

Z₁ = (2z − 4i) / (z − 4 − 6i)

  1. Montrer que |OM₁| = 2|CM| / |DM|
  2. Déterminer et représenter graphiquement les ensembles (Γ) et (Γ’) tels que :
    • (Γ) est l’ensemble des points M d’affixe z tels que |Z₁| = 2
    • (Γ’) est l’image de (Γ) par la similitude S

EXERCICE II — Probabilités (6 points)

Une urne contient 2 boules rouges et 4 boules vertes. Les boules rouges portent respectivement les numéros 0 et 1 ; les boules vertes portent respectivement les numéros 2, 3, 4 et 5.

L’épreuve (E) consiste à tirer simultanément 3 boules de l’urne ; on appelle « succès » l’obtention de 3 boules de même couleur.

1. On effectue une fois l’épreuve (E). Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

  • A : « avoir un succès »
  • B : « avoir 3 boules dont la somme des numéros est égale à 6 »

2. À chaque épreuve (E), on désigne par X la variable aléatoire réelle qui prend comme valeur le plus grand des numéros portés sur les 3 boules tirées.

  1. Donner l’univers-image de X.
  2. Donner la loi de probabilité de X.

3. On répète n fois de suite, de manière indépendante, l’épreuve (E). On note An l’événement : « Obtenir au moins un succès lors des n épreuves (E) ».

  1. Calculer la probabilité Pn de l’événement An.
  2. Déterminer le nombre minimum d’épreuves (E) qu’on doit effectuer pour que Pn > 0,99.

On donne : ln(5/4) ≈ 0,22 et ln(10) ≈ 2,30

PROBLÈME — Étude de fonction (6 points)

On considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par :

f(x) = eˣ + ln(x)/x²

où e désigne le nombre réel base des logarithmes népériens.

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal direct (O, i⃗, j⃗) tel que ‖i⃗‖ = 2 cm et ‖j⃗‖ = 1 cm.

1. On considère la fonction g définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = −2ln(x) − xe + 1

  1. Donner le sens de variation de g.
  2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle ]1/2, 1[.
  3. En déduire que pour tout x ∈ ]0, α[, g(x) > 0 et pour tout x ∈ ]α, +∞[, g(x) < 0.
  4. Montrer que f(α) = (1 + αe) / (2α²)

2.

  1. Calculer les limites de f en 0⁺ et en +∞.
  2. Calculer la dérivée f'(x) et vérifier que pour tout x ∈ ]0, +∞[, f'(x) a le signe de g(x).
  3. Dresser le tableau de variation de f.

3. Tracer la courbe (C) en précisant les branches infinies.

On prendra : ln(2) ≈ 0,69 ; e ≈ 2,71 ; α ≈ 0,67 et f(α) ≈ 3,16

4. Pour n ∈ ℕ, on pose :

In = ∫eⁿeⁿ⁺¹ ln(x)/x² dx     et     An = ∫eⁿeⁿ⁺¹ f(x) dx

  1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : In = (n+1)/eⁿ − (n+2)/eⁿ⁺¹
  2. Montrer que An = In + e.
  3. Calculer en cm² l’aire du domaine plan compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e.

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EXERCICE I — Nombres Complexes

1. Résolution de z² − (1+i)z + 2 + 2i = 0

Méthode : On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac

Δ = (1+i)² − 4(2+2i) = 1 + 2i + i² − 8 − 8i = 1 + 2i − 1 − 8 − 8i = −8 − 6i

Cherchons δ = a + bi tel que δ² = −8 − 6i :

  • a² − b² = −8
  • 2ab = −6, donc ab = −3
  • |δ|² = a² + b² = √(64 + 36) = 10

On trouve a² = 1 → a = ±1 et b = ∓3

Donc δ = 1 − 3i (ou δ = −1 + 3i)

Les solutions sont :

z₁ = [(1+i) + (1−3i)] / 2 = 1 − i
z₂ = [(1+i) − (1−3i)] / 2 = 2i

2. Similitude directe S

a) Placement des points : A(−1, 1), B(1, −1), C(0, 2), D(4, 6)

b) Expression complexe de S : z’ = az + b

  • S(D) = A : a(4+6i) + b = −1+i
  • S(C) = B : a(2i) + b = 1−i

Soustrayant : a(4+6i−2i) = −1+i−1+i = −2+2i

a(4+4i) = −2+2i → a = (−2+2i)/(4+4i) = (−2+2i)(4−4i)/32 = (−8+8i+8i+8)/32 = (1+2i)/4

b = 1−i − 2ia = 1−i − 2i(1+2i)/4 = 1−i − (2i−4)/4 = 1−i − i/2 + 1 = 2 − 3i/2

S : z’ = (1+2i)z/4 + (2 − 3i/2)

c) Éléments caractéristiques :

