Mathématiques BAC Série D 2020 Madagascar – Sujet

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N.B. : Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. Les deux exercices et le problème sont obligatoires.

EXERCICE 1 (05 points)

Soit le polynôme \(P\) à variable complexe \(z\) défini par :

\(P(z) = z^3 - (9 + 4i)z^2\) \(+ (23 + 22i)z - 15 - 30i\)

1.

a) Calculer \(P(3)\). (0,25 pt)

b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(P(z) = 0\). (1 pt)

2. Dans le plan complexe \((\mathcal{P})\) muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(z_A = 2 + i\) ; \(z_B = 3\) et \(z_C = 4 + 3i\).

a) On pose \(Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\).
Écrire \(Z\) sous forme trigonométrique, en déduire la nature du triangle \(ABC\). (0,75 pt)

b) \(M'\) étant le point du plan d’affixe \(z'\). On pose \(z' = \dfrac{z - 4 - 3i}{z - 3}\) avec \(z \neq 3\).
Déterminer et construire l’ensemble \((E)\) des points \(M\) d’affixe \(z\) pour que \(z'\) soit imaginaire pur. (1 pt)

3. Soit \(S\) la similitude plane directe de centre \(A\) telle que \(S(B) = C\).

a) Donner l’expression complexe de \(S\) et préciser ses éléments caractéristiques. (1 pt)

b) Soit \(S'\) la similitude directe de centre \(A\), de rapport \(\dfrac{3}{2}\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composition : \(f = S \circ S'\). (1 pt)

EXERCICE 2 (05 points)

Un sac contient dix jetons indiscernables au toucher dont 2 verts, 3 bleus et 5 jaunes.

1. On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons du sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

\(A\) : « Obtenir exactement deux jetons jaunes ». (0,5 pt)

\(B\) : « Obtenir au moins deux jetons de même couleur ». (1 pt)

2. On remet le sac dans sa condition initiale. L’épreuve \((\varepsilon)\) consiste à tirer au hasard et simultanément quatre jetons du sac. On effectue une fois l’épreuve \((\varepsilon)\) et on considère les événements suivants :

\(C\) : « Avoir trois jetons de même couleur ».

\(D\) : « Avoir au plus un jeton bleu ».

a) Calculer la probabilité de l’événement \(C\). (0,5 pt)

b) Montrer que \(p(D) = \dfrac{2}{3}\) où \(p(D)\) est la probabilité de l’événement \(D\). (0,5 pt)

3. On répète trois fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve \((\varepsilon)\).

À chaque épreuve, on gagne 1 point si l’événement \(D\) est réalisé, sinon on gagne 0 point.

Soit \(X\) la variable aléatoire égale au total des points gagnés à l’issue de trois épreuves.

a) Déterminer l’univers-image de \(X\). (0,5 pt)

b) Calculer l’espérance mathématique et la variance de \(X\). (1 pt)

c) Calculer \(P(X \geq 2)\). (1 pt)

N.B. : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

PROBLÈME (10 points)

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) par :

\(f(0) = 1\)
\(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2(3 - 2\ln x) + 1\)   si \(x > 0\)

On note par \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})\) d’unité 2 cm.

1.

a) Calculer \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\). Que peut-on en déduire pour la fonction \(f\) ? (0,75 pt)

b) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0 = 0\). (0,5 pt)

2.

a) Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\). (0,5 pt)

b) Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(f'(x) = 2x(1 - \ln x)\) où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\). (0,75 pt)

c) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\). (1 pt)

3. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(\left]e\,;\,+\infty\right[\) et vérifier que \(4{,}6 < \alpha < 4{,}8\). (1 pt)

4.

a) Montrer que la courbe \((\mathcal{C})\) admet un point d’inflexion \(I\) que l’on déterminera les coordonnées. (1 pt)

b) Donner une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((\mathcal{C})\) au point d’abscisse \(x_1 = 1\). (0,5 pt)

5.

a) Étudier la branche infinie de \((\mathcal{C})\) en \(+\infty\). (0,5 pt)

b) Construire \((T)\) et \((\mathcal{C})\) en précisant la demi-tangente au point d’abscisse \(x_0 = 0\).
(Prendre \(\alpha \approx 4{,}7\) ; \(e \approx 2{,}7\) et \(e^2 \approx 7{,}4\) pour la construction). (1,75 pt)

6.

a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(I = \displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx\). (1 pt)

b) En déduire, en cm², l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\), l’axe \((x'ox)\) et les droites d’équations respectives \(x = 1\) et \(x = e\). (0,75 pt)