MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Générale de l’Enseignement Supérieur — Service d’Appui au Baccalauréat
Session 2021 — Série D
| Série : Scientifique | Option : D |
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Durée : 03 heures 15 minutes | Code matière : 009 |
N.B. : Les deux exercices et le problème sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.
Dans le plan complexe \((\mathcal{P})\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\) ; on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(z_A = 2 + i\) ; \(z_B = 1 + 4i\) et \(z_C = -1\).
1. On pose \(U = \dfrac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\).
Déterminer le module et un argument de \(U\) ; en déduire la nature du triangle \(ABC\).
2. Soit \(S\) la transformation définie par son expression analytique suivante :
\(x’ = 2y\)
\(y’ = -2x + 5\)
a) Donner l’expression complexe de \(S\), en déduire sa nature et ses éléments caractéristiques.
b) Construire dans un même repère le triangle \(ABC\) et son image \(A’B’C’\) par la transformation \(S\).
3. Dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, on considère le polynôme \(P\) défini par :
\(P(z) = z^3 – (1 + 4i)z^2 – (3 + i)z – 12\)
a) Calculer \(P(3i)\).
b) En déduire la résolution dans \(\mathbb{C}\) de l’équation \(P(z) = 0\).
c) Donner les solutions de \(P(z) = 0\) sous forme trigonométrique.
On dispose de deux dés cubiques \(A\) et \(B\) dont les faces de chaque dé sont numérotées de 1 à 6.
Le dé \(A\) est normal, toutes ses faces ont la même probabilité d’apparition.
Le dé \(B\) est pipé tel que la probabilité d’avoir le numéro 1 après un lancer soit égale à \(\dfrac{1}{3}\) et les autres éventualités ont la même probabilité d’apparition.
1. Calculer la probabilité d’avoir un numéro impair en lançant une fois :
– le dé \(A\).
– le dé \(B\).
2. On lance simultanément les deux dés \(A\) et \(B\). Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
\(E\) : « Obtenir deux numéros impairs égaux ou distincts ».
\(E’\) : « Obtenir deux numéros égaux ».
3. On lance le dé \(B\) trois fois de suite et d’une manière indépendante. On considère la règle de jeu suivante :
Si le numéro 1 est apparu, on gagne 3 points ; dans le cas contraire, on gagne 0 point.
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus lors des 3 lancers.
a) Donner l’univers image de \(X\).
b) Calculer la probabilité de l’événement \((X \geq 3)\).
c) Déterminer l’espérance mathématique de \(X\).
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = x – 1 + e^{x-1}\), si \(x < 1\)
\(f(x) = x(1 + \ln x)\), si \(x \geq 1\)
On désigne par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.
1.
a) Montrer que \(f\) est continue en \(x_0 = 1\).
b) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 1\) (pour la limite à gauche en \(x_0 = 1\) ; on pourra poser \(X = x – 1\)).
c) Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\).
2.
a) Calculer \(f'(x)\) sur chacun des intervalles \(\left]-\infty\,;\,1\right[\) et \(\left]1\,;\,+\infty\right[\) où \(f’\) est la fonction dérivée de \(f\).
b) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur son ensemble de définition.
3.
a) Montrer que la courbe \((\mathcal{C})\) coupe l’axe des abscisses en un point unique \(\alpha\) tel que \(0 < \alpha < \dfrac{1}{2}\).
b) Étudier la branche infinie de \((\mathcal{C})\) au voisinage de \(+\infty\) et montrer que la droite \((D)\) d’équation \(y = x – 1\) est une asymptote oblique à \((\mathcal{C})\) au voisinage de \(-\infty\).
4. Tracer \((T)\) et \((\mathcal{C})\) dans le repère \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).
5. Calculer, en cm2, l’aire de la partie du plan limitée par la courbe \((\mathcal{C})\), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives \(x = 1\) et \(x = 3\).
6.
a) Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) vers un intervalle \(I\) que l’on précisera.
b) Tracer la courbe \((\mathcal{C}’)\) représentative de la fonction réciproque \(f^{-1}\) de \(f\) dans le même repère que \((\mathcal{C})\).