Mathématiques BAC Série D 2013 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux exercices et le problème sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. Papiers millimétrés autorisés.

EXERCICE 1 (5 points) — Les Parties A et B sont indépendantes

A. On dispose d’un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6, parfaitement équilibré, et de deux urnes U₁ et U₂ contenant des boules indiscernables au toucher de telle sorte que :

U₁ contient 8 boules blanches et 2 boules noires.
U₂ contient 3 boules noires et 7 boules rouges.

1) L’épreuve consiste à lancer une fois le dé puis à tirer une boule de U₁ ou de U₂. Si le numéro 6 apparaît sur la face supérieure du dé, on tire une boule dans U₁. Sinon, on tire une boule dans U₂. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Le chiffre 6 apparaît et on obtient une boule blanche ». (0,25 pt)

B : « Obtenir une boule noire ». (0,5 pt)

2) On tire au hasard et simultanément deux boules de U₂ et une boule de U₁. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boule(s) noire(s) obtenue(s).

a) Déterminer l’univers image de X. (0,25 pt)

b) Établir la loi de probabilité de X. (2 pts)

B. Étant donnée une série statistique à deux variables (X, Y) dont la droite de régression de Y en X est : y = 0,12x + 7,88.

Sachant que la moyenne X̄ = 51 et le coefficient de corrélation r = 0,93.

a) Déterminer la moyenne arithmétique Ȳ. (0,75 pt)

b) Peut-on avoir un ajustement linéaire par moindres carrés ? Expliquer. Déterminer une équation de la droite de régression X en Y. (0,5 + 0,75 pt)

On donnera le résultat à 10⁻² près.

EXERCICE 2 (5 points)

Soit P(z) = z³ − (3 + 3√3 i)z² − (6 − 6√3 i)z + 8 + 24√3 i où z ∈ ℂ.

1)

a) Démontrer que l’équation P(z) = 0 admet deux solutions réelles que l’on précisera. (0,75 pt)

b) En déduire la résolution de l’équation P(z) = 0. (0,75 pt)

Dans tout ce qui suit, on considère dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, u⃗, v⃗) d’unité graphique 1 cm, les points A, B et C d’affixes respectives z_A = −2 ; z_B = 4 et z_C = 1 + 3√3 i.

2)

a) Placer les points A, B et C. (0,5 pt)

b) Donner la forme algébrique du nombre complexe Z = (z_B − z_A) / (z_C − z_A) puis en déduire la nature du triangle ABC. (1 pt)

3) Soit D le point tel que ABDC soit un parallélogramme. On note par S la similitude plane directe de centre A et qui transforme B en D.

a) Déterminer l’affixe de D et placer ce point. (0,5 pt)

b) Déterminer l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques. (1,5 pt)

PROBLÈME (10 points)

On considère la fonction f, à variable réelle x, définie par :

f(x) = (x + 1)e^x si x ≥ 0
f(x) = e^3x − 3x si x < 0

On désigne par (𝒞) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’origine O et d’unité graphique 2 cm.

1- Étudier la continuité de f en x₀ = 0. (0,75 pt)

2- Démontrer que lim_x→0⁻ [f(x) − f(0)]/x = 0 et lim_x→0⁺ [f(x) − f(0)]/x = 2. (On donnera une interprétation graphique de ces résultats.) (1,25 + 0,75 pt)

3-

a) Étudier la branche infinie de (𝒞) au voisinage de +∞. (0,75 pt)

b) Prouver que la droite (D) d’équation y = −3x est une asymptote oblique pour la courbe (𝒞) au voisinage de −∞. (0,75 pt)

4-

a) Après avoir étudié le sens de variation de f, dresser son tableau de variation. (1,5 pt)

b) Démontrer que, pour tout x réel négatif, e^3x − 3x − 1 > 0. (0,5 pt)

5- Tracer dans le même repère, en précisant les deux demi-tangentes, la droite (D) et la courbe (𝒞). (1,25 pt)

6- On appelle g la restriction de la fonction f à ]−∞ ; 0[.

a) Démontrer que l’équation g(x) = 2 admet une solution unique α. (1 pt)

b) On désigne par g⁻¹ la fonction réciproque de g. Calculer, en fonction de α, (g⁻¹)’(2). (0,5 pt)

c) Construire, dans le même repère que (𝒞), la courbe (𝒞’) représentant g⁻¹. (0,5 pt)

d) Calculer, en fonction de α et en cm², l’aire 𝒜_α du domaine plan délimité par : la courbe (𝒞), la droite (D), les droites d’équations x = α et x = 0. (0,75 pt)