Établissement, mention, année universitaire, semestre et durée : non indiqués sur le sujet. Consigne imprimée : document interdit.
MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES
Soit \(f(x)\) la fraction rationnelle définie par :
\[ f(x) = \dfrac{-x^3 - 5x^2 + 3x + 30}{x^2 + 7x + 12} = \dfrac{N(x)}{D(x)} \]
1) Résoudre l’équation \(D(x) = 0\).
2) En déduire la factorisation de \(D(x)\).
3) Mettre \(f(x)\) sous la forme suivante :
\[ F(x) = x + b + \dfrac{ax + b}{D(x)} \]
Où a et B, a et b sont des constantes réelles à déterminer, en faisant la division euclidienne suivant les puissances décroissantes de \(N(x)\) par \(D(x)\).
[forme incohérente dans la source : la lettre b y sert deux fois et le coefficient de \(x\) n’est pas laissé libre ; d’après la liste de quatre constantes, lire \(f(x) = Ax + B + \frac{ax + b}{D(x)}\)]
4) Décomposer \(f(x)\) en éléments simples.
5) En déduire \(\displaystyle\int f(x)\,dx\) ; les primitives de \(f(x)\).
6) Calculer le développement limité de \(g(x)\) au voisinage de \(0\) à l’ordre 2, où :
\[ g(x) = \dfrac{12\,[\ln(1+x)]}{D(x)} \]
On considère une suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[ \begin{cases} u_0 = 4 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\,u_n + 2 \end{cases} \]
et on pose \(v_n = u_n - 3\) pour tout entier naturel \(n\). [la source imprime « \(u_n = u_n - 3\) » ; il s’agit de \(v_n\), suite étudiée dans les questions]
1) a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on déterminera la raison \(q\) et le premier terme \(v_0\).
b) Exprimer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) En déduire les limites de \(v_n\) et \(u_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
d) Pour tout entier naturel \(n\), on pose : [donnée manquante dans la source : les définitions de \(S_n\) et de \(T_n\) ne sont pas imprimées]
Exprimer \(S_n\) et \(T_n\) en fonction de \(n\) et en déduire les limites de \(S_n\) et \(T_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
2) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(w_n = \ln(v_n)\).
a) Montrer que \((w_n)\) est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.
b) Exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).
Soit le système d’équations linéaires :
\[ (S)\;:\;\begin{cases} 5x + y + z + t = 8 \\ x + 5y + z + t = 20 \\ x + y + 5z + t = 12 \\ x + y + z + 5t = -8 \end{cases} \]
1. Écrire (S) sous forme d’équation matricielle \(A \cdot X = Y\), où \(A\) est une matrice carrée d’ordre 4, \(X\) et \(Y\) des matrices unicolonnes.
2. Soit \(B = (A - 4I_4)\), où \(I_4\) est une matrice unitaire d’ordre 4. Exprimer \(B^2\) en fonction de \(B\).
3. En déduire une relation de la forme \(A^2 + \alpha A + \mu I_4 = 0_4\), où \(0_4\) est la matrice nulle d’ordre 4, \(\alpha\) et \(\mu\) deux réels à déterminer.
4. En déduire que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
5. En déduire la solution de (S).
6. Retrouver cette solution de (S) par une autre méthode.