Mathématiques BAC Série D 2014 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux (02) exercices et le probleme sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisee.

EXERCICE 1 (5 points)

Soit le polynome P a variable complexe z defini par :

P(z) = z³ – (5 + i)z² + (a + ib)z – 8 – 16i

ou a et b sont des nombres reels non nuls.

1. Determiner les valeurs de a et b pour que 2i soit une solution de l’equation P(z) = 0. (0,5 pt)

2. Resoudre dans C l’equation :

z³ – (5 + i)z² + (10 + 6i)z – 8 – 16i = 0 (1 pt)

3. Dans le plan complexe muni d’un repere orthonormal (O, u, v) d’unite 1 cm, on considere les points I, J, K et A d’affixes respectives : z_I = 2i ; z_J = 3 + i ; z_K = 2 – 2i ; z_A = √3 + i

a) Placer les points I, J et K. A l’aide d’un compas et d’une regle non graduee, construire le point A. (0,5 pt)

b) Demontrer que les droites (IJ) et (IK) sont perpendiculaires. (0,25 pt)

4. Soit B le point du plan tel que z_B = z̄_A

a) Calculer les distances OA, OB et AB. En deduire la nature du triangle OAB. (1 pt)

b) Calculer l’affixe du point C pour que OABC soit un losange. (0,25 pt)

5. Soit S la similitude plane directe qui transforme B en C et laisse invariant le point O.

Determiner l’expression complexe de S et preciser ses elements caracteristiques. (1,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Une boite contient six billets numerotes de 1 a 6.

On tire au hasard, successivement et sans remise deux billets de la boite. On suppose que tous les tirages sont equiprobables.

1. Chaque resultat est represente par un couple (a; b) de deux nombres distincts ou a est le numero apparu au premier tirage et b le numero apparu au deuxieme tirage.

a) Determiner Ω qui a 30 couples possibles. (0,5 pt)

b) Soit A, l’evenement : « Les deux numeros tires sont pairs ».

Calculer la probabilite de A. (0,5 pt)

c) Calculer la probabilite de l’evenement :

B : « Obtenir au moins un numero impair » (1 pt)

2. Soit X la variable aleatoire qui, a chaque resultat, associe la difference entre le plus grand et le plus petit des deux numeros. Par exemple, pour les couples (3; 5) et (5; 3), la variable aleatoire X prend la valeur 5 – 3 = 2.

a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aleatoire X ?

b) Calculer les probabilites : P(X=1) et P(X=3). (0,5 pt)

c) Donner la loi de probabilite de la variable aleatoire X. (1 pt)

d) Calculer l’esperance mathematique et la variance de la variable aleatoire X. (0,5 pt)

PROBLEME (10 points)

On considere la fonction numerique f d’une variable reelle x definie sur D_f = ]0; +∞[ par :

f(x) = (1/x)(ln x)² + 2/x

On designe par (C) la courbe representative de f dans le repere orthonormal direct (O, i, j) d’unite 1 cm.

1.

a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de definition. (0,5 pt)

b) Calculer lim_x→+∞ (ln x)²/x (poser x = e^t). En deduire que (C) admet une branche parabolique suivant (Ox) au voisinage de +∞. (0,75 pt)

2. On considere une deuxieme fonction numerique g definie sur ]0; +∞[ par g(x) = x ln x – 2.

a) Calculer lim_x→0⁺ g(x) et lim_x→+∞ g(x). (0,5 pt)

b) Etudier la variation de g, puis dresser son tableau de variation. (1,5 pts)

c) Demontrer qu’il existe un nombre reel unique α ∈ ]2; e[ tel que g(α) = 0. (0,75 pt)

En deduire le signe de g(x). (0,5 pt)

3.

a) Demontrer que pour tout x ∈ ]0; +∞[, f'(x) = -g(x)/x². (1 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f. On prend α ≈ 2,5 et f(α) ≈ 1,12. (1 pt)

4.

a) Determiner une equation de la tangente (T) a (C) au point d’abscisse x₀ = 1. (0,25 pt)

b) Tracer dans le meme repere la droite (T) et la courbe (C). (1,25 pt)

5.

a) On donne ∫ ln x dx = -α ln α + α.

A l’aide d’une integration par parties, demontrer que :

∫₁^α (ln x)² dx = e/2 – α/2 (ln α)² + α ln α – α (1 pt)

b) Calculer, en fonction de α et en cm², l’aire geometrique A du domaine plan delimite par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’equations : x = α et x = e. (0,5 pt)

c) Sachant que : α ln α = 2, demontrer que A = (e/2 + 4 – 6/α – α) cm². (0,5 pt)