Page 1
SESSION 2003
CORRIGE
EXERCICE 1Roue divisée en 12 secteurs identiques dont 3R -4B – 4V _ IN Chaque secteur a Ja même probabilité dêtre pointé par Tinclex. 1 – Setra tourne la rOUe vne fois A : < Findex pointe sur un secteur noir P(A)=1 B : & Findex roinie sur un rouge ou blanc > P(B) =2 12 12 12 2- Pour une Varie Poinz Couleur pointée Probebilité marqué II- ]- Dans 2/z {0,1,2,5,4,5} on a 2- Daprès la question (nl 0 : pour tout x € {i,4,a,4}x2 == * Montrons alors que pour tout x € {0,4,3,4} et pour tout p € N*, On a (P = % Raisonons par récurrence Initiolisation Four p = 1, *l = x.La propriéte est vraie PJur [ = | _ Hérédité Soit p € :*, supposons que x" =X (l mnontrons quC xp-1 Par hypothèse on ëP x donc xp+l = *.&= x? = | Conclusion Pour tout X € {6,1,3,4 ct pour tout p €8+, 0n & x" =X 3- On sait d'apres la question 2- quc 03 j3 = | = 4 Par ailleurs 2' =8 = 2c $) = 5.8? = 5.[ =5 Conclusion Fou tout < € 962:* =* 4-Soit n € N et r Je reste <e la dlivision euclidienne de n pur 6. On a n = (6) done n' =r) (6) Or 71 (6) &aprs la quest: On1 3 – donc 1 ' 2[ De "} = ( Cl n =: T (6 0n déduit n3 _n = () (6) est à -dire : 21l est divisibsle par 6. 10
7 4 4
Naivo joue rois Forties successives d'une manière incépendarte . ( Naivo torlis: 25 Foints s'obtient par Le joueur marcce (10 points à la 1 = pzrie 10 points à la 2' partie points 1a 3=* parie) parze coints à Ia ci2 Dl (10 [points à ]z pantie 10 poinis à la 3=2 parie) Wll (5 points À l D2rie 10 points à Ja 2ém partie _ 10 points à la 3 2 partie) 1 P(c)=3*12 12 12 192 D : < Naivo totalise a0 moins – points PROBLEME s 'obtient < Naivo totalise 21 poins ou 25 points 0. 30 Partic _ points Or Naivo totalise 21 points 5 coulent Par (10 points à la points 9 l2 2 Paue Point à la cine partie 10 partie) 0U (10 points à la parzie point 4l2 ~ I partie 10 points à la 3 eme pantie) ou (1 point = à la 1* partie _ 10 points , àl1 Ze partie 10 points à la 3ec panzie) et ( Naivo totalise 30 poins ? 8 obteni par (10 points partie 10 points = à la 2 2- Parie [o ponnis à la 3éme partie) D'où 22 11 P(D) =3x4x4 12 12 12 192 12 12 12 1728 864 MATHEMATIQUE; TC SuccEs BACC >
Page 2
SESSION 2003
1 1-a) Comune est une rotation dangle = [2n] ,
est le cercle de centre G et ce rayon Jzpc Voir letracé de (#)sur la jigure précedente Remarque Comme ID = v5 IC, on a D? = 3 IC2 soit ID? ~3lc2 = 0 et donc Ie (#) II: 1- zA 20 ; 2 =1;z0 =; AC= AB+AD donc z = 23 +21) = |+i Za+- 1 r' =tor est une rotation dangle b) Puisque ABCD est un carré direct; on a r'(A)= ((A))=#(A) = B "'(B)= (r(B)) = (D)=c c) Le centre de est ]'interscctiori des nédiatrices de [AB] e [BC] c'est-à-dire le centre du carré ABCD 2- On note J = ro h Puisque r est une rotation de centre J et wangle 2 elle est une similitude directe de centre J, dangle 2 de rapport 1. De même, est une similitude directe de centre de rapport v5 et dangle 0 Il en résulte que f = r' h est une similitude directe dangle et de rapport v5. b) Soit Ile centre de là similitude directe f f(C) =r'(h(C)) =r'(c) = (r(c)) = D: On en déduit que '(im)-5 et ID = v; 1€. c) Le triangle (ICD) étant rectangle en [ on a tan ID '(cD,ci) JIc = 5 =tan IC IC On en déduit (co,ci)-5 [1] Construction du pointL (ZD,ci) [~] Le 'point = 'appartient à la croite image de la droite( CD)par Ja rotation de centre Zptzc i -1 + zK
