MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Generale de l’Enseignement Superieur
Session 2019 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : On donnera les resultats sous forme de fraction irreductible.
Soit le polynome P a variable complexe z defini par :
P(z) = z3 + iz + 8iz2 + (x + 1)iz + 18 – 6i
1°)
a) Determiner x pour que 2i soit solution de l’equation P(z) = 0.
b) En deduire la resolution dans C de P(z) = 0.
2°) Dans le plan complexe rapporte au repere orthonorme direct (O, u, v) on considere les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 + i ; zB = 2 et zC = 3 + 3i.
a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) On pose Z’ = (z – 2i)/(z – 2). Determiner l’ensemble des points M d’affixe z tel que |Z’| = 1.
3°) Soit S la similitude plane directe qui transforme A en B et laisse invariant le point C.
a) Determiner l’expression complexe de S.
b) En deduire ses elements caracteristiques.
4°)
a) Determiner et construire l’ensemble (T) des points M d’affixe z tels que :
|(1 + i)z – 6i| = 2√5
b) Donner les elements geometriques de la courbe (T’) image de (T) par S.
Un carton contient 9 manuels de mathematiques indiscernables au toucher : 5 livres d’algebre et 4 livres de geometrie.
L’epreuve consiste a tirer au hasard et simultanement trois manuels du carton.
1°) Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
A : « Obtenir trois livres d’algebre »
B : « Obtenir au moins un livre de geometrie »
2°) Soit X la variable aleatoire egale au nombre de livres d’algebre obtenus.
a) Donner l’univers image de X.
b) Determiner la loi de probabilite de X.
c) Calculer l’esperance mathematique et la variance de X.
On repete trois fois de suite et d’une maniere independante la meme epreuve.
On appelle « succes » l’obtention de trois livres de geometrie lors d’une epreuve.
Calculer la probabilite d’obtenir au moins un succes.
Soit f la fonction numerique de la variable reelle x definie sur R par :
f(x) = -x + 6 – 4ex/2 si x ≤ 0
f(x) = x + 2 – x ln x si x > 0
On designe par (C) sa courbe representative dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1cm.
1.
a) Montrer que f est continue en 0.
b) Calculer limx→0 (1 – ex/2)/x. En deduire limx→0– (f(x) – f(0))/x.
c) Calculer limx→0+ (f(x) – f(0))/x.
d) Que peut-on conclure pour f et pour (C) ?
2. Etudier la variation de f.
3. Montrer que l’equation f(x) = 0 admet une solution unique β ∈ ]4,3 ; 4,4[.
4.
a) Ecrire l’equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x0 = e.
b) Montrer que la droite (D) d’equation y = -x + 6 est asymptote a (C).
c) Etudier la branche infinie de (C) en +∞.
d) Tracer (C), (T) et (D) dans un meme repere en precisant les demi-tangentes au point d’abscisse 0.
5. Calculer, en fonction de β et en cm2, l’aire A du domaine plan delimite par la courbe (C), l’axe (x’Ox) et les droites d’equations respectives x = 1 et x = β.
En deduire l’expression de A sans ln β.
6. Soit (Un)n∈N la suite definie par :
Un = ∫-(n+1)-n [f(x) – (6 – x)] dx ou f(x) = -x + 6 – 4ex/2
a) Exprimer Un en fonction de n.
b) Montrer que (Un) est une suite geometrique dont on precisera la raison.