MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur Public et Prive
Session 2016 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Les deux (02) exercices et le probleme sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisee. Mettre les resultats sous forme de fraction irreductible.
1°) Le plan complexe (P) est muni d’un repere orthonormal direct (O, u, v) d’unite 2cm.
Soit P un polynome a variable complexe z defini par :
P(z) = z3 – 2z2 + (1 – i)z – 1 + i
a) Calculer P(1) et (1 – 2i)2. (0,25 + 0,25 pt)
b) Resoudre dans C l’equation P(z) = 0. (1 pt)
2°) On considere les points A, B et C tels que zA = 1 ; zB = 1 + i et zC = -1.
Ecrire le nombre complexe u = (zC – zA)/(zB – zA) sous forme trigonometrique et en deduire u2. (1 pt)
3°) On considere la similitude plane directe S qui transforme M en M’ tel que :
z’ = (1 – i)z + 2i
ou M’ d’affixe z’ et M d’affixe z.
a) Determiner les elements caracteristiques de S. (1 pt)
b) Donner la nature et les elements caracteristiques de S5 = S ο S ο S ο S ο S. (0,5 pt)
c) Construire dans le meme repere le triangle ABC et A’B’C’ son image par S5. (1 pt)
1°) Les faces d’un de cubique truque sont numerotees : 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6.
On lance une fois ce de. Chaque face a la meme probabilite d’apparition. On note Pk la probabilite d’apparition de la face portant le numero k.
Calculer P1, P2, P3, P4.
2°) On lance deux fois de suite ce de. Chaque face a toujours la meme probabilite d’apparition.
a) Calculer la probabilite de l’evenement :
A : « la somme des deux numeros apparus sur la face superieure est egale a 4 lors de deux lancements de ce de »
b) On note par X la variable aleatoire definie par la somme des numeros affiches lors de deux lancements de ce de.
– Donner la loi de probabilite de X. (0,75 pt)
– Calculer l’esperance mathematique E(X). (0,75 pt)
3°) On lance trois fois de suite et d’une maniere independante ce de. On note par Y la variable aleatoire egale au nombre d’apparitions de la face portant le numero 2 lors de ces trois lancers.
a) Donner la loi de probabilite de Y. (0,5 pt)
b) Calculer la variance V(Y).
N.B. : Les parties A et B sont independantes.
Soit f la fonction definie sur R par :
f(x) = x · ex – x – 1
On note par (C) sa courbe representative dans un repere orthonormal (O, i, j) d’unite 2cm.
1. Soit g la fonction definie sur R par : g(x) = (1 – x)ex – 1
a) Etudier le sens de variation de g. (0,75 pt)
b) En deduire le signe de g(x). (1 pt)
c) Etudier les variations de f. (1 pt)
2.
a) Etudier la branche infinie de (C) au voisinage de -∞. (0,5 pt)
b) Demontrer que (C) admet une asymptote oblique dont on precisera l’equation au voisinage de +∞ qu’on nommera (D). On precisera la position de (C) par rapport a (D). (0,75 pt)
3. Determiner qu’il existe un point unique A de (C) ou la tangente (T) est parallele a (D). (0,75 pt)
4. Tracer dans le meme repere (D), (T) et (C). (1,25 pt)
5. Calculer en cm2, l’aire geometrique du domaine plan limite par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’equations x = 0 et x = 1. (0,75 pt)
6.
a) Demontrer que f admet une bijection de R sur un intervalle I que l’on determinera. (0,75 pt)
b) Calculer f(1) et (f-1)'(1/2) ou f-1 est la fonction reciproque de f. (0,75 pt)
c) Tracer dans le meme repere que (C) la courbe (C’) de f-1. (0,5 pt)
On donne : e ≈ 2,7 ; 1/e ≈ 0,4
Soit (Un)n∈N une suite definie par U0 = 1 et :
Un = ∫1e xn dx
1. Calculer Un en fonction de n. (0,75 pt)
2. Demontrer que (Un)n∈N est une suite geometrique dont on precisera la raison. (0,75 pt)