2-a) Expressesion complexe de $ 2'=02+6 où a,bec [s(A)-J Ya:a +b =2) équivaut à [s(c)-K 0 :: " b = Z6 6 = 2 donc (I+i)a-b=
par suite
7-4(+i)
'=4(1+1)2+ b) Eléments géométriques de S Z+i) Centre €2 Zo 2 4 1 -4(1 (3-i) v2 Rapport k : k = 4+ = et dangle Angle 0 : 0 = 'a(4(-)-7 [2z] (7,1)-2 [2] : Le point appartient au cercle E-de S est la similitude plane dire-te de centre 79 2 444} diamètre [cD] [est le point dintersection de A et T. Voir le point de rapport k el s'angle 0 sur la figure précédente. Partic B (8) ={MeP'MD? -SMC? = 0 1- RE est la rotation de centre E ci dangle 0 ; RF' Soit G le barycentre du système {(1,1):(c,-3)} rotation de cenre F ct dangle = 0. Cormme 0 _0 = 0, il en résulte que RE ` RF EsI UC translation, Oll ? GD-3GC= 0 soit DG DC Ol CG DC 2- On note H = Rr(E), P =Rp (G) Q= RE (G) . Me(8) équivaut à ~2MG? +GD? _ 3GC2 =0 Q =RE (G) = RE (R}(P)) = Re v R; (P) ~2MG? +9Dc?_ZDc? =0 E =RE (E) = RE -R?' (II) v3 Comme Ru "Rj' s: une translatioon; e/1 résulte que MG- DC? soit MG = DC EF = Qp et donc EHPQ est un parallelogramme. 58
SUCCES < BACC
MATHEMATIGUES TC
Page 3
SESSION 2003
PROBLEME 2 Partic 4. 1- On pose g(x) = Tableav de variation d2 f
In x.
a) La fonction g est définie sur ]o;+œ[ lim g(x) = ~o lim g(x) =-0 x-0- 1444-00 La fonction g est dérivable sur ] ;+œ[ et 8 '(x) = ! 1> 0 La fonction g est striclement crvissante suli Jo;+c[ . Tableau de variation de g + 3- De g(a)
lin G = 0 on déduit In ( =
Iu @ Par suite f (a)
ae"
+8
Comnic
< ( < 2, On a 22 <et <e2 et donc g(x)
3 e2 acl <2c? 2
b) La fonction g est continue (car dérivable) et strictement Par conséquent soit
{e{
croissante sur
<f(a)<2-
Par ailleurs g 2 2+In 2~0,26 < { g(2) = 2+ In 2 = 0,19 > 0. Remarque 0,07 D'après le corollaire du théorème des valeus intermediaires F'équation g(x) = 0 admet une solution unique @ telle 4-Tracé de la courbe (C) 50.15
que <a < 2.
Signe de g(x ) D? g strictement croissante sur J;+c [ g(x) = ( on: déduit : PoUt X < C, On & g(x) <g(a) soit g(x) < 0 Pour X > %, on 2 g(x) > g(a) soit g (x) > 0 On sait que g(a)= 20 In X 2-Soit fla fonction détinie par f (x) = est définie sur Jo;+z [ lim f(x) = -2 X-+0+ lim f(x) = lim Ix Ox0 = 0 X-+0 X >+D fest dérivablë sur ]o;+œ[ et 'eX _eX Jn x 1_In x Inx -g(x f '(x) = (ex ) f '(x) et -g(x) sont de mnêmne signe car =* > 0 MATHEMATIQUES TC SUCCES BACC > 55
Page 4
SESSION 2003
5-On pose G (x) = f (t)dt , pour tout x > 0. 3- Comme la fonction h est cérivable sur 2 et qu'il On peut écrire G(x) = f(t)dt
f(t)dt
existe un réel k = Jo; [ :que Vx € 2 | /h'(x)] < k O1 a daprès le théoreme des inégalités des accroissements finis pour tout x, y [2 2 , Ja(*)-h()|sk x-y 4- Or definit la suite (Un )parUo = 2 Un+1 = h(Un ) G(x) = J f(t)dt f (t)dt La fonction x +~ F(x) = J {(t)dt est dérivabie suir [0;+œ[ et F'=f. La fonction x+ R(x)=x2 est dérivable sur [o;+œ[ F(x)=2x La fonction x + Fz (x) = 2x est dérivable sur [0;+c[ F2 (x ) = 2 Il en résulte que la fonction G = FoFi FoF2 est dérivable su [ 0;+œ [et G'(x)=F(*)F'(F (x))-F(x)F'(F;(x)) G'(x) =2xf(x2 )-2f (2x) 'In x2 In2x G '(x) = 2x 2x Partic B On pose pour tout x > 0 h(x) =ef a) Montrons par récurrence que V n € N, < Un < 2 Initialisation Pour n = 0, Uo = 2 et on a bien < Uo
2, La propriété est vraie pour n Hérédité Soit n € N; supposons que < Un < 2 et montrons €ue
Un+!
