Mathématiques BAC Série S 2022 Madagascar : sujet et corrigé

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N.B. :
– L’utilisation d’une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée
– Les deux exercices et les deux problèmes sont obligatoires

EXERCICE 01 (03 points)

I-ARITHMETIQUE :

1- Montrer que pour tout entier naturel n : \(9^{3n+1} + 4^{6n+1}\) est divisible par 13 (0,5pt)

2- Résoudre dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) l’équation \(x^2 + \overline{3}x = \overline{4}\) (0,5pt)

3- Soit (E) l’équation dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) définie par \(37x - 43y = 1\)
En utilisant l’algorithme d’Euclide relatif aux deux nombres 37 et 43, trouver une solution particulière de (E) puis résoudre l’équation (E). (0,5pt)

II- CALCUL MATRICIEL :

On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\]

1- Calculer \(A^2\) et \(A^3\) (0,25 pt × 2)

2- Vérifier que \(4A + A^2 - A^3 = 4I_3\) où \(I_3\) est la matrice identité d’ordre 3 (0,5 pt)

3- En déduire que A est inversible et donner son inverse \(A^{-1}\) (0,25 pt × 2)

EXERCICE 02 (02 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\). On donne les points \(A(2\,;\,3\,;\,1)\) ; \(B(-1\,;\,1\,;\,1)\) ; \(C(-3\,;\,1\,;\,0)\) et \(D(4\,;\,-1\,;\,3)\).

1- Calculer \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\). (0,5 pt)

2- Ecrire une équation cartésienne du plan (ABC) (0,5 pt)

3- Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)\) et passant par le point D (0,5 pt)

4- Montrer que le plan (ABC) et la droite \((\Delta)\) sont parallèles. (0,5 pt)

PROBLÈME 1 (07 points)

Dans le plan orienté \((\mathcal{P})\), on considère un carré direct ABCD tel que AB = 4cm
Soit (d) la médiatrice du segment [AB].

On note par :

\(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\).
\(t_1\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{DC}\).
\(t_2\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\).
\(s_{(AD)}\) la symétrie orthogonale d’axe (AD)
\(f = t \circ s_{(AD)}\)

S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme C en B.

PARTIE A :

1- a) Prouver que le point C est le barycentre du système \(\{(A\,;\,-1)\,;\,(B\,;\,1)\,;\,(D\,;\,1)\}\). (0,5 pt)

b) Déterminer et construire l’ensemble \((\Gamma)\) des points M du plan \((\mathcal{P})\) vérifiant (0,75 pt)

\[\left\|-\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\right\| = \left\|-2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\right\|\]

2- Justifier que \(t = t_1 \circ t_2\) (0,5 pt)

3- Décomposer \(t_1\) en deux symétries orthogonales dont l’un des axes est la droite (AD). (1pt)

4- En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser la nature et les éléments caractéristiques de \(f\) (1pt)

5- Déterminer le rapport et l’angle de S (0,5)

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right)\)

1-a) Ecrire les expressions complexes de \(t\) et \(s_{(AD)}\) (0,5 pt)

b) En déduire l’expression complexe de \(f\) (0,5 pt)

c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(f\) à l’aide de son expression complexe. (0,75 pt)

2- a) En utilisant les hypothèses S(A) = A et S(C) = B, déterminer l’expression complexe de S. (0,5 pt)

b) Retrouver le rapport et l’angle de S à l’aide de son expression complexe. (0,5 pt)

PROBLÈME 2 (08 points)

Les deux parties A et B sont indépendantes

PARTIE A :

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par

\(f(0) = -2\)
\(f(x) = x - 2 + e^{-\frac{1}{x}}\) si \(x > 0\)

On note par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité 2cm.

1- Etudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0 = 0\) de la fonction \(f\) (0,5 pt)

2- a) Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x \in \,]0\,;\,+\infty[\) où \(f^{\prime}\) est la fonction dérivée de \(f\) (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \(f\) (1 pt)

3- Montrer que la droite \((\mathcal{D})\) d’équation \(y = x - 1\) est asymptote à \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)

4- Construire la courbe \((\mathcal{C})\) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse \(x_0 = 0\) (1,25 pt)

PARTIE B :

On considère la suite \((I_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par \(I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{(4x^2)^{n+1}}{1 - 4x^2}\,dx\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\)

1- Soit \(I = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{1}{1 - 4x^2}\,dx\)
En remarquant que \(\dfrac{1}{1 - 4x^2} = \dfrac{1}{2(1 + 2x)} + \dfrac{1}{2(1 - 2x)}\)
Calculer l’intégrale I. (0,5 pt)

2- Pour tout \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{1}{4}\right]\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose \(S_n(x) = 1 + 4x^2 + (4x^2)^2 + \cdots + (4x^2)^n\)
Vérifier que \(S_n(x) = \dfrac{1}{1 - 4x^2} - \dfrac{(4x^2)^{n+1}}{1 - 4x^2}\) (0,5 pt)

3- En intégrant \(S_n(x)\) sur l’intervalle \(\left[0\,;\,\dfrac{1}{4}\right]\), montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) (1 pt)

\[\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3 \times 4^2} + \dfrac{1}{5 \times 4^3} + \cdots + \dfrac{1}{(2n + 1) \times 4^{n+1}} = \dfrac{1}{4}\ln 3 - I_n\]

4- a) Démontrer que : pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : (1,5 pt)

\[\dfrac{1}{(n + 2) \times 4^{n+2}} \leq I_n \leq \dfrac{1}{3(n + 2) \times 4^{n+1}}\]

b) En déduire la limite de la suite \((I_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) (0,25 pt)

5- Calculer (0,25 pt)

\[\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3 \times 4^2} + \dfrac{1}{5 \times 4^3} + \cdots + \dfrac{1}{(2n + 1) \times 4^{n+1}}\right)\]