MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur Public et Prive
Session 2017 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Les deux (02) exercices et le probleme sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisee.
1.
a) Resoudre dans C l’equation (E1) : z2 – 2z + 2 = 0 (0,5 pt)
b) Preciser le module et un argument de chacune des solutions de (E1). (0,5 pt)
c) En deduire les solutions dans C de l’equation :
(E2) : (-iz + 3)2 – 2(-iz + 3) + 2 = 0 (on pourra poser Z = -iz + 3) (0,75 pt)
2. Le plan complexe (P) est rapporte a un repere orthonormal direct (O, u, v) d’unite 1cm.
On donne les points A, B et C d’affixes respectives : zA = 1 + i ; zB = -1 et zC = 2 + 2i
a) Placer les points A, B et C. (0,5 pt)
b) Donner la forme trigonometrique de U = (zC – zA)/(zB – zA) avec E d’affixe zE = 3. (0,25 pt + 0,25 pt)
c) En deduire la nature du triangle ABC. (0,5 pt)
3. On considere la transformation R du plan (P) dans (P) qui a tout point M d’affixe z = x + iy associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ tel que :
x’ = -y
y’ = x
a) Donner l’expression complexe de R. (0,5 pt)
b) Preciser la nature et les elements caracteristiques de R. (0,25 pt + 0,5 pt)
c) Soit (Γ) le cercle de centre E et de rayon √5.
Determiner et construire l’image (Γ’) de (Γ) par R dans le repere precedent. (0,5 pt + 0,25 pt)
On dispose de deux urnes dont l’une U1 contient 8 boules numerotees : 0 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 et l’autre U2 contient 5 boules numerotees : 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2.
Les boules sont indiscernables au toucher.
1. On tire au hasard et successivement sans remise 3 boules de l’urne U1.
Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
E1 : « Les numeros des 3 boules tirees sont pairs » (0,75 pt)
E2 : « Avoir 3 boules dont la somme des numeros tires est egale a 6 » (0,75 pt)
2. On tire au hasard et simultanement 2 boules de U1 et 1 boule de U2.
On suppose que les evenements elementaires sont equiprobables.
Soit X la variable aleatoire egale au nombre de boules portant le numero 2.
a) Donner la loi de probabilite de X. (1 pt)
b) Calculer l’esperance mathematique E(X) de X. (1 pt)
Lors d’une epreuve facultative d’EPS, on donne pour 4 eleves les points bonus x obtenus en epreuve de « course de fond » et y obtenus en epreuve de « saut » :
| x | 1 | 2 | 3 | 5 |
| y | 2 | 4 | 5 | 7 |
1. Calculer le coefficient de correlation lineaire. Interpreter le resultat. (0,5 pt + 0,25 pt)
2. Determiner, par la methode des moindres carres, l’equation de la droite de regression de y en x. (0,75 pt)
3. Estimer le bonus en epreuve de saut pour un eleve ayant 9 points de bonus en course de fond.
On considere la fonction f definie sur R par :
f(x) = 1 – ex si x ≤ 0
f(x) = x – 1 – ln x si x > 0
On note par (C) sa courbe representative dans un plan muni d’un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1cm.
1. Etudier la continuite de f en x0 = 0. (0,25 pt)
2.
a) Montrer que limx→0– (f(x) – f(0))/x = -1 et calculer limx→0+ (f(x) – f(0))/x. (0,5 pt)
b) Interpreter graphiquement ces resultats. (0,25 pt)
c) Calculer les limites de f en -∞ et en +∞. (0,75 pt)
3.
a) Pour x > 0, calculer f'(x) et etudier son signe. (0,75 pt)
b) Pour x ≤ 0, calculer f'(x) et etudier son signe. (0,5 pt)
c) Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)
4. Donner l’equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x = e. (0,5 pt)
5.
a) Calculer f(e2). (0,25 pt)
b) Etudier les branches infinies de (C). (0,5 pt)
6. Tracer la tangente (T) et la courbe (C) en precisant les demi-tangentes au point O. (1,5 pt)
7. Soit g la restriction de f sur l’intervalle I = [e; +∞[.
a) Montrer que g admet une fonction reciproque g-1 definie sur l’intervalle J que l’on precisera. (0,5 pt)
b) Dresser le tableau de variation de g-1. (0,25 pt)
c) Tracer la courbe (C’) de g-1 dans le meme repere que (C). (0,5 pt)
d) Calculer (g-1)'(e2). (0,5 pt)
8. En utilisant une integration par parties, calculer, en cm2, l’aire A du domaine plan limite par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’equations x = e et x = e2. (0,75 pt)
On donne : e ≈ 2,7 et e2 ≈ 7,4