Mathématiques BAC Série D 2012 Madagascar – Sujet

N.B. : Les DEUX exercices et le PROBLÈME sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

1. Calculer \((2 – i)^2\). En déduire la résolution dans \(\mathbb{C}\) de l’équation \((E) : iz^2 – iz + 1 + i = 0\). (0,5 pt + 1 pt)

2. Soit \(P\) le polynôme de variable complexe \(z\) défini par : \(P(z) = z^3 – (4 + i)z^2 + (7 + i)z – 4\).

a) Montrer que l’équation \(P(z) = 0\) admet une solution réelle positive \(\alpha\) que l’on déterminera. (0,5 pt)

b) Déterminer les nombres \(a\) et \(b\) tels que : \(P(z) = (z – 1)(z – 2 – 2i)(az + b)\). (0,5 pt)

3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthogonal direct \(\mathcal{R}(O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les trois points \(A\), \(B\) et \(C\), d’affixes respectives : \(z_A = 1\) ; \(z_B = 2 + 2i\) et \(z_C = 1 – i\).

a) Donner la forme trigonométrique du nombre complexe \(U = \dfrac{2 + 2i}{1 – i}\). (0,75 pt)

b) En déduire la nature du triangle \(OBC\). (0,25 pt)

4. Soit \(S\) la similitude plane directe telle que : \(\{\,x’ = x + y – 1\,;\,y’ = -x + y + 2\,\}\). Déterminer l’expression complexe de \(S\) et préciser ses éléments caractéristiques. (0,75 pt + 0,75 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Un bassin contient 10 poissons dont 2 carpes, 3 tanches et 5 gardons. On pêche au hasard et simultanément 3 poissons par un filet du bassin. Chaque poisson a la même probabilité d’être pris par le filet.

1. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\(E_1\) : « avoir aucune tanche ». (0,75 pt)

\(E_2\) : « avoir au moins une carpe ». (0,75 pt)

\(E_3\) : « avoir exactement 2 gardons ». (0,5 pt)

2. On répète quatre fois de suite cette épreuve d’une manière indépendante. Soit \(X\) la variable aléatoire associée au nombre de la réalisation de l’évènement \(E_3\).

a) Donner la loi de probabilité de \(X\). (1,25 pt)

b) Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\) et la variance \(V(X)\). (0,5 pt + 0,5 pt)

c) Calculer la probabilité \(P(X \leq 3)\). (0,75 pt)

(N.B. : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.)

PROBLÈME (10 points)

I. Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par : \(g(x) = x^2 + 2 – 2\ln x\), où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

1) Calculer \(g'(x)\) puis étudier le sens de variation de \(g\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) (on ne demande pas les limites). (0,5 pt + 1 pt)

2) Calculer \(g(1)\). En déduire que \(g\) est strictement positif sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). (0,5 pt + 0,25 pt)

II. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par : \(f(x) = x – 1 + 2\cdot\dfrac{\ln x}{x}\).

On désigne par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité graphique 2 cm.

1) a) Calculer \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\). Interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt + 0,25 pt)

b) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\). (0,5 pt)

2) a) Montrer que la droite \((\Delta)\), d’équation \(y = x – 1\), est une asymptote oblique à la courbe \((\mathcal{C})\) au voisinage de \(+\infty\). (0,5 pt)

b) Étudier la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((\Delta)\). (0,25 pt)

3) a) Montrer que pour tout \(x \in \left]0\,;\,+\infty\right[\), \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\), où \(f’\) désigne la fonction dérivée de \(f\). (1 pt)

b) Justifier que \(f'(x)\) a le même signe que \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\). (0,25 pt)

c) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). (1 pt)

4) a) Écrire une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\). (0,5 pt)

b) Tracer \((T)\), \((\Delta)\) et \((\mathcal{C})\) dans le même repère. (0,5 pt + 0,5 pt + 1 pt)

5) Soit \(h\) la fonction définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par : \(h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2\).

a) Déterminer \(h'(x)\). En déduire l’expression de \(I(\alpha) = \displaystyle\int_1^\alpha f(x)\,dx\) où \(\alpha > 1\), en fonction de \(\alpha\). (0,5 pt)

b) Calculer, en cm², l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives \(x = 1\) et \(x = e\). (0,5 pt)

On donne : \(e \approx 2{,}7\).

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