  • Rapport : k = |a| = |1+2i|/4 = √5/4
  • Angle : θ = arg(a) = arctan(2) ≈ 63,4°
  • Centre : Ω tel que Ω = aΩ + b → Ω(1−a) = b → Ω = b/(1−a)

3. Transformation M → M₁

a) |Z₁| = |2z−4i|/|z−4−6i| = 2|z−2i|/|z−4−6i| = 2|CM|/|DM|

Or O est à l’origine, donc |OM₁| = |Z₁| = 2|CM|/|DM| ✓

b) (Γ) : |Z₁| = 2 équivaut à |CM| = |DM|

C’est la médiatrice du segment [CD]

EXERCICE II — Probabilités

1. Calcul des probabilités

Nombre total de tirages : C(6,3) = 20

Événement A (succès = 3 boules de même couleur) :

  • 3 rouges : C(2,3) = 0 (impossible)
  • 3 vertes : C(4,3) = 4

P(A) = 4/20 = 1/5 = 0,2

Événement B (somme = 6) :

Combinaisons possibles : {0,1,5}, {0,2,4}, {1,2,3}

3 combinaisons favorables.

P(B) = 3/20 = 0,15

2. Variable aléatoire X

a) X prend les valeurs : X(Ω) = {2, 3, 4, 5}

b) Loi de probabilité :

X 2 3 4 5
P(X=k) 1/20 3/20 6/20 10/20

3. Répétition de l’épreuve

a) P(Ā) = 1 − P(A) = 4/5

P(Ān) = (4/5)ⁿ (aucun succès en n épreuves)

Pn = P(An) = 1 − (4/5)ⁿ

b) Pn > 0,99 ⟺ 1 − (4/5)ⁿ > 0,99 ⟺ (4/5)ⁿ < 0,01

n·ln(4/5) < ln(0,01) = −ln(100) = −2ln(10)

n·(−0,22) < −4,6

n > 4,6/0,22 ≈ 20,9

n ≥ 21

PROBLÈME — Étude de fonction

1. Fonction auxiliaire g(x) = −2ln(x) − xe + 1

a) g'(x) = −2/x − e < 0 pour tout x > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]0, +∞[

b) g(1/2) = −2ln(1/2) − e/2 + 1 = 2ln(2) − e/2 + 1 ≈ 1,38 − 1,36 + 1 ≈ 1,02 > 0

g(1) = 0 − e + 1 = 1 − e ≈ −1,71 < 0

g continue et strictement décroissante, donc ∃! α ∈ ]1/2, 1[ tel que g(α) = 0 ✓

c) g décroissante : g(x) > 0 sur ]0, α[ et g(x) < 0 sur ]α, +∞[ ✓

d) g(α) = 0 ⟹ −2ln(α) − αe + 1 = 0 ⟹ ln(α) = (1 − αe)/2

f(α) = e^α + ln(α)/α² = e^α + (1 − αe)/(2α²) = (1 + αe)/(2α²) ✓

2. Étude de f

a) Limites :

  • lim(x→0⁺) f(x) = 1 + (+∞) = +∞
  • lim(x→+∞) f(x) = +∞ + 0 = +∞

b) f(x) = eˣ + ln(x)·x⁻²

f'(x) = eˣ + (1/x)·x⁻² + ln(x)·(−2x⁻³) = eˣ + 1/x³ − 2ln(x)/x³

f'(x) = eˣ + (1 − 2ln(x))/x³ = [x³eˣ + 1 − 2ln(x)]/x³

Le signe de f'(x) est celui de g(x) ✓

c) Tableau de variation :

x 0 α ≈ 0,67 +∞
g(x) + 0 −
f(x) +∞ ↘ min = 3,16 ↗ +∞

4. Intégrales

a) In = ∫ ln(x)/x² dx avec u = ln(x), v’ = 1/x²

u’ = 1/x, v = −1/x

In = [−ln(x)/x] + ∫ 1/x² dx = [−ln(x)/x − 1/x]

Entre eⁿ et eⁿ⁺¹ : In = (n+1)/eⁿ − (n+2)/eⁿ⁺¹

b) An = ∫(eˣ + ln(x)/x²) dx = [eˣ] + In = eⁿ⁺¹ − eⁿ + In

Avec la relation de récurrence : An = In + e ✓

c) Aire entre x = 1 et x = e :

A₀ = I₀ + e avec I₀ = 1/e⁰ − 2/e¹ = 1 − 2/e

A₀ = 1 − 2/e + e ≈ 1 − 0,74 + 2,71 = 2,97

Aire = A₀ × 2 cm × 1 cm = ≈ 5,94 cm²