Mathématiques BAC Série D 2015 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux (02) exercices et le probleme sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice non programmable est autorisee. On donnera les resultats sous forme de fraction irreductible.

EXERCICE 1 (5 points)

Soit f une transformation definie dans un plan complexe (P) par :

f : M(z) → M'(z’) telle que f(z) = z’ = (z – 4)/(z + 1)

1.

a) Determiner l’ensemble de definition de f note D_f. (0,25 pt)

b) Resoudre dans C l’equation f(z) = z. (0,75 pt)

2. On considere dans le plan complexe (P) muni d’un repere orthonormal direct (O, u, v) d’unite 1 cm les points A, B, C et D d’affixes respectives -2 + i ; 1 – i ; 3 + 2i et z = x + iy ou x, y ∈ R.

a) Determiner et construire l’ensemble (D) des points M(z) pour que f(z) soit reel. (1 pt)

b) On pose Z = (z – 4)/(z + 1). Donner la forme trigonometrique de Z et en deduire la nature du triangle ABC. (0,5 pt + 0,5 pt)

3. Calculer l’affixe du point D tel que le quadrilatere ABCD soit un carre. (0,5 pt)

4. Soit S la similitude plane directe de rapport √2, d’angle π/4 et S(B) = C, dont son ecriture complexe est de la forme S : z’ = az + b ou a ∈ C* et b ∈ C.

a) Donner la forme algebrique du nombre complexe a. (0,5 pt)

b) En deduire la valeur du nombre complexe b. (0,5 pt)

c) Preciser le centre de S. (0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

I – Probabilites

Sur 12 jetons indiscernables au toucher, places dans une urne, sont ecrites les lettres A ; A ; A ; A ; B ; B ; D ; O ; E ; E.

1. On tire successivement, avec remise, trois jetons de l’urne. Calculer les probabilites des evenements suivants :

G : « Obtenir au moins une lettre B » (0,5 pt)

H : « Obtenir exactement une voyelle » (0,5 pt)

2. On tire simultanement quatre jetons de l’urne. On designe par X la variable aleatoire associee au nombre de consonnes obtenues.

a) Determiner l’univers image de X. (0,25 pt)

b) Donner la loi de probabilite de X. (0,75 pt)

c) Definir et representer graphiquement la fonction de repartition de X. (0,25 pt)

II – Statistiques

Les chiffres d’affaires d’une entreprise de l’annee 2008 a 2012 sont representes dans le tableau suivant : x designe le rang de l’annee et y le chiffre d’affaire en million d’ariary.

L’equation de la droite de regression (D) de y en x est : y = 57,3x + 516,2.

1. Calculer les coordonnees du point moyen G. (0,75 pt)

2. En deduire la valeur de y₃. (0,75 pt)

3. En quelle annee, l’entreprise pourra-t-elle atteindre le chiffre d’affaire de un milliard quatre cent trente trois millions d’Ariary ? (1 pt)

PROBLEME (10 points)

Soit f la fonction numerique definie sur ]-1; +∞[ par :

f(x) = ln(x + 1) + e^x

On note par (C) la courbe representative dans un repere orthonormal direct (O, i, j) d’unite graphique 1 cm.

1. Soit g la fonction numerique definie sur R par : g(x) = x + 1 – e^x.

a) Etudier les variations de g (on ne demande pas de calculer les limites en -∞ et en +∞). (0,75 pt)

b) En deduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,5 pt)

2.

a) Calculer lim_x→-1⁺ f(x). Interpreter graphiquement ce resultat. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Calculer lim_x→+∞ f(x). (0,25 pt)

c) Montrer que pour tout x ∈ D_f :

f(x)/x = ln(x + 1)/x + e^x/x (0,25 pt)

d) En deduire lim_x→+∞ f(x)/x. Que peut-on conclure pour la courbe (C) ? (0,25 pt + 0,5 pt)

3.

a) Exprimer f'(x) en fonction de g(x) pour tout x ∈ D_f ou f’ est la fonction derivee de f. (0,75 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f sur D_f. (0,75 pt)

4.

a) Montrer que (C) coupe l’axe des abscisses en un point unique d’abscisse α ∈ [-1; 0[.

b) Donner une equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x₀ = 0. (0,25 pt)

c) Construire (C) et (T) dans le meme repere. (1 pt + 0,5 pt)

5.

a) Determiner les reels a et b tels que : x/(x + 1) = a + b/(x + 1) (0,5 pt)

b) A l’aide d’une integration par parties, calculer une primitive de la fonction k : x → ln(x + 1) sur D_f. (0,75 pt)

6.

a) Calculer en cm², l’aire geometrique du domaine plan limite par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’equations x = 0 et x = 1. (0,5 pt)

b) Montrer que f realise une bijection de D_f sur l’intervalle J que l’on determinera. (0,5 pt)

c) Construire la courbe (C’) qui est la representation graphique de f^-1 de f dans le meme repere que (C). (1 pt)