MESUPRES
Secrétariat Général — Direction Générale de l’Enseignement Supérieur — Direction de l’Enseignement Supérieur — Service du Baccalauréat
Session 2024 — Série Scientifique — Option S
| Épreuve : MATHÉMATIQUES |
Énoncé retranscrit d’après une copie tapée du sujet : la mise en page et le barème officiels peuvent différer.
I.
1. Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) le système :
\[\left\{\begin{array}{l} \text{pgcd}(x\,;\,y) = 12 \\ x + y = 120 \end{array}\right.\]
2. Effectuer la division euclidienne de \(-31\) par 5.
3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) le système :
\[\left\{\begin{array}{l} \overline{2}x + \overline{3}y = \overline{2} \\ \overline{3}x - y = \overline{0} \end{array}\right.\]
II. Soient A et B deux matrices définies par :
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\] et \[B = \begin{pmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{pmatrix}\]
1. a) Calculer \(2A - A^2\).
b) En déduire alors la matrice \(A^{-1}\) inverse de A.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n \geq 2\), \(B^n = 9^{n-1}B\).
On considère les points \(A(1\,;\,-1\,;\,1)\), \(B(-2\,;\,1\,;\,-1)\) et \(C(3\,;\,2\,;\,2)\)
1. a) Calculer \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).
b) En déduire l’équation cartésienne du plan (ABC)
2. On considère la sphère (S) d’équation cartésienne :
\[x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 4y - 2z + 8 = 0\]
Déterminer le centre I et le rayon R de (S).
3. On considère la droite \((\Delta)\) qui passe par le point \(I(2\,;\,-2\,;\,1)\) centre de sphère (S) et perpendiculaire au plan (ABC).
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
b) Déterminer les coordonnées de H point d’intersection de la droite \((\Delta)\) au plan (ABC).
Dans un plan orienté (P), on considère un triangle équilatéral direct ABC de côté 4 cm.
On note par :
PARTIE A :
1. Soit G le barycentre du système \(\{(A, 2)\,;\,(B, 1)\,;\,(C, 1)\}\).
a) Vérifier que G est le milieu du segment [AI].
b) Déterminer et construire l’ensemble (C) des points M du plan tels que :
\[2\left\|\overrightarrow{MA}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{MB}\right\|^2 + \left\|\overrightarrow{MC}\right\|^2 = 32\]
2. a) Quelle est la nature de la transformation f ?
b) Donner les éléments caractéristiques de f en décomposant \(r_B\) et \(r_C\) en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies. On note par O le centre de f.
3. Soit la transformation \(g = f \circ S_{(AI)}\) où \(S_{(AI)}\) est une réflexion d’axe (AI).
Caractériser la transformation g, en décomposant f en deux réflexions bien choisies.
4. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S puis construire son centre \(\Omega\).
PARTIE B :
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé \(\left(B\,;\,\vec{e}_1\,;\,\vec{e}_2\right)\) avec \(\vec{e}_1 = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\). Dans ce repère, on donne le point \(A\left(2\,;\,2\sqrt{3}\right)\).
1. Donner les affixes des points B et C.
2. a) Donner les expressions complexes de \(r_B\), \(r_C\) et \(S_{(AI)}\).
b) Donner alors les éléments caractéristiques de f et g.
3. a) En utilisant les hypothèses S(A) = I et S(I) = C, déterminer les expressions complexes de S.
b) Retrouver alors les éléments caractéristiques de S.
On considère la fonction f définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\[f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{3}x^3 - \ln x - \frac{1}{3} & \text{si } x \in \,]0\,;\,1[ \\ (3x - 3)e^{-x} & \text{si } x \geq 1 \end{array}\right.\]
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \(\left(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\right)\) unité 4 cm.
Partie A
1. Montrer que f est continue en \(x_0 = 1\).
2. a) Étudier la dérivabilité de f en \(x_0 = 1\).
b) Interpréter graphiquement les résultats.
3. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
4. a) Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x \in \,]0\,;\,1[\) puis étudier son signe.
b) Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x > 1\) puis étudier son signe.
c) Dresser le tableau de variation de f.
5. Tracer la courbe (C) en précisant les demi-tangentes en \(x_0 = 0\).
6. \(\lambda\) est un nombre réel strictement positif. On pose \(I(\lambda) = \displaystyle\int_{\lambda}^{1} f(t)\,dt\)
a) À l’aide d’une intégration par partie, calculer \(I(\lambda)\) en fonction de \(\lambda\).
b) Déterminer \(\lim\limits_{\lambda \to 0} I(\lambda)\).
Partie B
1. n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier tel que \(1 \leq k \leq n - 1\).
a) Démontrer qu’en utilisant la variation de f sur l’intervalle \(\left[\dfrac{k}{n}\,;\,\dfrac{k + 1}{n}\right]\), on a
\[\begin{aligned} \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k + 1}{n}\right) &\leq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k + 1}{n}} f(t)\,dt \\ &\leq \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right) \end{aligned}\]
b) En déduire que
\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{n}\left[f\left(\dfrac{2}{n}\right) + f\left(\dfrac{3}{n}\right) + \cdots\right. \\ &\qquad \left. + f\left(\dfrac{n}{n}\right)\right] \\ &\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1} f(t)\,dt \\ &\leq \dfrac{1}{n}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right) + f\left(\dfrac{2}{n}\right) + \cdots\right. \\ &\qquad \left. + f\left(\dfrac{n - 1}{n}\right)\right] \end{aligned}\]
2. Pour \(n \geq 2\), on pose
\[\begin{aligned} S_n &= \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\dfrac{k}{n}\right) \\ &= \dfrac{1}{n}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right) + f\left(\dfrac{2}{n}\right) + \cdots\right. \\ &\qquad \left. + f\left(\dfrac{n}{n}\right)\right] \end{aligned}\]
a) Déduire de la question 1. b) que :
\[I\left(\dfrac{1}{n}\right) \leq S_n \leq I\left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{1}{n}\right)\]
b) Démontre alors que \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{3}{4}\).