MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Generale de l’Enseignement Superieur
Session 2021 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Les deux exercices et le probleme sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee.
Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonorme direct (O, u, v), on considere les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 + i ; zB = 1 + 4i et zC = -1.
1. On pose U = (zC – zA)/(zB – zA)
Determiner le module et un argument de U ; en deduire la nature du triangle ABC. (1 pt)
2. Soit S la transformation definie par son expression analytique suivante :
z’ = -z + 2 + 5i
a) Donner l’expression complexe de S, en deduire sa nature et ses elements caracteristiques. (1 pt)
b) Construire dans un meme repere le triangle ABC et son image A’B’C’ par la transformation S. (0,75 pt)
3. Dans l’ensemble C des nombres complexes, on considere le polynome P defini par :
P(z) = z3 – (1 + 4i)z2 – (1 + i)z – 12
a) Calculer P(3i). (0,5 pt)
b) En deduire la resolution dans C de l’equation P(z) = 0. (1 pt)
c) Donner les solutions de P(z) = 0 sous forme trigonometrique. (0,75 pt)
On dispose de deux des cubiques A et B dont les faces de chaque de sont numerotees de 1 a 6. Le de A est normal, toutes ses faces ont la meme probabilite d’apparition.
Le de B est pipe tel que la probabilite d’avoir le numero 1 apres un lancer soit egale a 1/4 et les autres evenements ont la meme probabilite d’apparition.
1. Calculer la probabilite d’avoir un numero impair en lancant une fois :
– le de A (0,5 pt)
– le de B (0,5 pt)
2. On lance successivement et d’une maniere independante les deux des A et B. Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
E : « Obtenir deux numeros impairs egaux ou distincts » (0,5 pt)
F : « Obtenir deux numeros egaux » (0,5 pt)
3. On lance le de B trois fois de suite et d’une maniere independante. On considere la regle de jeu suivante :
Si le numero 1 est apparu, on gagne 3 points ; dans le cas contraire, on gagne 0 point.
Soit X la variable aleatoire egale au nombre de points obtenus lors des 3 lancers.
a) Donner l’univers image de X. (1 pt)
b) Calculer la probabilite de l’evenement {X ≥ 3}. (1 pt)
c) Determiner l’esperance mathematique de X. (1 pt)
Soit f la fonction numerique definie sur R par :
f(x) = (x2 – 1)ex + x + 1 si x ≤ 1
f(x) = x + ln x + (ln x)/x si x > 1
On designe par (C) la courbe representative dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1cm.
1.
a) Montrer que f est continue en x0 = 1. (0,5 pt)
b) Etudier la derivabilite de f en x0 = 1 (pour la limite a gauche en x0 = 1, on pourra poser X = x – 1). (1 pt)
c) Ecrire l’equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x0 = 1. (0,5 pt)
2.
a) Calculer f'(x) sur chacun des intervalles ]-∞, 1] et ]1, +∞[. (1 pt)
b) Dresser le tableau de variation de f sur son ensemble de definition. (1 pt)
3.
a) Montrer que la courbe (C) coupe l’axe des abscisses en un point unique α tel que : 0 < α < 1/2. (1 pt)
b) Etudier la branche infinie de (C) au voisinage de +∞ et montrer que la droite (D) d’equation y = x – 1 est une asymptote oblique a (C) au voisinage de +∞. (1 pt)
4. Tracer (T) et (C) dans le repere (O, i, j). (1,75 pt)
5. Calculer, en cm2, l’aire de la partie du plan limitee par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’equations respectives x = 1 et x = 3. (1 pt)
6.
a) Montrer que f est une bijection de R vers un intervalle J que l’on precisera. (0,5 pt)
b) Tracer la courbe (C’) representative de la fonction reciproque f-1 de f dans le meme repere que (C). (1 pt)