Mathématiques BAC Série D 2022 Madagascar : sujet et corrigé

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N.B. :
– L’utilisation d’une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée.
– Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

EXERCICE 1 (05 points)

Soit P le polynôme à variable complexe z défini par :

\(P(z) = z^2 - iz - 1 + i\)

1) Résoudre dans \(\mathbb{C}\), l’équation \(P(z) = 0\) (0,75 pt)

2) Dans le plan complexe \((\mathcal{P})\) muni d’un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\) d’unité 1cm, on donne les points A, B, C d’affixes respectives \(z_A = 1\) ; \(z_B = -1 + i\) et \(z_C = 1 + 5i\)

a) Placer les points A,B,C (0,75 pt)

b) Montrer que ABC est un triangle rectangle en B (0,5 pt)

c) Déterminer et construire, dans \((\mathcal{P})\), l’ensemble \((\mathcal{D})\) des points M d’affixe z vérifiant \(\left|\dfrac{z - 1}{z + 1 - i}\right| = 1\) (1 pt)

3) Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point B et transforme A en C

a) Donner l’expression complexe et les éléments caractéristiques de S (1,25 pt)

b) Déterminer et construire, dans \((\mathcal{P})\), l’ensemble \((\Gamma)\) image de l’ensemble \((\mathcal{D})\) par S. (0,75 pt)

EXERCICE 2 (05 points)

On dispose d’une urne contenant six jetons indiscernables au toucher dont :
– Trois jetons numérotés 1
– Deux jetons numérotés 2
– Un jeton numéroté 3

et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1, 1, 2, 2, 2, 3

L’épreuve (E) consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l’urne et à lancer une fois le dé.

I- On effectue une épreuve. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

1. Calculer les probabilités des événements suivants :
A : « Le produit des trois numéros obtenus est égal à 4 » (0,75 pt)
B : « La somme des trois numéros obtenus est égale à 5 » (0,75 pt)

2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 obtenu lors d’une épreuve. Donner la loi de probabilité de X. (1,5 pt)

II- 1. Lors d’une épreuve, on appelle « succès » l’obtention de trois numéros impairs. Montrer que la probabilité d’avoir un succès est égale à \(\dfrac{1}{5}\). (0,75 pt)

2. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*} \setminus \{1\}\). On répète n fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve (E) :

a) Calculer la probabilité \(p_n\) de l’événement :
\(A_n\) : « Obtenir au moins un succès lors des n épreuves » (0,75 pt)

b) Déterminer le nombre minimum d’épreuves qu’on doit effectuer pour que \(p_n > 0{,}99\). (0,5 pt)

PROBLÈME (10 points)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \([-1\,;\,+\infty[\) par :

\(f(-1) = e\)
\(f(x) = (x + 1)\ln(x + 1) + e^{-x}\) si \(x > -1\)

On désigne par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) tels que \(\|\vec{\imath}\| = 2\,\text{cm}\) et \(\|\vec{\jmath}\| = 1\,\text{cm}\)

1-

a) Etudier la continuité à droite en \(x_0 = -1\) de la fonction \(f\) (0,5 pt)

b) Montrer que \(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \dfrac{f(x) - f(-1)}{x + 1} = -\infty\) (On peut poser \(X = x + 1\)) (0,75 pt)

2) Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-1\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = 1 + \ln(x + 1) - e^{-x}\)

a) Etudier la variation de \(g\) (0,75 pt)

b) Calculer \(g(0)\) et en déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\) (0,75 pt)

3-

a) Calculer \(f^{\prime}(x)\) où \(f^{\prime}\) est la fonction dérivée première de \(f\) (0,75 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \(f\) (1,25 pt)

4-

a) Etudier la branche infinie de \((\mathcal{C})\). (0,25 pt)

b) Construire \((\mathcal{C})\) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse \(x_0 = -1\) (1,75 pt)

5) A l’aide d’une intégration par partie, calculer, en cm², l’aire du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives \(x = 0\) et \(x = 2\) (1 pt)

6) Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par :

\(U_n = \displaystyle\int_{\frac{n}{2}}^{\frac{n+1}{2}} e^{-x}\,dx\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

a) Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

b) Montrer que \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (1,25 pt)