MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Generale de l’Enseignement Superieur
Session 2023 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Machine a calculer scientifique non programmable autorisee. Les deux exercices et le probleme sont obligatoires.
1. Soit le systeme (E) defini par :
2z – z’ = -3 + 3i
(-1 + i)z + z’ = 1 + 3i
ou z, z’ ∈ C. Resoudre (E) dans C × C. (0,75 pt)
2. Soit le polynome P a variable complexe z defini par P(z) = z2 – 3(1 + i)z + 4i.
Resoudre dans C l’equation P(z) = 0. (0,75 pt)
3. Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonorme direct (O, u, v) d’unite 1cm, on considere les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = 2 ; zB = 3 + i ; zC = 2 + 2i et zD = 1 + i.
Quelle est la nature du quadrilatere ABCD ? Justifier votre reponse. (1 pt)
4. Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme B en C.
a) Donner l’expression complexe de S puis determiner ses elements caracteristiques. (0,75 pt)
b) Donner la nature et les elements caracteristiques de f = S ο S ο S ou ο est la composition des applications. (0,75 pt)
c) Construire l’image A’B’C’D’ du quadrilatere ABCD par f. (0,75 pt)
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher, dont deux rouges numerotees 0 et 2, trois noires numerotees 0, 1 et 2 et cinq blanches numerotees 1, 2, 3, 4, 5. Chaque boule a la meme probabilite d’etre tiree.
1. On tire au hasard et successivement sans remise trois boules du sac. Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
A : « Obtenir trois boules dont la somme des numeros est egale a 6 » (0,75 pt)
B : « Obtenir deux boules blanches, puis une boule noire » (0,75 pt)
C : « Obtenir trois boules, dont le produit des numeros est non nul » (0,75 pt)
2. On remet toutes les boules dans le sac, puis on tire au hasard et simultanement trois boules du sac.
Soit X la variable aleatoire egale au nombre de boules noires restantes dans le sac.
a) Preciser l’univers-image de X. (0,5 pt)
b) Determiner la loi de probabilite de X. (1 pt)
c) Calculer l’esperance mathematique et la variance de X. (0,5 pt + 0,75 pt)
On considere la fonction f definie sur ]-1, +∞[ par :
f(x) = ex ln(1 + x)
On note (C) sa courbe representative dans le plan muni d’un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1cm.
1. Soit g la fonction definie sur ]-1, +∞[ par :
g(x) = ln(1 + x) + 1/(1 + x)
Etudier les variations de g (pour la limite de g quand x tend vers -1 a droite, poser X = 1 + x). (2 pts)
2. Verifier que pour tout x > -1, g(x) > 0. (0,25 pt)
3.
a) Calculer limx→-1+ f(x) et limx→+∞ f(x). (0,25 pt + 0,25 pt)
b) Montrer que pour tout x > -1, f'(x) = ex g(x). (0,75 pt)
c) Dresser le tableau de variation de f. (0,5 pt)
d) Etudier la branche infinie de (C) au voisinage de +∞. (0,5 pt)
e) Determiner l’equation de la tangente (T) a (C) en x0 = 0. (0,5 pt)
4.
a) Montrer que f realise une bijection de ]-1, +∞[ vers un intervalle J que l’on precisera. (0,75 pt)
b) Dresser le tableau de variation de f-1, la fonction reciproque de f. (0,5 pt)
c) Calculer f(0) puis (f-1)'(0). (0,25 pt + 0,5 pt)
5. Construire dans le meme repere (T), (C) et (C’) ou (C’) est la courbe representative de f-1. (1,75 pt)
6. Soit (In) une suite definie par :
In = ∫0n (2 – e1-x) dx, n ≥ 1
Montrer que (In) est la somme de deux suites (Un) et (Vn) ou (Un) une suite arithmetique et (Vn) une suite geometrique en precisant les raisons et les premiers termes de ces suites. (1,25 pt)