MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur
Session 2013 – Serie D
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 4 |
| Duree : 3 heures 15 minutes | Code matiere : 009 |
N.B. : Les deux exercices et le probleme sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee. Papiers millimetres autorises.
Les parties A et B sont independantes.
On dispose d’un de cubique a 6 faces numerotees de 1 a 6, parfaitement equilibre et de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher de telle sorte que :
1. L’epreuve consiste a lancer une fois le de puis a tirer une boule de U1 ou de U2.
Si le numero 6 apparait sur la face superieure du de, on tire une boule dans U1. Sinon, on tire une boule dans U2.
Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :
A : « le chiffre 6 apparait et on obtient une boule blanche » (0,25 pt)
B : « Obtenir une boule noire » (0,5 pt)
2. On tire au hasard et simultanement deux boules de U1 et une boule de U2.
On designe par X la variable aleatoire egale au nombre de boule(s) noire(s) obtenue(s).
a) Determiner l’univers image de X. (0,25 pt)
b) Etablir la loi de probabilite de X. (2 pts)
Etant donne une serie statistique a deux variables (X, Y) dont la droite de regression de Y en X est : y = 0,12x + 7,88.
Sachant que la moyenne X̄ = 51 et le coefficient de correlation r = 0,93.
a) Determiner la moyenne arithmetique Ȳ. (0,75 pt)
b) Peut-on avoir un ajustement lineaire par moindres carres ? Expliquer.
Determiner une equation de la droite de regression X en Y. (0,5 pt + 0,75 pt)
On donnera le resultat a 10-2 pres.
Soit P(z) = z3 – (3 + 3√3 i)z2 – (6 – 6√3 i)z + 8 + 24√3 i ou z ∈ C.
a) Demontrer que l’equation P(z) = 0 admet deux solutions reelles que l’on precisera. (0,75 pt)
b) En deduire la resolution de l’equation P(z) = 0. (0,75 pt)
Dans tout ce qui suit, on considere dans le plan complexe P muni d’un repere orthonorme direct (O, u, v) d’unite graphique 1cm, les points A, B et C d’affixes respectives zA = -2 ; zB = 4 et zC = 1 + 3√3 i.
a) Placer les points A, B et C. (0,5 pt)
b) Donner la forme algebrique du nombre complexe Z = (zC – zA)/(zB – zA) puis en deduire la nature du triangle ABC.
3. Soit D le point tel que ABDC soit un parallelogramme. On note par S la similitude plane directe de centre A et qui transforme B en D.
a) Determiner l’affixe de D et placer ce point. (0,5 pt)
b) Determiner l’expression complexe de S et preciser ses elements caracteristiques. (1,5 pt)
On considere la fonction f, la variable reelle x, definie par :
f(x) = (x + 1)ex si x ≥ 0
f(x) = x2 – 3x si x < 0
On designe par (C) sa courbe representative dans un repere orthonorme d’origine O et d’unite graphique 2cm.
1. Etudier la continuite de f en x0 = 0. (0,75 pt)
2. Demontrer que limx→0 (ex – 1)/x = 1 et limx→0 (f(x) – f(0))/x = 2.
(On donnera une interpretation graphique de ces resultats). (1,25 pt + 0,75 pt)
3.
a) Etudier la branche infinie de (C) au voisinage de +∞. (0,75 pt)
b) Prouver que la droite (D) d’equation y = -x – 6 est une asymptote oblique pour la courbe (C) au voisinage de -∞. (0,75 pt)
4.
a) Apres avoir etudie le sens de variation de f, dresser son tableau de variation. (1,75 pt)
b) Demontrer que, pour tout x reel positif : f'(x) = -3x – 1 > 0. (0,5 pt)
5. Tracer dans le meme repere, en precisant les deux demi-tangentes, la droite (D) et la courbe (C). (1,25 pt)
6. On appelle g la restriction de la fonction f a ]-∞; 0].
a) Demontrer que l’equation g(x) = 2 admet une solution unique α. (1 pt)
b) On designe par g-1 la fonction reciproque de g. Calculer, en fonction de α, (g-1)'(2). (0,5 pt)
c) Construire, dans le meme repere que (C), la courbe (C’) representant g-1.
d) Calculer, en fonction de α, et en cm2, l’aire A1 du domaine plan delimite par la courbe (C), la droite (D), les droites d’equations x = α et x = 0. (0,75 pt)