D'après [hypothèse OF 2
Un
2 donc
par suile
c'est-à-dire
<Un+l <€3
g(x) = 0 équivaut à
4Inx = 0
03 =1,94< 2, donc 3 < Un+l < 2 Or €2 =1,6 2
équivaut à Inx = équivaut à X =e* Conclusion Pour tout n & N On 2 s Un < 2 équivaut à h(x) = b) Comme & F Pour lout " €|. Un 4[22 . 2- . ] '(x) = ex Otl a daprès la question 3- précétente, Pour 3<x<2, on a <1<2 Jh(Un)-h(c)/<kfun c'est-à-dire |un+ ~u|sk|un – 0 donc <eX <e c) Montrons par récurrence {ue pour tout n € N. ~u|<k"|v ~a/ De <4< on1 a aussi Initialisution Powr " = 0, OJ7 a Ju, -us|uo ~a 4 donc soit |uo ~a/sk"/o ~u/cark " =1 De iJer (2) , on déduit La 'propriété esl vraie pour n = 0. 2 Hérédlite Soit n € N, supposons que Un ~a|sg" /o ~4 soit <h'(x)< = et montrons que Un +1 <kn+ 'uo -a| 4 2 Soitn € N, on a | Un+1 sklun daprès la On er déduit que @'(x) e3 Et comme 0.87, question h) Or par hypothese de récurrence | Un <k" |Uo – 0 ilexiste donc k 6jo; [, k = tc] que donc U,+1 -0|sklva -u|<k.k" /Yo ~0| pour tout x € 2,2 J (x)sk soit encore Un+1 ~u|<k"+1/uo -a| Conclusion Pour tout n sNun -|<k" |Uo ~à| 60
SUCCES < BACC > * MATHEMATIQUES TC
Page 5
SESSION 2003
De ce qui précède et comme Jim (k"u; ~al) = 0, 4"~f"+3o'-3f'26-2f =0 11- ) +o 9"+30'20-(f"+3f'+2f) = 0 on a daprès le théorème des gendarmes lim JUn ~c = 0 14+0) X = ] cest-à-dire lim Un =0 4"+30'20=f"+3f'2f n-4 Paxtie C en résulte que < = 4 f est solution de Yéquation (E) On considère léquation différentielle (E) L'équation caractéristique dc (E') est 12 +3r+2 – 0. y"-3y'+2y Cettc équation ahmnet ceux solutions réelles -2c -1 Les fonctions 6 solutions de(E')sonc de la fome Inx g(2 XH Cje 2x 1-f(x)= nx; f (x)= +Cze où C =k et C2 € R Daprés les résultats pvécédents; on en déduit que les '"(x) =g'l)e* -gl fonctions ( solutions de léquation (E)sont de la forme ~2* ~X In x w(x) =6(x)+f(x) = (1e +(e _-Ix 0u C1 e K et C2 € " +hx 2_Inx 000000g0900000 On a : f"(x)+32'(x)+22(x)
2"x
+hx
3ln x + 2In %
f"(x)-3f'(x)+2f (x) La fonction f est bien uce sohzion de léquation (E) 2-Soit € une fonction deux fois cérivables sur Jo;+[ Si p est une solution de léquarian (E .eors X =1 +30'+29 =
Or, daprès la question ] – Ona X -] F"+3f'+2f – (2)
De ('Jet (2), on déduit que o"~?"-3o-3f+Zp-2f=0 QU encore (p-f)"+3(0-f)'+2 (0-f)=o cest-à-dire a fonction 0 = @-f est solrion de [équation différentielle (E'): y"-3y'+2y =0 Réciproquement; si la fonction / = @ = f esi ure solution de ['équation différentielle (E'):y"+Sy'+2y = 0, alors (æ-f)"'-3(0-f)'+2(-f) =0 MATHEMATIQUES T'C SUcCES BACC "