MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Generale de l’Enseignement Superieur
Session 2020 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Machine a calculer scientifique non programmable autorisee. Les deux exercices et le probleme sont obligatoires.
Soit le polynome P a variable complexe z defini par :
P(z) = z3 – (9 + 4i)z2 + (23 + 22i)z – 15 – 30i
1.
a) Calculer P(5i). (0,25 pt)
b) Resoudre dans C l’equation : P(z) = 0. (0,25 pt)
2. Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonormal direct (O, u, v), on considere les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 + i ; zB = 3 et zC = 4 + 3i.
a) On pose u = (zC – zA)/(zB – zA)
Ecrire u sous forme trigonometrique, en deduire la nature du triangle ABC. (0,75 pt)
b) M’ etant le point du plan d’affixe z’. On pose z’ = (z – 4 – 3i)/(z – 3) avec z ≠ 3.
Determiner et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z pour que z’ soit imaginaire pur. (1 pt)
3. Soit S la similitude plane directe de centre A telle que S(B) = C.
a) Donner l’expression complexe de S et preciser ses elements caracteristiques. (1 pt)
b) Soit S’ la similitude directe de centre A, de rapport 2/√2 et d’angle π/4.
Determiner la nature et les elements caracteristiques de la composition : f = S ο S’. (1 pt)
Un sac contient des jetons indiscernables au toucher dont 2 verts, 3 bleus et 5 jaunes.
1. On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons du sac. Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
A : « Obtenir exactement deux jetons jaunes » (0,5 pt)
B : « Obtenir au moins deux jetons de meme couleur » (1 pt)
2. On remet le sac dans sa condition initiale. L’epreuve (E) consiste a tirer simultanement quatre jetons du sac. On effectue une fois l’epreuve (E) et on considere les evenements suivants :
C : « Avoir trois jetons de meme couleur »
D : « Avoir au plus un jeton bleu »
a) Calculer la probabilite de l’evenement C. (0,5 pt)
b) Montrer que P(D) = 5/6 ou P(D) est la probabilite de l’evenement D. (0,5 pt)
3. On repete trois fois de suite et d’une maniere independante l’epreuve (E).
A chaque epreuve, on gagne 1 point si l’evenement D est realise, sinon on gagne 0 point.
Soit X la variable aleatoire egale au total des points gagnes a l’issue de trois epreuves.
a) Determiner l’univers-image de X. (0,5 pt)
b) Calculer l’esperance mathematique et la variance de X. (1 pt)
c) Calculer P(X ≥ 2). (1 pt)
NB : On donnera les resultats sous forme de fraction irreductible.
Soit f la fonction numerique definie sur [0, +∞[ par :
f(0) = 1
f(x) = (1/x2)(3 – 2 ln x) + 1 si x > 0
On note par (C) la courbe representative de f dans un repere orthonormal (O, i, j) d’unite 2cm.
1.
a) Calculer limx→0+ f(x). Que peut-on en deduire pour la fonction f ? (0,75 pt)
b) Etudier la derivabilite de f a droite en x0 = 0. (0,5 pt)
2.
a) Determiner la limite de f en +∞. (1 pt)
b) Montrer que pour tout x > 0, f'(x) = 2(1 – 3 ln x)/x3 ou f’ est la fonction derivee de f. (0,75 pt)
c) Dresser le tableau de variation de f sur [0, +∞[. (1 pt)
3. Montrer que l’equation f(x) = 0 admet une solution unique α sur ]e, +∞[ et verifier que 4,6 < α < 4,8. (1 pt)
4.
a) Montrer que la courbe (C) admet un point d’inflexion I dont on determinera les coordonnees. (1 pt)
b) Donner une equation de la tangente (T) a la courbe (C) au point d’abscisse x0 = 1. (0,5 pt)
c) Etudier la branche infinie de (C) en +∞. (0,5 pt)
d) Construire (T) et (C) en precisant la demi-tangente au point d’abscisse x0 = 0. (1,75 pt)
On donne : α ≈ 4,7 ; e ≈ 2,7 et e2 ≈ 7,4 pour la construction.
6.
a) A l’aide d’une integration par parties, calculer I = ∫1e x2 ln x dx. (0,75 pt)
b) En deduire, en cm2, l’aire A du domaine plan limite par la courbe (C), l’axe (O, i) et les droites d’equations respectives x = 1 et x = e. (0,75 pt)