MESUPRES
Secrétariat Général — Direction Générale de l’Enseignement Supérieur — Direction de l’Enseignement Supérieur — Service du Baccalauréat
Session 2025 — Série Scientifique — Option S
| Épreuve : MATHÉMATIQUES |
Énoncé retranscrit d’après une copie tapée du sujet : la mise en page et le barème officiels peuvent différer.
Partie A :
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre 3 définies par :
\[\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}\] et \[\begin{aligned} B &= \begin{pmatrix} -3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]
1. a) Calculer \(A \times B\) et \(B \times A\).
b) Que peut-on en conclure pour les deux matrices A et B ?
2. On considère le système (S) :
\[\left\{\begin{array}{l} y - z = -3 \\ x + 3z = 17 \\ x + y + z = 22 \end{array}\right.\]
a) Écrire ce système sous forme matricielle : AX = Y.
b) Déterminer la matrice X.
Partie B :
1. Déterminer le reste de la division de \(7 \times 3^{359}\) par 11.
2. a) Donner une solution particulière de l’équation : \(23x - 17y = 1\).
b) En déduire la résolution dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) de l’équation : \(23x - 17y = 2\).
Dans l’espace muni du repère orthonormé directe \(\left(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)\)
1. Écrire une équation paramétrique de la droite (D) passant par le point \(A(2\,;\,-1\,;\,3)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).
2. Soit (D’) la droite d’équation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l} x = 4t + 1 \\ y = 5t - 8 \\ z = -2t + 6 \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}\]
a) Montrer que (D) et (D’) sont orthogonaux.
b) Déterminer les coordonnées du point I intersection de (D) et (D’).
c) Écrire une équation cartésienne du plan \((\mathcal{P})\) contenant les deux droites (D) et (D’).
Le plan \((\mathcal{P})\) étant orienté. On considère un carré direct ABCD de centre O tel que AB = 4 cm. I étant le point définie par \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). Soit J un point tel que AJO est un triangle rectangle en A avec \(\left(\overrightarrow{AJ}\,;\,\overrightarrow{AO}\right) = \dfrac{\pi}{2}\) et \(AJ = 4\sqrt{2}\) cm.
On note par :
\(r\) : la rotation de centre O et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\)
\(h\) : l’homothétie de centre I et de rapport \(-2\)
On pose \(S = h \circ r\).
Partie A :
1. Faire une figure et construire I et J.
2. a) Déterminer et construire le point \(G = \text{Bar}\left\{(J\,;\,1)\,;\,(O\,;\,-4)\right\}\).
b) Déterminer et construire l’ensemble \((\Gamma)\) \(= \left\{M \in (\mathcal{P}) \,/\, MJ^2 - 4MO^2 = 0\right\}\).
3. Déterminer et construire l’ensemble
\[(C) = \left\{M \in (\mathcal{P}) \,/\, \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{MJ} = 0\right\}.\]
4. a) Déterminer le rapport et un angle de S.
b) Calculer S(A). Conclure.
c) Montrer que le point A est un point d’intersection de \((C)\) et \((\Gamma)\).
Partie B :
Le plan \((\mathcal{P})\) est maintenant muni d’un repère orthonormé direct \(\left(A\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v}\right)\) tel que \(\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
1. Déterminer l’affixe des points O, I, J et G.
2. a) Déterminer l’expression complexe de r et h.
b) En déduire l’expression complexe, la nature et les éléments caractéristiques de S.
3. Montrer que le point A est un point d’intersection de \((C)\) et \((\Gamma)\).
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = \left\{\begin{array}{ll} (x + 1)e^{-x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x(1 - \ln x) & \text{si } x > 0 \end{array}\right.\]
Notons par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(\left(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\right)\) d’unité 1 cm.
Partie I
1. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 0\).
2. a) Étudier les variations de \(f\) sur \(]{-\infty}\,;\,0]\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\).
b) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(]{-\infty}\,;\,+\infty[\).
3. Étudier les branches infinies de (C).
4. Construire la courbe (C) en précisant la tangente ou les demi-tangentes au point d’abscisse \(x_0 = 0\).
Partie II
Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*} : U_n = \frac{1}{n!}\int_{-1}^{0} (x + 1)^n e^{-x}\,dx\]
1. a) Calculer \(U_1\).
b) Interpréter géométriquement ce résultat.
2. a) En utilisant un encadrement de \(e^{-x}\) sur l’intervalle \([-1\,;\,0]\), donner un encadrement de \(U_n\).
b) En déduire \(\lim\limits_{n \to +\infty} U_n\).
3. En utilisant une intégration par parties, vérifier que \(\forall n \in \mathbb{N}^{*} : U_{n+1} = U_n - \dfrac{1}{(n + 1)!}\).
4. Montrer que
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*} : \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = e\]