MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Générale de l’Enseignement Supérieur — Service du Baccalauréat
Session 2023 — Série Scientifique — Option D
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Durée : 3 heures 15 minutes | Code matière : 009 |
N.B. : Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. Les deux exercices et le problème sont obligatoires.
1. Soit le système \((\Sigma)\) défini par :
\((\Sigma)\) \(2iz – z’ = -3 + 3i\)
\((-1 + i)z + z’ = 1 + 3i\) où \(z, z’ \in \mathbb{C}\).
Résoudre \((\Sigma)\) dans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}\).
2. Soit le polynôme \(P\) à variable complexe \(z\) défini par \(P(z) = z^2 – 3(1 + i)z + 4i\).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\).
3. Dans le plan complexe \((\mathcal{P})\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\) d’unité 1 cm, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives :
\(z_A = 2\) ; \(z_B = 3 + i\) ; \(z_C = 2 + 2i\) et \(z_D = 1 + i\).
Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier votre réponse.
4. Soit \(S\) la similitude plane directe qui laisse invariant le point \(A\) et transforme \(B\) en \(C\).
a) Donner l’expression complexe de \(S\) puis déterminer ses éléments caractéristiques.
b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de \(f = S \circ S \circ S \circ S\) où \(\circ\) est la composition des applications.
c) Construire l’image \(A’B’C’D’\) du quadrilatère \(ABCD\) par \(f\).
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher, dont deux rouges numérotées 0 et 2, trois noires numérotées 0, 1 et 2 et cinq blanches numérotées 1, 2, 3, 4, 5. Chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
1. On tire au hasard et successivement sans remise trois boules du sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\(A\) « Obtenir trois boules dont la somme des numéros est égale à 6 »
\(B\) « Obtenir deux boules blanches, puis une boule noire »
\(C\) « Obtenir trois boules dont le produit des numéros est non nul »
2. On remet toutes les boules dans le sac, puis on tire au hasard et simultanément trois boules du sac.
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires restantes dans le sac.
a) Préciser l’univers-image de \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance mathématique et la variance de \(X\). (0,5 pt + 0,75 pt)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left]-1\,;\,+\infty\right[\) par : \(f(x) = e^{x} \ln(1 + x)\).
On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.
1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-1\,;\,+\infty\right[\) par :
\(g(x) = \ln(1 + x) + \dfrac{1}{1 + x}\)
Étudier les variations de \(g\) (pour la limite de \(g\) quand \(x\) tend vers \(-1\) à droite, poser \(X = 1 + x\)).
2. Vérifier que pour tout \(x > -1\), \(g(x) > 0\).
3.
a) Calculer \(\lim\limits_{x \to -1^{+}} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\). (0,25 pt + 0,25 pt)
b) Montrer que pour tout \(x > -1\), \(f'(x) = e^{x} g(x)\).
c) Dresser le tableau de variation de \(f\).
d) Étudier la branche infinie de \((\mathcal{C})\) au voisinage de \(+\infty\).
e) Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) en \(x_0 = 0\).
4.
a) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left]-1\,;\,+\infty\right[\) vers un intervalle \(J\) que l’on précisera.
b) Dresser le tableau de variation de \(f^{-1}\), la fonction réciproque de \(f\).
c) Calculer \(f(0)\) puis \((f^{-1})'(0)\). (0,25 pt + 0,5 pt)
5. Construire dans le même repère \((T)\), \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}’)\) où \((\mathcal{C}’)\) est la courbe représentative de \(f^{-1}\).
6. Soit \((I_n)\) une suite définie par :
\(I_n = \displaystyle\int_1^n (2 – e^{1-x})\,dx\), \(n \geq 1\)
Montrer que \((I_n)\) est la somme de deux suites \((U_n)\) et \((V_n)\) où \((U_n)\) est une suite arithmétique et \((V_n)\) une suite géométrique, en précisant les raisons et les premiers termes de ces suites.