Mathématiques BAC Série L 2022 Madagascar : sujet et corrigé

N.B. :
– Les trois exercices et le problème sont obligatoires.
– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (04 points)

On considère la suite numérique \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :

\(U_0 = 1\)
\(U_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

1. Calculer \(U_1\) et \(U_2\) (0,25 × 2 pts)

2.

a) Montrer que \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\) (1 pt)

b) Calculer limn→+∞ \(U_n\) (0,75 pt)

c) Que peut-on en conclure ? (0,75 pt)

3. Exprimer la somme \(S_n = U_0 + U_1 + \dots + U_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

EXERCICE 2 (04 points)

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont 4 rouges, 3 vertes et 3 jaunes.

1. On tire au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a) Quel est le nombre de cas possible ? (0,75 pt)

b) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « avoir exactement 2 boules rouges » (0,5 pt)
B : « avoir une boule verte et 2 boules jaunes. » (0,75 pt)

2. On tire au hasard et successivement sans remise 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

C : « Obtenir dans l’ordre une boule rouge, une boule verte et une boule jaune » (1 pt)
D : « Obtenir une boule rouge et 2 boules vertes » (1 pt)

EXERCICE 3 (04 points)

Une société a fait les observations suivantes :
\(x_i\) : bénéfice en millions d’Ariary.
\(y_i\) : quantité de café collecté en tonnes.

1. Représenter le nuage des points \(M(x_i\,;\,y_i)\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) (1 pt)
Échelle : sur l’axe des abscisses, 1 cm représente 1 millions d’Ariary de bénéfice ; sur l’axe des ordonnées, 1 cm représente une tonne de café collecté.

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G (0,5 pt)

3. On partage le nuage de points en deux parties d’effectifs égaux. Soit \(G_1\) le point moyen du sous-nuage \(S_1 = \{M_1, M_2, M_3\}\) et \(G_2\) celui de \(S_2 = \{M_4, M_5, M_6\}\). Calculer les coordonnées de \(G_1\) et \(G_2\) (0,25 × 2 pt)

4. Écrire une équation de la droite \((G_1G_2)\) (1 pt)

5. En utilisant la droite \((G_1G_2)\), estimer la quantité de cafés collectés pour réaliser une bénéfice de 2 milliards d’Ariary (1 pt)

PROBLÈME (08 points)

Soit la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 3}\).

On note \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) de \(f\) (0,75 pt)

2.

a) Calculer limx→3⁻ \(f(x)\) et limx→3⁺ \(f(x)\) (0,25 pt × 2)

c) Donner une interprétation graphique de ces résultats (0,25 pt)

3.

a) Justifier que pour tout \(x \in D_f\), \(f(x)\) peut s’écrire : \(f(x) = x + 2 + \dfrac{4}{x - 3}\) (0,25 pt)

b) Calculer limx→−∞ \(f(x)\) et limx→+∞ \(f(x)\) (0,5 pt × 2)

c) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = x + 2\) est asymptote oblique à la courbe \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\) (0,75 pt)

4.

a) Vérifier que \(f^{\prime}(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2}\) pour tout \(x \in D_f\) où \(f^{\prime}\) est la dérivée de \(f\) (1 pt)

b) Résoudre l’équation : \(x^2 - 6x + 5 = 0\) (0,75 pt)

c) Dresser le tableau de variation de \(f\) (1 pt)

5. Tracer \((\mathcal{C})\), \((\Delta)\) et l’autre asymptote dans un même repère (1,75 pt)

Dans le sujet original, la question 2 passe directement de a) à c).