DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
Service d’Appui au Baccalauréat
Session 2016 — Série D
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Durée : 03 heures 15 minutes | Code matière : 009 |
N.B. : Les deux (02) exercices et le problème sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisée.
Le plan complexe \((\mathcal{P})\) est muni d’un repère orthonormé direct \(\mathcal{R} = (O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})\) d’unité 2 cm.
1) \(P\) est le polynôme à variable complexe \(z\) défini par :
\(P(z) = z^3 – 2z^2 + (2 + i)z – 1 – i\)
a) Calculer \(P(1)\) et \((1 – 2i)^2\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\).
2) On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(z_A = 1\), \(z_B = 1 – i\) et \(z_C = i\).
Écrire le nombre complexe \(a = \dfrac{z_B}{z_C}\) sous forme trigonométrique et en déduire \(a^4\).
3) On considère la similitude plane directe \(S\) qui transforme \(M\) en \(M’\) telle que :
\(z’ = (1 – i)z + 2i\) ; \(M’\) d’affixe \(z’\) et \(M\) d’affixe \(z\).
a) Déterminer les éléments caractéristiques de \(S\).
b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de \(S^4 = S \circ S \circ S \circ S\).
c) Construire dans le même repère le triangle \(ABC\) et \(A’B’C’\) son image par \(S^4\).
1) Les faces d’un dé cubique truqué sont numérotées : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6.
On lance une fois ce dé. Chaque face a la même probabilité d’apparition. On note \(P_i\) la probabilité d’apparition de la face portant le numéro \(i\). Calculer \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\), \(P_6\).
2) On lance deux fois de suite ce dé. Chaque face a toujours la même probabilité d’apparition.
a) Calculer la probabilité de l’événement :
\(A\) : « la somme de deux numéros apparus sur la face supérieure est égale à 4 lors de deux lancements de ce dé ».
b) On note par \(X\) la variable aléatoire définie par la somme des numéros affichés lors de deux lancements de ce dé.
– Donner la loi de probabilité de \(X\).
– Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\).
3) On lance trois fois de suite et d’une manière indépendante ce dé. On note par \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la face portant le numéro 2 lors de ces trois lancers.
a) Donner la loi de probabilité de \(Y\).
b) Calculer la variance \(V(Y)\).
N.B. : Mettre les résultats sous forme de fraction irréductible.
N.B. : Les parties A et B sont indépendantes.
A. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x e^{-x} + x – 1\).
On note par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})\) d’unité 2 cm.
1) Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = (1 – x)e^{-x} + 1\).
a) Étudier le sens de variation de \(g\).
b) En déduire le signe de \(g(x)\).
2) Étudier les variations de \(f\).
3)
a) Étudier la branche infinie de \((\mathcal{C})\) au voisinage de \(-\infty\).
c) Démontrer que \((\mathcal{C})\) admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation au voisinage de \(+\infty\) qu’on nommera \((D)\). On précisera la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((D)\).
4) Démontrer qu’il existe un point unique \(A\) de \((\mathcal{C})\) où la tangente \((T)\) est parallèle à \((D)\).
5) Tracer dans le même repère \((D)\), \((T)\) et \((\mathcal{C})\).
6) Calculer en cm2, l’aire géométrique du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\), la droite \((D)\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).
7)
a) Démontrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
b) Calculer \(f(1)\) et \((f^{-1})’\left(\dfrac{1}{e}\right)\) où \(f^{-1}\) est la fonction réciproque de \(f\).
c) Tracer dans le même repère que \((\mathcal{C})\) la courbe \((\mathcal{C}’)\) de \(f^{-1}\).
On donne : \(e = 2{,}7\) ; \(\dfrac{1}{e} = 0{,}4\).
B. Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite définie par \(U_0 = 1\) et \(U_n = 1 – \displaystyle\int_0^n e^{-x}\,dx\).
1) Calculer \(U_n\) en fonction de \(n\).
2) Démontrer que \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
⚠ Coquille de numérotation du sujet original : à la question 3 du problème, l’énoncé passe directement de a) à c) — il n’y a pas de question b). La numérotation est reproduite telle qu’elle figure sur le document numérisé, et le total des barèmes reste bien de 10 points. On notera aussi que les deux valeurs approchées fournies (\(e = 2{,}7\) et \(\dfrac{1}{e} = 0{,}4\)) ne sont pas exactement compatibles entre elles (\(\dfrac{1}{2{,}7} \approx 0{,}37\)) ; elles sont utilisées ci-dessous telles que le sujet les donne, avec rappel de la valeur exacte.