MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur Public et Prive
Session 2018 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Les deux (02) exercices et le probleme sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisee.
Soit P le polynome a variable complexe z defini par :
P(z) = z3 + (-1 – 9i)z2 – (24 + 6i)z – 14 + 18i
1.
a) Determiner le nombre complexe z0 tel que :
P(z) = (z – z0)(z2 – 4iz – 4 – 2i) (0,5 pt)
b) En deduire les solutions dans C de l’equation P(z) = 0. (0,75 pt)
2. Dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonormal direct (O, i, j) d’unite 1 cm, on considere les points A, B et C d’affixes respectives :
zA = -1 + 5i ; zB = 1 + 3i et zC = -1 + i
a) Placer les points A, B et C. (0,5 pt)
b) Calculer les distances AB et BC et determiner une mesure de l’angle (BA, BC). (0,75 pt)
c) En deduire la nature du triangle ABC. (0,25 pt)
d) On note I le milieu du segment [AC]. Determiner l’affixe zI du point I. (0,25 pt)
e) Determiner puis construire l’ensemble (Γ) des points M d’affixe z tels que |z + 1 – 3i| = 2. (0,5 pt)
3. Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme le point C en B.
– Determiner l’expression complexe ainsi que les elements caracteristiques de S. (1 pt)
– Determiner et construire l’ensemble (Γ’) image de (Γ) par S. (0,5 pt)
1. On lance une fois un de tetraedrique a quatre faces numerotees 1, 2, 3 et 4.
On s’interesse au numero de la face cachee. Pour k ∈ {1; 2; 3; 4}, on note Pk la probabilite pour que le numero de la face cachee soit egal a k.
Le de est truque de telle sorte que les probabilites P1, P2, P3 et P4 verifient les conditions suivantes :
P1 = (2/5)P2 = (2/5)P3 et P4 = 2P3
Demontrer que P1 = 1/5. En deduire les probabilites P1, P2 et P4. (1,25 pt)
2. On lance deux fois de suite ce meme de.
a) Calculer la probabilite de l’evenement :
A : « le produit des deux numeros des deux faces cachees est egal a 4 » (0,75 pt)
b) On designe par a le numero de la face cachee au premier lancer et par b le numero du deuxieme.
Soit X la variable aleatoire egale au nombre |b – a|.
– Donner la loi de probabilite de X. (1,25 pt)
– Calculer l’esperance mathematique E(X) de X. (0,5 pt)
3. On lance quatre fois de suite et d’une maniere independante ce de.
Soit Y la variable aleatoire egale au nombre de fois ou la face n°1 est cachee.
a) Calculer la probabilite de l’evenement {Y ≥ 1}. (0,75 pt)
b) Calculer E(Y) et V(Y). (0,5 pt)
On considere la fonction numerique f definie sur ]0; +∞[ par :
f(x) = -x + e-1 + ln x
On note par (W) sa courbe representative dans un repere orthonorme direct (O, i, j) d’unite 1 cm.
1. Soit g la fonction definie sur ]0; +∞[ par : g(x) = x2 – 2 ln x
a) Etudier le sens de variation de g sur ]0; +∞[. (1 pt)
b) Montrer que l’equation g(x) = 0 admet une solution reelle unique α telle que : α ∈ [1,4; 1,5]. (0,5 pt)
c) En deduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,5 + 0,25 pt)
2.
a) Calculer limx→0+ f(x). Interpreter graphiquement le resultat. (0,5 pt)
b) Calculer limx→+∞ f(x). (0,5 pt)
c) Montrer que la droite (D) d’equation y = -x + 3 est asymptote oblique a (W). (0,5 pt)
d) Etudier la position relative de (W) par rapport a (D). (0,5 pt)
3.
a) Montrer que, pour tout x ∈ ]0; +∞[, f'(x) = -g(x)/x2. (0,75 pt)
b) Demontrer que f(α) = -2α2 – 3α + 1. (0,5 pt)
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0; +∞[. (0,75 pt)
4.
a) Determiner les coordonnees du point A de (W) ou la tangente (T) est parallele a (D). (0,75 pt)
b) Construire (T), (D) et (W). (On prendra α ≈ 1,5 pour la construction). (1,75 pt)
5. Calculer, en cm2, l’aire A du domaine plan delimite par la courbe (W), la droite (D) et les droites d’equations x = 1 et x = e. (1,25 pt)
On donne : e ≈ 2,71 ; e2 ≈ 7,38 ; 1/e ≈ 0,13