Mathématiques Série D : Session 2006

EXERCICE I — Nombres Complexes (8 points)

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation :

\(z^2 – (1 + i)z + 2 + 2i = 0\)

2. Dans le plan complexe \((P)\) muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) avec unité 1 cm, on donne les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives :

\(Z_A = -1 + i\)   ;   \(Z_B = 1 – i\)   ;   \(Z_C = 2i\)   ;   \(Z_D = 4 + 6i\)

1. Placer les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
2. Écrire l’expression complexe de la similitude directe \(S\) telle que \(S(D) = A\) et \(S(C) = B\).
3. Donner les éléments caractéristiques de la similitude \(S\).

3. À tout point \(M\) d’affixe \(z\) \((M \neq D)\), on associe le point \(M_1\) d’affixe \(Z_1\) tel que :

\(Z_1 = \dfrac{2z – 4i}{z – 4 – 6i}\)

1. Montrer que \(|OM_1| = \dfrac{2|CM|}{|DM|}\)
2. Déterminer et représenter graphiquement les ensembles \((\Gamma)\) et \((\Gamma’)\) tels que :
   • \((\Gamma)\) est l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|Z_1| = 2\)
   • \((\Gamma’)\) est l’image de \((\Gamma)\) par la similitude \(S\)

EXERCICE II — Probabilités (6 points)

Une urne contient 2 boules rouges et 4 boules vertes. Les boules rouges portent respectivement les numéros 0 et 1 ; les boules vertes portent respectivement les numéros 2, 3, 4 et 5.

L’épreuve \((E)\) consiste à tirer simultanément 3 boules de l’urne ; on appelle « succès » l’obtention de 3 boules de même couleur.

1. On effectue une fois l’épreuve (E). Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

• \(A\) : « avoir un succès »
• \(B\) : « avoir 3 boules dont la somme des numéros est égale à 6 »

2. À chaque épreuve \((E)\), on désigne par \(X\) la variable aléatoire réelle qui prend comme valeur le plus grand des numéros portés sur les 3 boules tirées.

1. Donner l’univers-image de \(X\).
2. Donner la loi de probabilité de \(X\).

3. On répète \(n\) fois de suite, de manière indépendante, l’épreuve \((E)\). On note \(A_n\) l’événement : « Obtenir au moins un succès lors des \(n\) épreuves \((E)\) ».

1. Calculer la probabilité \(P_n\) de l’événement \(A_n\).
2. Déterminer le nombre minimum d’épreuves \((E)\) qu’on doit effectuer pour que \(P_n > 0{,}99\).

On donne : \(\ln\left(\dfrac{5}{4}\right) \approx 0{,}22\) et \(\ln(10) \approx 2{,}30\)

PROBLÈME — Étude de fonction (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left]0,\,+\infty\right[\) par :

\(f(x) = \dfrac{e}{x} + \dfrac{\ln(x)}{x^2}\)

où \(e\) désigne le nombre réel base des logarithmes népériens.

On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal direct \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) tel que \(\|\vec{\imath}\| = 2\) cm et \(\|\vec{\jmath}\| = 1\) cm.

1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\left]0,\,+\infty\right[\) par : \(g(x) = -2\ln(x) – xe + 1\)

1. Donner le sens de variation de \(g\).
2. Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(\left]\dfrac{1}{2},\,1\right[\).
3. En déduire que pour tout \(x \in \left]0,\,\alpha\right[\), \(g(x) > 0\) et pour tout \(x \in \left]\alpha,\,+\infty\right[\), \(g(x) < 0\).
4. Montrer que \(f(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha e}{2\alpha^2}\)

2.

1. Calculer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
2. Calculer la dérivée \(f'(x)\) et vérifier que pour tout \(x \in \left]0,\,+\infty\right[\), \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\).
3. Dresser le tableau de variation de \(f\).

3. Tracer la courbe \((C)\) en précisant les branches infinies.

On prendra : \(\ln(2) \approx 0{,}69\) ; \(e \approx 2{,}71\) ; \(\alpha \approx 0{,}67\) et \(f(\alpha) \approx 3{,}16\)

4. Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose :

\(I_n = \displaystyle\int_{e^n}^{e^{n+1}} \dfrac{\ln(x)}{x^2}\,dx\)     et     \(A_n = \displaystyle\int_{e^n}^{e^{n+1}} f(x)\,dx\)

1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \(I_n = \dfrac{n+1}{e^n} – \dfrac{n+2}{e^{n+1}}\)
2. Montrer que \(A_n = I_n + e\).
3. Calculer en cm² l’aire du domaine plan compris entre la courbe \((C)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 1\) et \(x = e\).